В математике , А кардинальное число κ называется огромным , если существует в элементарное вложение J : V → M из V в переходной внутренней модели М с критической точкой х и
Здесь α M - класс всех последовательностей длины α, элементы которых лежат в M.
Кеннет Кунен представил огромных кардиналов ( 1978 ).
Варианты
В дальнейшем j n относится к n -й итерации элементарного вложения j, то есть j составлен сам с собой n раз для конечного ординала n . Кроме того, <α M - это класс всех последовательностей длины меньше α, элементы которых находятся в M. Обратите внимание, что для «супер» версий γ должно быть меньше j (κ), а не.
κ почти n-огромно тогда и только тогда, когда существует j : V → M с критической точкой κ и
κ является сверхпочти n-огромным тогда и только тогда, когда для каждого ординала γ существует j : V → M с критической точкой κ, γ
κ является n-огромным тогда и только тогда, когда существует j : V → M с критической точкой κ и
κ является супер-n-огромным тогда и только тогда, когда для каждого ординала γ существует j : V → M с критической точкой κ, γ
Обратите внимание, что 0-огромный - это то же самое, что измеримый кардинал ; а 1-огромный - то же самое, что и огромный. Кардинал, удовлетворяющий одной из аксиом ранга в ранг, является n- огромным для всех конечных n .
Существование почти огромного кардинала означает, что принцип Вопенки непротиворечив; точнее, любой почти огромный кардинал также является кардиналом Vopěnka .
Прочность консистенции
Кардиналы расположены в порядке увеличения прочности следующим образом:
- почти н- огромный
- супер почти н - огромный
- n - огромный
- супер н - огромный
- почти n + 1-огромный
Последовательность огромного кардинала подразумевает последовательность суперкомпактного кардинала , тем не менее, наименьший кардинал меньше наименьшего кардинала суперкомпактного (если оба существуют).
ω-огромные кардиналы
Можно попробовать определить ω-огромный кардинал κ как такой, что элементарное вложение j: V → M из V в транзитивную внутреннюю модель M с критической точкой κ и λ M ⊆ M , где λ - верхняя грань j n (κ ) для натуральных чисел n . Однако теорема Кунена о непротиворечивости показывает, что такие кардиналы несовместимы в ZFC, хотя остается открытым вопрос о том, согласованы ли они в ZF. Вместо этого ω-огромный кардинал κ определяется как критическая точка элементарного вложения некоторого ранга V λ + 1 в себя. Это тесно связано с аксиомой ранга в ранг I 1 .
Смотрите также
- Список больших кардинальных свойств
- Порядок Деорнуы на группу кос был мотивирован свойствами огромных кардиналов.
Рекомендации
- Канамори, Акихиро (2003), Высшая бесконечность: большие кардиналы в теории множеств с самого начала (2-е изд.), Springer, ISBN 3-540-00384-3.
- Kunen, Кеннет (1978), "Насыщенные идеалы", журнал символической логики , 43 (1): 65-76, DOI : 10,2307 / 2271949 , ISSN 0022-4812 , JSTOR 2271949 , MR 0495118.
- Мэдди, Пенелопа (1988), "Веря Аксиомами II." , Журнал символической логики , 53 (3): (. Особ 754-756) 736-764, DOI : 10,2307 / 2274569 , JSTOR 2274569. Копия частей I и II этой статьи с исправлениями доступна на домашней странице автора .