В математике , принцип п е н в это большая кардинальной аксиома. Интуиция, стоящая за аксиомой, заключается в том, что теоретико-множественная вселенная настолько велика, что в каждом собственном классе некоторые члены подобны другим, причем это сходство формализуется посредством элементарных вложений .
Принцип Vopěnka был впервые представлен Петром Vopěnka и независимо рассмотрен Г. Джеромом Кейслером , и был написан Solovay, Reinhardt & Kanamori (1978) . Согласно Пудлаку (2013 , с. 204), принцип Вопенки изначально задумывался как шутка: Вопенка явно не испытывал энтузиазма по поводу больших кардиналов и представил свой принцип как фиктивную большую кардинальную собственность, планируя позже показать, что это несоответствие. Однако, прежде чем опубликовать свое доказательство несоответствия, он обнаружил в нем изъян.
Определение
Принцип п е н утверждает , что для каждого собственного класса из бинарных отношений (каждый с размером установленного домена), есть один элементарно вкладывается в другой. Это нельзя сформулировать как одно предложение ZFC, поскольку оно включает количественную оценку по классам. Кардинал κ называется кардиналом Vopěnka, если он недоступен и принцип Vopěnka выполняется в ранге V κ (допускающий произвольные S ⊂ V κ в качестве «классов»). [1]
Возможны многие эквивалентные формулировки. Например, принцип Vopěnka эквивалентен каждому из следующих утверждений.
- Для каждого собственного класса простых ориентированных графов есть два члена класса с гомоморфизмом между ними. [2]
- Для любой сигнатуры Σ и любого собственного класса Σ -структур существует два члена класса с элементарным вложением между ними. [1] [2]
- Для каждого предиката P и надлежащего класса S из порядковых , существует ненулевая элементарное вложение J :( V κ , ∈, Р ) → (V λ , ∈, Р ) для некоторого х и Х в S . [1]
- Категория ординалов не может быть полностью встроена в категории графов. [2]
- Доступен каждый подфунктор доступного функтора . [2]
- (В настройке определимых классов) Для каждого натурального числа n существует C (n) -расширяемый кардинал . [3]
Сила
Даже при ограничении предикатами и собственными классами, определяемыми в теории множеств первого порядка, принцип подразумевает существование Σ n правильных расширяемых кардиналов для каждого n .
Если κ - почти огромный кардинал , то в V κ выполняется сильная форма принципа Вопенки :
- Существует κ-полный ультрафильтр U такой, что для любого { R i : i <κ}, где каждое R i является бинарным отношением и R i ∈ V κ , существует S ∈ U и нетривиальное элементарное вложение j : R → R б для каждого в < Ь в S .
Рекомендации
- ^ a b c Канамори, Акихиро (2003). Высшая бесконечность: большие кардиналы в теории множеств с самого начала (2-е изд.). Берлин [ua]: Springer. ISBN 9783540003847.
- ^ а б в г Росицки, Иржи Адамек; Иржи (1994). Локально презентабельные и доступные категории (Цифровая печать. 2004. Ред.). Кембридж [ua]: Cambridge Univ. Нажмите. ISBN 0521422612.
- ^ Багария, Жанна (23 декабря 2011 г.). « C (n) -кардиналы». Архив математической логики . 51 (3–4): 213–240. DOI : 10.1007 / s00153-011-0261-8 .
- Канамори, Акихиро (1978), «О Vopěnka's и родственных принципах», Logic Colloquium '77 (Proc. Conf., Wrocław, 1977) , Stud. Logic Foundations Math., 96 , Амстердам-Нью-Йорк: Северная Голландия, стр. 145–153, ISBN 0-444-85178-X, MR 0519809
- Пудлак, Павел (2013), Логические основы математики и вычислительная сложность. Мягкое введение , Монографии Springer по математике, Springer, doi : 10.1007 / 978-3-319-00119-7 , ISBN 978-3-319-00118-0, Руководство по ремонту 3076860
- Соловей, Роберт М .; Рейнхардт, Уильям Н .; Канамори, Акихиро (1978), "Сильные аксиомы бесконечности и элементарные вложения" (PDF) , Анналы математической логики , 13 (1): 73-116, DOI : 10,1016 / 0003-4843 (78) 90031-1
Внешние ссылки
- Фридман, Харви М. (2005), ВНЕДРЕНИЕ АКСИОМ дает ряд эквивалентных определений принципа Вопеньки.