В теории множеств , одном из разделов математики , принцип отражения гласит, что можно найти множества, которые напоминают класс всех множеств. Есть несколько различных форм принципа отражения, в зависимости от того, что именно подразумевается под словом «походить». Слабые формы принципа отражения являются теоремами теории множеств ZF из - за Монтегю (1961) , в то время как более сильные формы могут быть новые и очень мощные аксиомы теории множеств.
Название «принцип отражения» происходит от того факта, что свойства вселенной всех множеств «отражаются» до меньшего множества.
Мотивация
Наивная версия принципа отражения гласит, что «для любого свойства вселенной из всех множеств мы можем найти множество с таким же свойством». Это приводит к немедленному противоречию: универсум всех наборов содержит все наборы, но не существует набора со свойством, что он содержит все наборы. Чтобы получить полезные (и непротиворечивые) принципы отражения, нам нужно быть более осторожными в отношении того, что мы подразумеваем под «свойством» и какие свойства мы допускаем.
Чтобы найти непротиворечивые принципы отражения, мы можем неформально рассуждать следующим образом. Предположим, что у нас есть некоторый набор A методов формирования множеств (например, взятие степеней, подмножеств, аксиома замены и т. Д.). Мы можем представить себе, что все множества, полученные многократным применением всех этих методов, объединяются в класс V , который можно рассматривать как модель некоторой теории множеств. Но теперь мы можем ввести следующий новый принцип формирования множеств: «совокупность всех множеств, полученных из некоторого множества многократным применением всех методов в наборе A , также является множеством». Если мы допустим этот новый принцип для формирования множеств, мы можем теперь продолжить мимо V и рассмотреть класс W всех множеств, сформированных с использованием принципов A и нового принципа. В этом классе W , V представляет собой набор, замкнутый относительно всех образующих набора операций А . Другими словами Вселенной W содержит множество V , который напоминает Вт в том , что он замкнут относительно всех методов А .
Мы можем использовать этот неформальный аргумент двумя способами. Мы можем попытаться формализовать это, например, в теории множеств ZF; таким образом мы получаем некоторые теоремы теории множеств ZF, называемые теоремами отражения. В качестве альтернативы мы можем использовать этот аргумент, чтобы мотивировать введение новых аксиом для теории множеств.
В ZFC
Пытаясь формализовать аргумент в пользу принципа отражения из предыдущего раздела теории множеств ZF, оказывается необходимым добавить некоторые условия относительно набора свойств A (например, A может быть конечным). В результате получается несколько тесно связанных «теорем отражения» ZFC, каждая из которых утверждает, что мы можем найти набор, который является почти моделью ZFC.
Одна из форм принципа отражения в ZFC гласит, что для любого конечного набора аксиом ZFC мы можем найти счетную транзитивную модель, удовлетворяющую этим аксиомам. (В частности, это доказывает, что ZFC, если только он не противоречив, не является конечно аксиоматизируемым, потому что в противном случае он доказал бы существование модели самого себя и, следовательно, доказал бы свою собственную непротиворечивость, что противоречит второй теореме Гёделя о неполноте.) тесно связано с теоремой Левенгейма – Сколема .
Другая версия принципа отражения гласит, что для любого конечного числа формул ZFC мы можем найти множество V α в кумулятивной иерархии такое, что все формулы в наборе являются абсолютными для V α (что очень грубо означает, что они выполняются в V α тогда и только тогда, когда они выполняются во вселенной всех множеств). Таким образом, это говорит о том, что множество V α похоже на универсум всех множеств, по крайней мере, в том, что касается данного конечного числа формул. В частности, для любой формулы ZFC существует теорема ZFC о том, что формула логически эквивалентна ее версии со всеми кванторами, относящимися к V α. См. ( Jech 2002 , p. 168).
Если κ является сильным недоступным, то существует замкнутое неограниченное подмножество C в κ, такое, что для любого α∈ C тождественная функция из V α в V κ является элементарным вложением.
Как новые аксиомы
Бернейс использовал принцип отражения в качестве аксиомы для одной из версий теории множеств (а не теории множеств Фон Неймана – Бернейса – Гёделя , которая является более слабой теорией). Его принцип отражения грубо утверждал, что если A - класс с некоторым свойством, то можно найти такое транзитивное множество u , что A hasu обладает тем же свойством, если рассматривать его как подмножество «вселенной» u . Это довольно мощная аксиома, подразумевающая существование нескольких меньших и больших кардиналов , таких как недоступные кардиналы . (Грубо говоря, класс всех ординалов в ZFC является недоступным кардиналом, кроме того факта, что он не является набором, и тогда можно использовать принцип отражения, чтобы показать, что существует набор с таким же свойством, другими словами что является недоступным кардиналом.) К сожалению, это не может быть аксиоматизировано непосредственно в ZFC, и обычно приходится использовать теорию классов, подобную MK . Непротиворечивость принципа отражения Бернейса подразумевается существованием кардинала ω-Эрдеша .
Есть много более мощных принципов отражения, которые тесно связаны с различными аксиомами большого кардинала. Почти для каждой известной аксиомы большого кардинала существует известный принцип отражения, который подразумевает это, и, наоборот, все известные принципы отражения, кроме самых мощных, подразумеваются известными аксиомами большого кардинала ( Marshall R. 1989 ). Примером этого является аксиома целостности , которая подразумевает существование супер-n-огромных кардиналов для всех конечных n, а ее согласованность подразумевается кардиналом I3 ранга в ранг .
Рекомендации
- Jech, Thomas (2002), теория множеств, издание третьего тысячелетия (пересмотренное и расширенное) , Springer, ISBN 3-540-44085-2
- Кунен, Кеннет (1980), Теория множеств: Введение в доказательства независимости , Северная Голландия, ISBN 0-444-85401-0
- Lévy, Azriel (1960), "Аксиома схемы сильной бесконечности в аксиоматической теории множеств" , Pacific Journal математики , 10 : 223-238, DOI : 10,2140 / pjm.1960.10.223 , ISSN 0030-8730 , MR 0124205
- Маршалл Р., М. Виктория (1989), "Принципы отражения высшего порядка", Журнал символической логики , Журнал символической логики, Vol. 54, № 2, 54 (2): 474-489, DOI : 10,2307 / 2274862 , JSTOR 2274862 , МР 0997881
- Монтегю, Ричард (1961), «Дополнение Френкеля к аксиомам Цермело», в Бар-Гиллеле, Иегошуа; Познанский, EIJ; Рабин, Миссури; Робинсон, Абрахам (ред.), Очерки основ математики , Еврейский университет, Иерусалим: Magnes Press, стр. 91–114, MR 0163840
- Рейнхардт, WN (1974), "Замечания о принципах отражения, больших кардиналах и элементарных вложениях", Аксиоматическая теория множеств , Proc. Симпозиумы. Чистая математика, XIII, часть II, Providence, RI: Amer. Математика. Soc., Стр. 189–205, MR 0401475
- Келлнер, Питер (2008), О принципах отражения (PDF)
- Corazza, Павел (2000), "Целостность Axiom и Laver последовательности", Annals чистых и прикладная логика , 105 : 157-260, DOI : 10.1016 / s0168-0072 (99) 00052-4
Внешние ссылки
- Подтверждение системы Mizar : http://mizar.org/version/current/html/zf_refle.html