В философии математики , то абстракции от фактической бесконечности включают в себя принятие (если аксиома бесконечности включена) бесконечных лица, заданные, фактические и завершенных объектов. Они могут включать в себя набор натуральных чисел , расширенных действительных чисел , трансфинитных чисел или даже бесконечную последовательность рациональных чисел . [1] Фактическая бесконечность должна быть противопоставлена бесконечности потенциальной., в котором непрерывный процесс (например, «прибавить 1 к предыдущему числу») создает последовательность без последнего элемента, и где каждый отдельный результат конечен и достигается за конечное число шагов. В результате потенциальная бесконечность часто формализуется с использованием понятия предела . [2]
Анаксимандр
Древнегреческий термин для потенциального или несобственного бесконечного был апейрон (неограниченный или неопределенный), в отличие от действительного или надлежащего бесконечного афоризма . [3] Апейрон противостоит тому, что имеет peras (предел). Эти понятия сегодня обозначаются потенциально бесконечным и фактически бесконечным соответственно.
Аристотель
Аристотель резюмирует взгляды своих предшественников на бесконечность следующим образом:
«Только пифагорейцы помещают бесконечное среди чувственных объектов (они не считают число отделимым от них) и утверждают, что то, что находится за пределами неба, бесконечно. Платон, с другой стороны, считает, что снаружи нет тела ( Формы не находятся вовне, потому что они нигде), но бесконечное присутствует не только в чувственных объектах, но и в Формах ». (Аристотель) [4]
Эту тему выдвинуло рассмотрение Аристотелем апейрона - в контексте математики и физики (изучение природы):
«Бесконечность оказывается противоположностью тому, что люди говорят. Это не« то, что не имеет ничего сверх себя », что бесконечно, но« то, что всегда имеет что-то за пределами себя »». (Аристотель) [5]
Вера в существование бесконечности происходит главным образом из пяти соображений: [6]
- Из природы времени - ибо оно бесконечно.
- От деления величин - математики тоже используют понятие бесконечности.
- Если возникновение и исчезновение не выдаются, то это только потому, что то, из чего возникают вещи, бесконечно.
- Потому что ограниченное всегда в чем-то находит свой предел, так что не должно быть предела, если все всегда ограничено чем-то отличным от него самого.
- Прежде всего, причина, которая особенно уместна и представляет трудности, которые испытывают все - не только числа, но и математические величины, и то, что находится за пределами небес, должно быть бесконечным, потому что они никогда не выдаются в наших мыслях. (Аристотель)
Аристотель постулировал, что действительная бесконечность невозможна, потому что, если бы это было возможно, то что-то достигло бы бесконечной величины и было бы «больше неба». Однако, по его словам, математика, относящаяся к бесконечности, не была лишена своей применимости из-за этой невозможности, потому что математикам не нужно бесконечное для своих теорем, а только конечная произвольно большая величина. [7]
Аристотель занимался темой бесконечности в физике и метафизике . Он различал актуальную и потенциальную бесконечность. Актуальная бесконечность завершена и определена и состоит из бесконечного множества элементов. Потенциальная бесконечность никогда не бывает полной: элементы можно добавлять всегда, но никогда не бывает бесконечно много.
Схоластические философы
Подавляющее большинство философов-схоластов придерживались девиза Infinitum act non datur . Это означает, что существует только (развивающаяся, несобственная, «синкатегорематическая») потенциальная бесконечность, но не актуальная бесконечность (фиксированная, правильная, «категорематическая») . Однако были исключения, например, в Англии.
Хорошо известно, что в средние века все схоластические философы отстаивали аристотелевское «infinitum act non datur» как неопровержимый принцип. ( Дж. Кантор ) [8]
Актуальная бесконечность существует в количестве, времени и количестве. (Дж. Бэконторп [9, с. 96])
В эпоху Возрождения и в начале Нового времени голоса в пользу актуальной бесконечности были довольно редки.
На самом деле континуум состоит из бесконечного множества неделимых ( Г. Галилей [9, с. 97]).
Современная эра
Я так сторонник актуальной бесконечности. ( Г. В. Лейбниц [9, с. 97])
Большинство [ необходима цитата ] согласились с известной цитатой Гаусса:
Я протестую против использования бесконечной величины как чего-то законченного, что никогда не допустимо в математике. Бесконечность - это просто способ выражения, истинное значение которого - предел, к которому одни отношения приближаются бесконечно близко, в то время как другим разрешено увеличиваться без ограничений. [9] (К. Ф. Гаусс [в письме Шумахеру, 12 июля 1831 г.])
Резкое изменение было инициировано Больцано и Кантором в 19 веке.
Бернар Больцано, который ввел понятие множества (на немецком языке: Menge ), и Георг Кантор, который ввел теорию множеств, выступили против общей позиции. Кантор выделил три области бесконечности: (1) бесконечность Бога (которую он назвал «absolutum»), (2) бесконечность реальности (которую он назвал «природой») и (3) трансфинитные числа и множества математики. .
Множество, превышающее любое конечное множество, т. Е. Множество, обладающее тем свойством, что каждое конечное множество [членов рассматриваемого вида] является только его частью, я назову бесконечным множеством. (Б. Больцано [2, с. 6])
Фокусов вдвое больше, чем центров эллипсов. (Б. Больцано [2а, § 93])
Соответственно, я различаю вечную нетварную бесконечность или absolutum, которая обусловлена Богом и его атрибутами, и сотворенную бесконечность или transfinitum, которая должна использоваться везде, где в сотворенной природе должна быть замечена актуальная бесконечность, например, в отношении: по моему твердому убеждению, фактически бесконечное количество сотворенных индивидуумов как во Вселенной, так и на нашей Земле и, наиболее вероятно, даже в каждом сколь угодно маленьком протяженном клочке пространства. (Георг Кантор) [10] (Г. Кантор [8, с. 252])
Одно доказательство основано на представлении о Боге. Сначала, исходя из высочайшего совершенства Бога, мы делаем вывод о возможности сотворения трансфинитного, затем, исходя из Его всемилости и великолепия, мы делаем вывод о необходимости того, что сотворение трансфинитного действительно произошло. (Г. Кантор [3, с. 400])
Цифры - свободное творение человеческого разума. ( Р. Дедекинд [3а, с. III])
Оппозиция школы интуиционизма
Математический смысл термина «фактический» в актуальной бесконечности является синонимом определенного , завершен , продлен или экзистенциальный , [11] , но не следует путать с физически существующим . Поэтому вопрос о том, образуют ли натуральные или действительные числа определенные множества, не зависит от вопроса о физическом существовании бесконечных вещей в природе .
Сторонники интуиционизма , начиная с Кронекера , отвергают утверждение о том, что на самом деле существуют бесконечные математические объекты или множества. Следовательно, они реконструируют основы математики таким образом, чтобы не допустить существования актуальных бесконечностей. С другой стороны, конструктивный анализ действительно допускает существование завершенной бесконечности целых чисел.
Для интуиционистов бесконечность описывается как потенциальная ; термины, синонимичные этому понятию, становятся или конструктивными . [11] Например, Стивен Клини описывает понятие ленты машины Тьюринга как «линейную« ленту », (потенциально) бесконечную в обоих направлениях». [12] Чтобы получить доступ к памяти на ленте, машина Тьюринга перемещает считывающую головку вдоль нее за конечное число шагов: следовательно, лента только «потенциально» бесконечна, поскольку, хотя всегда есть возможность сделать следующий шаг, сама бесконечность никогда не на самом деле дошел. [13]
Математики обычно принимают действительные бесконечности. [14] Георг Кантор - наиболее значительный математик, защищавший актуальные бесконечности, приравнивая Абсолютное Бесконечное к Богу. Он решил, что натуральные и действительные числа могут быть определенными множествами, и что если отвергнуть аксиому евклидовой конечности (которая утверждает, что актуальности, по отдельности и в совокупности, обязательно конечны), то не возникает никакого противоречия. .
Философская проблема актуальной бесконечности состоит в том, является ли понятие последовательным и эпистемически правильным.
Классическая теория множеств
Классическая теория множеств принимает понятие актуальных, завершенных бесконечностей. Однако некоторые философы- финитисты- математики и конструктивисты возражают против этого понятия.
Если положительное число n становится бесконечно большим, выражение 1 / n обращается в ноль (или становится бесконечно малым). В этом смысле говорят о несобственном или потенциально бесконечном. В резком и ясном контрасте только что рассмотренное множество представляет собой легко законченное, замкнутое бесконечное множество, зафиксированное в себе, содержащее бесконечно много точно определенных элементов (натуральных чисел) ни больше ни меньше. ( А. Френкель [4, с. 6])
Таким образом, покорение актуальной бесконечности можно рассматривать как расширение нашего научного горизонта не менее революционным, чем система Коперника, или теория относительности, или даже квантовая и ядерная физика. (А. Френкель [4, с. 245])
Взглянуть на вселенную всех множеств не как на фиксированную сущность, а как на сущность, способную «расти», т. Е. Мы можем «производить» все большие и большие множества. (А. Френкель и др. [5, с. 118])
( Брауэр ) утверждает, что настоящий континуум, который нельзя перечислить, может быть получен как среда свободного развития; другими словами, помимо точек, которые существуют (готовы) в силу их определения законами, такими как e, pi и т. д., другие точки континуума не готовы, а развиваются как так называемые последовательности выбора . (А. Френкель и др. [5, с. 255])
Интуиционисты отвергают само понятие произвольной последовательности целых чисел как обозначение чего-то законченного и определенного как незаконного. Такая последовательность считается только растущим объектом, а не законченным. (А. Френкель и др. [5, с. 236])
До тех пор никто не предполагал, что бесконечности могут иметь разные размеры, и, более того, математикам не нужна была «актуальная бесконечность». Аргументы , используя бесконечность, в том числе дифференциального Исчисления от Ньютона и Лейбница , не требуют использования бесконечных множеств. (Т. Джеч [1] )
Благодаря гигантским одновременным усилиям Фреге , Дедекинда и Кантора бесконечное взошло на трон и упивалось своим полным триумфом. В своем смелом полете бесконечность достигла головокружительных высот успеха. ( Д. Гильберт [6, с. 169])
Одна из наиболее энергичных и плодотворных областей математики [...] рай, созданный Кантором, из которого никто никогда не изгонит нас [...] самый замечательный цветок математического разума и в целом одно из выдающихся достижений чисто человеческой науки. интеллектуальная деятельность. (Д. Гильберт по теории множеств [6])
Наконец, давайте вернемся к нашей исходной теме и сделаем вывод из всех наших размышлений о бесконечности. Общий результат таков: бесконечное нигде не реализуется. Он не присутствует ни в природе, ни в качестве основы нашего рационального мышления - замечательной гармонии между бытием и мышлением. (Д. Гильберт [6, 190])
Бесконечные тотальности не существуют ни в каком смысле этого слова (т.е. ни в действительности, ни в идеале). Точнее, любое упоминание или подразумеваемое упоминание бесконечных тотальностей буквально бессмысленно. ( А. Робинсон [10, с. 507])
В самом деле, я думаю, что существует реальная потребность в формализме и в других сферах, чтобы связать наше понимание математики с нашим пониманием физического мира. (А. Робинсон)
Грандиозный мета-рассказ Георга Кантора «Теория множеств», созданный им почти в одиночку в течение примерно пятнадцати лет, больше похож на произведение высокого искусства, чем на научную теорию. ( Ю. Манин [2] )
Таким образом, изысканный минимализм выразительных средств используется Кантором для достижения возвышенной цели: постижения бесконечности, а точнее бесконечности бесконечностей. (Ю. Манин [3] )
Не существует актуальной бесконечности, которую канторианцы забыли и попали в ловушку противоречий. ( Х. Пуанкаре [Les mathématiques et la logique III, Rev. métaphys. Morale 14 (1906) стр. 316])
Когда объектами обсуждения являются лингвистические [...] сущности, то этот набор сущностей может изменяться в результате обсуждения о них. Следствием этого является то, что сегодняшние «натуральные числа» - это не то же самое, что «натуральные числа» вчерашнего дня. (Д. Айлз [4] )
Есть по крайней мере два разных взгляда на числа: как на завершенную бесконечность и как на неполную бесконечность ... рассмотрение чисел как неполной бесконечности предлагает жизнеспособную и интересную альтернативу рассмотрению чисел как завершенную бесконечность, которая ведет к к большим упрощениям в некоторых областях математики, что тесно связано с проблемами вычислительной сложности. (Э. Нельсон [5] )
В эпоху Возрождения, особенно у Бруно , актуальная бесконечность переходит от Бога к миру. Модели конечного мира современной науки ясно показывают, как эта сила идеи актуальной бесконечности прекратилась в классической (современной) физике. В этом аспекте включение актуальной бесконечности в математику, которое явно началось с Г. Кантора только в конце прошлого века, кажется неприятным. В интеллектуальной общей картине нашего века ... актуальная бесконечность производит впечатление анахронизма. ( П. Лоренцен [6] )
Смотрите также
- Предел (математика)
- Мощность континуума
Рекомендации
- ^ "Окончательный словарь высшего математического жаргона - бесконечность" . Математическое хранилище . 2019-08-01 . Проверено 12 ноября 2019 .
- ^ Шехтер, Эрик (5 декабря 2009 г.). «Возможная и завершенная бесконечность» . math.vanderbilt.edu . Проверено 12 ноября 2019 .
- ^ Фенвес, Питер Дэвид (2001). Арестованный язык: от Лейбница до Бенджамина . Издательство Стэнфордского университета. п. 331. ISBN. 9780804739603.
- ^ Томас, Кеннет У .; Фома, Фома, Аквинский (01.06.2003). Комментарий к физике Аристотеля . A&C Black. п. 163. ISBN. 9781843715450.
- ^ Падован, Ричард (11 сентября 2002). Пропорции: наука, философия, архитектура . Тейлор и Фрэнсис. п. 123. ISBN 9781135811112.
- ^ Томас, Кеннет У .; Фома, Фома, Аквинский (01.06.2003). Комментарий к физике Аристотеля . A&C Black. ISBN 9781843715450.
- ^ «Виртуальная библиотека логотипов: Аристотель: Физика, III, 7» . logoslibrary.org . Проверено 14 ноября 2017 .
- ^ Кантор, Георг (1966). Цермело, Эрнст (ред.). Gesammelte abhandlungen: Mathematischen und Философские вдохи . Георг Ольмс Верлаг. п. 174.
- ↑ Stephen Kleene 1952 (издание 1971 г.): 48 приписывает первое предложение этой цитаты (Werke VIII, стр. 216).
- ^ Кантор, Георг (1966). Цермело, Эрнст (ред.). Gesammelte abhandlungen: Mathematischen und Философские вдохи . Георг Ольмс Верлаг. п. 399.
- ^ а б Клини 1952/1971: 48.
- ^ Клини 1952/1971: 48 р. 357; также «машина ... снабжена лентой с (потенциально) бесконечной печатью ...» (стр. 363).
- ^ Или «лента» может быть закреплена, а считывающая «головка» может двигаться. Роджер Пенроуз предлагает это, потому что: «Со своей стороны, я чувствую себя немного неудобно из-за того, что наше конечное устройство перемещает потенциально бесконечную ленту вперед и назад. Независимо от того, насколько легок ее материал, бесконечную ленту может быть трудно сдвинуть!» На рисунке Пенроуза изображена закрепленная головка ленты с надписью «TM», читающая вялую ленту от коробок до визуально исчезающей точки. (См. Стр. 36 в Roger Penrose, 1989, The Emperor's New Mind , Oxford University Press, Oxford UK, ISBN 0-19-851973-7 ). Другие авторы решают эту проблему, наклеивая больше ленты, когда машина вот-вот закончится.
- ^ Фактическая бесконечность следует, например, из принятия понятия целых чисел как множества, см. Дж. Дж. О'Коннор и Э. Ф. Робертсон, [ «Бесконечность» .
Источники
- "Бесконечность" в архиве истории математики MacTutor , посвященная истории понятия бесконечности, включая проблему актуальной бесконечности.
- Аристотель , Физика [7]
- Бернар Больцано , 1851, Paradoxien des Unendlichen , Reclam, Лейпциг.
- Бернар Больцано 1837, Wissenschaftslehre , Sulzbach.
- Георг Кантор в E. Zermelo (ed.) 1966, Gesammelte Abhandlungen Mathematischen und Philophischen Inhalts , Olms, Hildesheim.
- Ричард Дедекинд в 1960 г. Был ли Зален sind und was sollen? , Vieweg, Брауншвейг.
- Адольф Абрахам Френкель 1923, Einleitung in die Mengenlehre , Шпрингер, Берлин.
- Адольф Абрахам Френкель, Ю. Бар-Гиллель, А. Леви 1984, Основы теории множеств , 2-е изд., Северная Голландия, Амстердам, Нью-Йорк.
- Стивен К. Клини 1952 (издание 1971 года, 10-е издание), Введение в метаматематику , издательство North-Holland Publishing Company, Амстердам, Нью-Йорк. ISBN 0-444-10088-1 .
- H. Meschkowski 1981, Георг Кантор: Leben, Werk und Wirkung (2. Aufl.), BI, Mannheim.
- Х. Мешковски, В. Нильсон (Hrsg.) 1991, Георг Кантор-Брифе , Шпрингер, Берлин.
- Авраам Робинсон 1979, Избранные статьи , Vol. 2, WAJ L Luxembourg, S. Koerner (Hrsg.), Северная Голландия, Амстердам.