Из Википедии, свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Абсолютная Infinite ( символ : Ω) является продолжением идеи бесконечности , предложенной математиком Георгом Кантором .

Его можно рассматривать как число, которое больше любой мыслимой или немыслимой величины, конечной или трансфинитной .

Кантор связан Абсолютная Бесконечность с Богом , [1] и считал , что он имел различные математические свойства, в том числе принципа отражения : каждое свойство Абсолютного Бесконечный также проводятся некоторыми меньшим объектом. [2]

Взгляд Кантора [ править ]

Кантор сказал:

Актуальное бесконечное различалось тремя отношениями: во-первых, как оно реализовано в высшем совершенстве, в полностью независимом, внемирном существовании, в Део, где я называю это абсолютным бесконечным или просто абсолютным; во-вторых, в той степени, в которой он представлен в зависимом, творческом мире; в-третьих, поскольку это может быть понято in abstracto в мышлении как математическая величина, число или тип порядка. В двух последних отношениях, где оно явно проявляется как ограниченное и способное к дальнейшему распространению и, следовательно, знакомое конечному, я называю его Transfinitum и резко противопоставляю его абсолютному. [3]

Кантор также упоминал эту идею в своих письмах Ричарду Дедекинду (текст в квадратных скобках отсутствует в оригинале): [6]

Кратность называется вполне упорядоченным , если он удовлетворяет условию , что каждый суб-кратность имеет первый элемент ; такое множество я для краткости называю «последовательностью».

...

Теперь я представляю себе систему всех [порядковых] чисел и обозначаю ее Ω .

...

Система Ω в ее естественном порядке по величине является «последовательностью».
Теперь присоединим к этой последовательности 0 как дополнительный элемент и, очевидно, поместим его на первую позицию; то получим последовательность Ω ′ :

0, 1, 2, 3, ... ω 0 , ω 0 +1, ..., γ, ...
из которых легко убедиться, что каждое число γ, встречающееся в нем, является типом [т. е. порядковым типом] последовательности всех его предшествующих элементов (включая 0). (Последовательность Ω обладает этим свойством сначала для ω 0 +1. [Ω 0 +1 должно быть ω 0. ])

Теперь Ω ′ (а следовательно, и Ω ) не может быть согласованной кратностью. Ведь если бы Ω ′ было непротиворечивым, то как хорошо упорядоченному множеству ему соответствовало бы число δ , которое было бы больше, чем все числа системы Ω ; число δ , однако, также принадлежит системе Ω, потому что он включает в себя все числа. Таким образом, δ было бы больше, чем δ ; противоречие. Следовательно:

Система всех [порядковых] чисел Ω является противоречивой, абсолютно бесконечной кратностью.

Парадокс Бурали-Форти [ править ]

Основная статья: парадокс Бурали-Форти

Идея о том, что совокупность всех порядковых чисел не может существовать логически, многим кажется парадоксальной . Это связано с «парадоксом» Чезаре Бурали-Форти, который утверждает, что не может быть наибольшего порядкового числа . Все эти проблемы можно проследить до идеи, что для каждого свойства, которое может быть определено логически, существует набор всех объектов, обладающих этим свойством. Однако, как и в аргументе Кантора (выше), эта идея приводит к затруднениям.

В более общем плане, как заметил А. В. Мур , не может быть конца процессу формирования множества , и, следовательно , не может быть такой вещи, как совокупность всех множеств или иерархия множеств . Любая такая совокупность сама должна быть набором, таким образом, лежащим где-то внутри иерархии и, таким образом, не вмещать каждый набор.

Стандартное решение этой проблемы находится в теории множеств Цермело , которая не допускает неограниченного формирования множеств из произвольных свойств. Скорее, мы можем сформировать набор всех объектов, которые обладают данным свойством и лежат в некотором данном наборе ( Аксиома разделения Цермело ). Это позволяет формировать множества на основе свойств в ограниченном смысле, сохраняя при этом (надеюсь) непротиворечивость теории.

Хотя это решает логическую проблему, можно утверждать, что философская проблема остается. Кажется естественным, что группа индивидов должна существовать, пока существуют индивиды. В самом деле, можно сказать , что наивная теория множеств основана на этом понятии. Хотя исправление Цермело позволяет классу описывать произвольные (возможно, «большие») объекты, эти предикаты метаязыка могут не существовать формально (то есть как набор) в теории. Например, класс всех наборов будет подходящим классом . Это философский неудовлетворительное некоторые и мотивировал дополнительную работу в теории множеств и других методах формализации основы математики , такие как новые Фундаменты поУиллард Ван Орман Куайн .

См. Также [ править ]

Заметки [ править ]

  1. ^ §3.2, Игнасио JANE (май 1995). «Роль абсолютного бесконечного в канторовской концепции множества». Erkenntnis . 42 (3): 375–402. DOI : 10.1007 / BF01129011 . Кантор (1) рассматривал абсолют как проявление Бога [...] Когда абсолют впервые вводится в Grundlagen, он связан с Богом: «истинное бесконечное или абсолютное, которое находится в Боге, не допускает какого-либо определения. "(Cantor 1883b, p. 175) Это не случайное замечание, поскольку Кантор очень ясно и настойчиво говорит об отношении между абсолютом и Богом.
  2. ^ Бесконечность: новые исследования и границы Майкла Хеллера и У. Хью Вудина (2011), стр. 11 .
  3. ^ https://www.uni-siegen.de/fb6/phima/lehre/phima10/quellentexte/handout-phima-teil4b.pdf
    Цитата в переводе с немецкого:

    Es wurde das Aktual-Unendliche (AU.) Nach drei Beziehungen unterschieden: erstens, sofern es in der höchsten Vollkommenheit, im völlig unabhängigen außerweltlichen Sein, в Deo realisiert ist, wo ichzur es zweitens, sofern es in der abhängigen, kreatürlichen Welt vertreten ist; drittens, sofern es als Mathematische Größe, Zahl oder Ordnungstypus vom Denken in abstracto aufgefaßt werden kann. In den beiden letzten Beziehungen, wo es offenbar als beschränktes, noch weiterer Vermehrung fähiges und insofern dem Endlichen verwandtes A.-U. sich darstellt, nenne ich es Transfinitum und setze es dem Absoluten Strengstens Entgegen.

    [Ca-a, p. 378].
  4. ^ Gesammelte Abhandlungen Mathematischen und Философские ингаляции , Георг Кантор, изд. Эрнст Цермело, биография - Адольф Френкель; ориг. паб. Берлин: Verlag von Julius Springer, 1932; перепечатано: Hildesheim: Georg Olms, 1962, и Berlin: Springer-Verlag, 1980, ISBN 3-540-09849-6 . 
  5. ^ Повторное открытие в канторовым-дедекиндовым переписки , И. Grattan-Guinness, Jahresbericht дер Deutschen Mathematiker-Vereinigung 76 (1974/75), стр. 104-139, при р. 126 сл.
  6. ^ Gesammelte Abhandlungen , [4] Георг Кантор, изд. Эрнст Цермело, Хильдесхайм: Георг Олмс Верлагсбухандлунг, 1962, стр. 443–447; переведен на английский язык в книге «От Фреге к Геделю: справочник по математической логике», 1879–1931 , изд. Жан ван Хейеноорт, Кембридж, Массачусетс: Издательство Гарвардского университета, 1967, стр. 113–117. Обе эти ссылки претендуют на то, чтобы быть письмом Кантора Дедекинду от 28 июля 1899 года. Однако, какобнаружил Айвор Граттан-Гиннесс [5], на самом деле это объединение редактором Кантора Эрнстом Цермело двух писем Кантора. Дедекинду первое датировано 28 июля, второе - 3 августа.

Библиография [ править ]

  • Роль абсолютного бесконечного в канторовской концепции множества
  • Бесконечность и разум , Руди Ракер , Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, 1995, ISBN 0-691-00172-3 ; ориг. паб. Бостон: Биркхойзер, 1982, ISBN 3-7643-3034-1 .  
  • The Infinite , AW Moore, Лондон, Нью-Йорк: Routledge, 1990, ISBN 0-415-03307-1 . 
  • Теория множеств, парадокс Сколема и трактат , А. В. Мур, Анализ 45 , № 1 (январь 1985 г.), стр. 13–20.