Ультрафильтр (теория множеств)

Решетка powerset набора {1,2,3,4}, верхний набор ↑ {1,4} окрашен в темно-зеленый цвет. Это основной фильтр , но не ультрафильтр , поскольку его можно расширить до нетривиального фильтра ↑ {1} большего размера, включив также светло-зеленые элементы. Поскольку ↑ {1} не может быть расширен дальше, это ультрафильтр.

В математической области теории множеств , ультрафильтр на данный непустой наборе является фильтром на котором определенный тип непустого семейства подмножеств в том , что это не совпадает с набором мощности из (таких фильтров называется собственно ) и который также является «максимальным» в том смысле, что не существует другого подходящего фильтра, который содержал бы его как собственное подмножество . Иными словами, правильный фильтр называется ультрафильтром, если существует ровно один правильный фильтр, который содержит его как подмножество, причем этот правильный фильтр (обязательно) является${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle U}$${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle X,}$ ${\ Displaystyle \ WP (X)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle U}$ сам.

Более формально, ультрафильтр на это правильный фильтр , который также является максимальным фильтр по отношению к включению множеств , а это означает , что не существует никакого правильного фильтра на который содержит в качестве собственного подмножества . Ультрафильтры на множествах - важный особый пример ультрафильтров на частично упорядоченных наборах , где частично упорядоченный набор состоит из набора мощности, а частичный порядок - включение подмножества${\ displaystyle U}$${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle U}$ ${\ Displaystyle \ WP (X)}$ ${\ Displaystyle \, \ substeq.}$

Ультрафильтры имеют множество приложений в теории множеств, теории моделей и топологии . ^{[1] : 186}

Определения [ править ]

Для произвольного набора ультрафильтр - это непустое семейство подмножеств таких, что:${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle U}$${\ displaystyle X}$

1. Собственный или невырожденный : пустое множество не является элементом${\ displaystyle U.}$
2. Закрытие вверх${\ displaystyle X}$ : если и если является любым надмножеством (то есть, если ), то${\ displaystyle A \ in U}$${\ Displaystyle B \ substeq X}$${\ displaystyle A}$${\ Displaystyle A \ Substeq B \ substeq X}$${\displaystyle B\in U.}$
3. π −система : еслииявляются элементами,то ихпересечение${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle U}$ ${\displaystyle A\cap B.}$
4. Если тогда либо ^{[примечание 1],} либо его относительное дополнение является элементом${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle A}$${\displaystyle X\setminus A}$${\displaystyle U.}$

Свойства (1), (2) и (3) являются определяющими свойствами фильтра.${\displaystyle X.}$ Некоторые авторы не включают невырожденность (которая является свойством (1) выше) в свое определение «фильтра». Однако определение «ультрафильтра» (а также «предварительного фильтра» и «подосновы фильтра») всегда включает невырожденность как определяющее условие. В этой статье требуется, чтобы все фильтры были правильными, хотя фильтр может быть описан как «подходящий» для акцента.

Для фильтра, который не является ультрафильтром, можно было бы сказать, если и если оставить undefined в другом месте. ^{[ необходима цитата ] [ требуется пояснение ]}${\displaystyle F}$${\displaystyle m(A)=1}$${\displaystyle A\in F}$${\displaystyle m(A)=0}$${\displaystyle X\setminus A\in F,}$${\displaystyle m}$

Фильтр к югу база представляет собой непустое семейство множеств, имеет конечное свойство пересечения (т.е. все конечные пересечения непустые). Эквивалентно, подбаза фильтра - это непустое семейство наборов, которое содержится в некотором (собственном) фильтре. Говорят, что наименьший (относительно ) фильтр, содержащий данную суббазу фильтра, генерируется суббазой фильтра.${\displaystyle \subseteq }$

Вверх замыкание в семействе множеств называется множество ${\displaystyle X}$${\displaystyle P}$

${\displaystyle P^{\uparrow X}:=\left\{S:A\subseteq S\subseteq X{\text{ for some }}A\in P\right\}.}$

Предварительный фильтр или основа фильтра - это непустое и правильное (т.е. ) семейство наборов , направленных вниз , что означает, что если тогда существует такое, что Эквивалентно, предварительный фильтр - это любое семейство наборов , закрытие которых вверх является фильтром, в в этом случае этот фильтр называется фильтром, созданным и считается основой фильтра для${\displaystyle \varnothing \not \in P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle B,C\in P}$${\displaystyle A\in P}$${\displaystyle A\subseteq B\cap C.}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P^{\uparrow X}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P^{\uparrow X}.}$

Двойной в ${\displaystyle X}$^[2] семействе множеств является множество${\displaystyle P}$${\displaystyle X\setminus P:=\left\{X\setminus B:B\in P\right\}.}$

Обобщение на ультра префильтры [ править ]

Семейство подмножеств в называется ультра, если выполняется любое из следующих эквивалентных условий: ^{[2] [3]}${\displaystyle U\neq \varnothing }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \varnothing \not \in U}$

1. Для каждого набора существует такое множество , что или (или, что эквивалентно, такое, что равно или ).${\displaystyle S\subseteq X}$${\displaystyle B\in U}$${\displaystyle B\subseteq S}$${\displaystyle B\subseteq X\setminus S}$${\displaystyle B\cap S}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \varnothing }$
2. Для каждого набора существует некоторый набор }, равный или${\displaystyle S\subseteq \bigcup _{B\in U}B}$${\displaystyle B\in U}$${\displaystyle B\cap S}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \varnothing .}$
   • Здесь определяется как объединение всех множеств в${\displaystyle \bigcup _{B\in U}B}$${\displaystyle U.}$
   • Эта характеристика « является ультра» не зависит от набора, поэтому упоминание набора не является обязательным при использовании термина «ультра».${\displaystyle U}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle X}$
3. Для каждого набора (не обязательно даже подмножества ) существует некоторый набор , равный или${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle B\in U}$${\displaystyle B\cap S}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \varnothing .}$
   • Если удовлетворяет этому условию, то то же самое происходит с каждым надмножеством. В частности, набор является ультра тогда и только тогда, когда и содержит в качестве подмножества некоторое ультра семейство множеств.${\displaystyle U}$${\displaystyle V\supseteq U.}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \varnothing \not \in V}$${\displaystyle V}$

Суббаза фильтра, которая является ультра, обязательно является предварительным фильтром.

Свойство ultra теперь можно использовать для определения как ультрафильтров, так и ультра-префильтров:

Ультра предфильтр ^{[2] [3]} является предфильтр , что ультра. Эквивалентно, это суббаза фильтра, которая является ультра.

Ультрафильтр ^{[2] [3]} на это (собственно) фильтр на том , что ультра. Эквивалентно, это любой фильтр , созданный ультра префильтром.${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

Толкование как большие множества

Элементы правильного фильтра на можно рассматривать как «большие наборы (относительно )» и дополнение в работах больших множеств можно рассматривать как «малые» устанавливает ^[4] ( «малые наборы» точно элементы в идеале ). В общем, могут быть подмножества , которые не являются ни большими, ни маленькими, или, возможно, одновременно большими и малыми. Двойственный идеал - это фильтр (т.е. собственный), если не существует множества одновременно больших и малых, или, что то же самое, если не велико множество . ^[4] Фильтр является ультра, если и только если каждое подмножество${\displaystyle F}$${\displaystyle X}$${\displaystyle F}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X\setminus F}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \varnothing }$${\displaystyle X}$либо большой, либо маленький. Используя эту терминологию, определяющие свойства фильтра могут быть перезапущены следующим образом: (1) любое надмножество большого множества является большим множеством, (2) пересечение любых двух (или конечного числа) больших множеств велико, (3) есть большой набор (т.е. ), (4) пустой набор невелик. Различные двойственные идеалы дают разные представления о «больших» множествах.${\displaystyle X}$${\displaystyle F\neq \varnothing }$

Другим способ смотреть на ультрафильтрах на множестве мощности выглядит следующим образом : для данного Ультрафильтра определить функцию на по настройке , если элемент и в противном случае. Такая функция называется двузначным морфизмом . Тогда это конечно - аддитивная , и , следовательно, содержание на и каждое свойство элементов является либо истинным , почти везде или почти везде ложь. Однако обычно не является счетно аддитивным и, следовательно, не определяет меру в обычном смысле.${\displaystyle \wp (X)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \wp (X)}$${\displaystyle m(A)=1}$${\displaystyle A}$${\displaystyle U}$${\displaystyle m(A)=0}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \wp (X),}$${\displaystyle X}$${\displaystyle m}$

Ультра префильтры как максимальные префильтры

Чтобы охарактеризовать ультрапрефильтры с точки зрения «максимальности», необходимо следующее соотношение.

Принимая во внимание два семейства множеств и семейство называется грубее ^{[5] [6]} , чем и является более тонким , чем и подчинен написано или N ⊢ М , если для каждого есть некоторые такие , что Семейства и называется эквивалентны , если и семьи и являются сопоставимыми , если один из этих множеств тоньше , чем другие. ^[5]${\displaystyle M}$${\displaystyle N,}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N,}$${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M,}$${\displaystyle M\leq N}$${\displaystyle X\in M,}$${\displaystyle F\in N}$${\displaystyle F\subseteq C.}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M\leq N}$${\displaystyle N\leq M.}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$

Отношение подчинения, т. Е. Является предварительным заказом, поэтому приведенное выше определение «эквивалент» действительно образует отношение эквивалентности . Если, то обратное, как правило, неверно. Однако, если он закрыт вверх, например фильтр, то тогда и только тогда, когда каждый предварительный фильтр эквивалентен фильтру, который он генерирует. Это показывает, что фильтры могут быть эквивалентны наборам, которые не являются фильтрами.${\displaystyle \,\geq ,\,}$${\displaystyle M\subseteq N}$${\displaystyle M\leq N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M\leq N}$${\displaystyle M\subseteq N.}$

Если два семейства наборов и эквивалентны, то либо оба и являются ультра (соответственно префильтры, суббазы фильтров), либо в противном случае ни одно из них не является ультра (соответственно префильтры, суббазы фильтров). В частности, если суббаза фильтра также не является предварительным фильтром, то она не эквивалентна фильтру или предварительному фильтру, который она создает. Если и оба являются фильтрами на then и эквивалентны тогда и только тогда, когда правильный фильтр (соотв. Ультрафильтр) эквивалентен семейству множеств, то${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle X}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M=N.}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$обязательно является предварительным фильтром (соотв. ультра префильтром). Используя следующую характеристику, можно определить префильтры (соотв. Ультрапрефильтры), используя только концепцию фильтров (соотв. Ультрафильтров) и подчинения:

Семейство наборов является предварительным фильтром (соответственно ультра-предварительным фильтром) тогда и только тогда, когда оно эквивалентно собственному фильтру (соответственно ультрафильтру).

Максимальная предфильтр на ${\displaystyle X}$^{[2] [3]} является предфильтр , который удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:${\displaystyle U\subseteq \wp (X)}$

1. ${\displaystyle U}$ это ультра.
2. ${\displaystyle U}$является максимальным на (относительно ), а это означает , что , если выполнено затем ^[3]${\displaystyle \operatorname {Prefilters} (X)}$${\displaystyle \,\leq }$${\displaystyle P\in \operatorname {Prefilters} (X)}$${\displaystyle U\leq P}$${\displaystyle P\leq U.}$
3. Не существует предварительного фильтра, подчиненного ^[3]${\displaystyle U.}$
4. Если правильный фильтр на удовлетворяет то${\displaystyle F}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U\leq F}$${\displaystyle F\leq U.}$
5. Фильтр, созданный с помощью ультра.${\displaystyle X}$${\displaystyle U}$

Характеристики [ править ]

Там нет ультрафильтров , где есть пустое множество , так что в дальнейшем предполагается , что${\displaystyle \wp (\varnothing ),}$${\displaystyle \varnothing }$${\displaystyle X\neq \varnothing .}$

Фильтр суб базы на ультрафильтр в том и только тогда , когда какой - либо из следующих эквивалентных условий: ^{[2] [3]}${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

1. для любого либо или${\displaystyle S\subseteq X,}$${\displaystyle S\in U}$${\displaystyle X\setminus S\in U.}$
2. ${\displaystyle U}$является максимальной подбазой фильтра в том смысле, что если есть какая-либо подбаза фильтра, то подразумевает ^[4]${\displaystyle X,}$${\displaystyle F}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U\subseteq F}$${\displaystyle U=F.}$

(Собственный) фильтр на является ультрафильтром тогда и только тогда, когда выполняется любое из следующих эквивалентных условий:${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle U}$ ультра;
2. ${\displaystyle U}$ формируется ультрафильтром предварительной очистки;
3. Для любого подмножества или ^[4]${\displaystyle S\subseteq X,}$ ${\displaystyle S\in U}$${\displaystyle X\setminus S\in U.}$
   • Таким образом, ультрафильтр решает для каждого , является ли он «большим» (т.е. ) или «маленьким» (т.е. ). ^[7]${\displaystyle U}$${\displaystyle S\subseteq X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S\in U}$${\displaystyle X\setminus S\in U}$
4. Для каждого подмножества либо ^{[примечание 1]} входит, либо ( ) входит.${\displaystyle A\subseteq X,}$ ${\displaystyle A}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X\setminus A}$
5. ${\displaystyle U\cup (X\setminus U)=\wp (X).}$Это условие может быть переформулировано как: разделен и его двойственный${\displaystyle \wp (X)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X\setminus U.}$
   • Множества и не пересекаются для всех префильтров на${\displaystyle P}$${\displaystyle X\setminus P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle X.}$
6. ${\displaystyle \wp (X)\setminus U=\left\{S\in \wp (X):S\not \in U\right\}}$идеал на ^[4]${\displaystyle X.}$
7. Для любого конечного семейства подмножеств (где ), если то для некоторого индекса${\displaystyle S_{1},\ldots ,S_{n}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle n\geq 1}$${\displaystyle S_{1}\cup \cdots \cup S_{n}\in U}$${\displaystyle S_{i}\in U}$${\displaystyle i.}$
   • На словах «большой» набор не может быть конечным объединением небольших множеств. ^[8]
8. Для любого, если тогда или${\displaystyle R,S\subseteq X,}$${\displaystyle R\cup S=X}$${\displaystyle R\in U}$${\displaystyle S\in U.}$
9. Для любого if then или (фильтр с этим свойством называется простым фильтром ).${\displaystyle R,S\subseteq X,}$${\displaystyle R\cup S\in U}$${\displaystyle R\in U}$${\displaystyle S\in U}$
10. Для любого if, а затем либо, либо${\displaystyle R,S\subseteq X,}$${\displaystyle R\cup S\in U}$${\displaystyle R\cap S=\varnothing }$ ${\displaystyle R\in U}$${\displaystyle S\in U.}$
11. ${\displaystyle U}$- максимальный фильтр; то есть, если это фильтр на таким образом, чтобы затем Эквивалентен, является максимальным фильтром , если нет фильтра на том , что содержит в качестве собственного подмножества (то есть, ни один фильтр не является строго тоньше , чем ). ^[4]${\displaystyle F}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U\subseteq F}$${\displaystyle U=F.}$${\displaystyle U}$${\displaystyle F}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U}$

Грили и фильтры-решетки [ править ]

Если тогда его гриль - это семья ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\#X}:={\mathcal {B}}^{\#}:=\{S\subseteq X~:~S\cap B\neq \varnothing {\text{ for all }}B\in {\mathcal {B}}\},}$

который закрыт вверх в Более того, так что закрыт вверх в том и только в том случае, если If является подбазой фильтра then ^[9] Кроме того, и Решетка фильтра называется решеткой фильтра в ^[9] Для любого непустого подмножество - это решетка фильтра, включенная тогда и только тогда, когда (1) закрывается вверх и (2) для всех наборов, и если тогда или Операция гриля ${\displaystyle X.}$${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\#\#}={\mathcal {B}}^{\uparrow X}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\#\#}={\mathcal {B}}.}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {B}}^{\#}.}$${\displaystyle (\wp (X))^{\#}=\varnothing }$${\displaystyle \varnothing ^{\#}=\wp (X).}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X),}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle R}$${\displaystyle S,}$${\displaystyle R\cup S\in {\mathcal {B}}}$${\displaystyle R\in {\mathcal {B}}}$${\displaystyle S\in {\mathcal {B}}.}$

${\displaystyle {\bullet }^{\#X}~:~\operatorname {Filters} (X)\to \operatorname {FilterGrills} (X)}$

определяется как биекция, обратное значение которой также дается формулой ^[9]. If then - фильтр-решетка в том и только в том случае, если ^[9] или эквивалентно, если и только если является ультрафильтром в ^[9] Решетки фильтра являются, таким образом, То же, что и ультрафильтры. Для любого непустого фильтра-решетки действует тогда и только тогда, когда и для всех подмножеств выполняются следующие эквивалентности: тогда и только тогда, когда и только если ^[9]${\displaystyle {\mathcal {F}}\mapsto {\mathcal {F}}^{\#X},}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\mapsto {\mathcal {F}}^{\#X}.}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\in \operatorname {Filters} (X)}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}={\mathcal {F}}^{\#X},}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq \wp (X),}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \varnothing \not \in {\mathcal {F}}}$${\displaystyle R,S\subseteq X,}$${\displaystyle R\cup S\in {\mathcal {F}}}$${\displaystyle R,S\in {\mathcal {F}}}$${\displaystyle R\cap S\in {\mathcal {F}}.}$

Бесплатно или принципиально [ править ]

Если любое непустое семейство множеств , то ядро из является пересечением всех установленных в :${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$

${\displaystyle \operatorname {ker} P:=\bigcap _{B\in P}B.}$^[10]

Непустое семейство множеств называется:${\displaystyle P}$

• бесплатно, если и исправлено в противном случае (то есть, если ),${\displaystyle \operatorname {ker} P=\varnothing }$${\displaystyle \operatorname {ker} P\neq \varnothing }$
• основной, если${\displaystyle \operatorname {ker} P\in P,}$
• главный в точке, если и является одноэлементным набором; в этом случае, если then называется главным в${\displaystyle \operatorname {ker} P\in P}$${\displaystyle \operatorname {ker} P}$${\displaystyle \operatorname {ker} P=\{x\}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle X.}$

Если семейство наборов фиксировано, то оно является ультра, если и только если какой-то элемент является одноэлементным набором, и в этом случае обязательно будет предварительный фильтр. Каждый основной предварительный фильтр фиксирован, поэтому главный предварительный фильтр является ультра, если и только если он является одноэлементным набором. Одноэлементный набор является ультра, если и только если его единственный элемент также является одноэлементным набором. ${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \operatorname {ker} P}$

Каждый фильтр , являющийся главным в одной точке, является ультрафильтром, и если он является конечным, то других ультрафильтров нет . ^[10] Если в наборе существует свободный ультрафильтр (или даже подбаза фильтра), то он должен быть бесконечным. ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

Следующая теорема показывает, что каждый ультрафильтр попадает в одну из двух категорий: либо он бесплатный, либо это главный фильтр, порожденный одной точкой.

Примеры, свойства и достаточные условия [ править ]

Если и является семейство множеств таких , что является ультра, а затем обязательно ультра. Суббаза фильтра, которая не является предварительным фильтром , не может быть ультра; но, тем не менее, предварительный фильтр и фильтр, генерируемый с помощью, все еще могут быть ultra.${\displaystyle U}$${\displaystyle S}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \varnothing \not \in S,}$${\displaystyle U\leq S,}$${\displaystyle S}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U}$

Допустим, это ультра и есть набор. Трасса является ультра тогда и только тогда, когда она не содержит пустого множества. Более того, по крайней мере одно из множеств и будет ультра (этот результат распространяется на любое конечное разбиение ). Если включены фильтры, то включен ультрафильтр, и тогда есть такие, которые удовлетворяют ^[11]. Этот результат не обязательно верен для бесконечного семейства фильтров. ^[11]${\displaystyle U\subseteq \wp (X)}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle U\cap Y:=\{B\cap Y:B\in U\}}$${\displaystyle [U\cap Y]\setminus \{\varnothing \}}$${\displaystyle [U\cap (X\setminus Y)]\setminus \{\varnothing \}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle F_{1},\ldots ,F_{n}}$${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle U}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle F_{1}\cap \cdots \cap F_{n}\leq U,}$${\displaystyle F_{i}}$${\displaystyle F_{i}\leq U.}$

Изображение под картой ультра-набора снова является ультра, и если это ультра-предварительный фильтр, то так и есть . Свойство быть ультра сохраняется при биекциях. Однако прообраз ультрафильтра не обязательно ультра, даже если отображение сюръективно. Например, если имеется более одной точки, и если диапазон состоит из одной точки, тогда включен ультра-предварительный фильтр, но его прообраз не является ультра. В качестве альтернативы, если является основным фильтром, сгенерированным точкой в, тогда прообраз содержит пустое множество и поэтому не является ультра.${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle U\subseteq \wp (X)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle f(U).}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle \{y\}}$${\displaystyle \{y\}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle U}$${\displaystyle Y\setminus f(X)}$${\displaystyle U}$

Элементарный фильтр, индуцированный бесконечной последовательностью, все точки которой различны, не является ультрафильтром. ^[11] Если then обозначает множество, состоящее из всех подмножеств, имеющих мощность, и если содержит не менее ( ) различных точек, то является ультра, но не содержится ни в каком предварительном фильтре. Этот пример обобщается на любое целое число, а также на if, содержащий более одного элемента. Ультра-наборы, не являющиеся одновременно предфильтрами, используются редко.${\displaystyle n=2,}$${\displaystyle U_{n}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle n,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle 2n-1}$${\displaystyle =3}$${\displaystyle U_{n}}$${\displaystyle n>1}$${\displaystyle n=1}$${\displaystyle X}$

Для каждого и каждого let If является ультрафильтром на тогда множество всех таких, что является ультрафильтром на ^[12]${\displaystyle S\subseteq X\times X}$${\displaystyle a\in X,}$${\displaystyle S{\big \vert }_{\{a\}\times X}:=\left\{y\in X~:~(a,y)\in S\right\}.}$${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S\subseteq X\times X}$${\displaystyle \left\{a\in X~:~S{\big \vert }_{\{a\}\times X}\in {\mathcal {U}}\right\}\in {\mathcal {U}}}$${\displaystyle X\times X.}$

Структура монады [ править ]

Функтор ассоциирования к любому набору множество всех ультрафильтров на формах с монадой называется ультрафильтрационной монады . Карта объекта${\displaystyle X}$${\displaystyle U(X)}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle X\to U(X)}$

отправляет любой элемент в главный ультрафильтр, заданный${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle x.}$

Эта монада допускает концептуальное объяснение как монада кодовой плотности включения категории конечных множеств в категорию всех множеств . ^[13]

Лемма об ультрафильтрации [ править ]

Лемма об ультрафильтре была впервые доказана Альфредом Тарским в 1930 году ^[12].

Лемма об ультрафильтре эквивалентна каждому из следующих утверждений:

1. Для каждого префильтра на множестве существует подчиненный ему максимальный префильтр . ^[2]${\displaystyle X,}$${\displaystyle X}$
2. Каждая подходящая подбаза фильтров в наборе содержится в каком-то ультрафильтре на${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$

Следствием леммы об ультрафильтрах является то, что каждый фильтр равен пересечению всех содержащих его ультрафильтров. ^{[14] [примечание 2]}

Следующие результаты могут быть доказаны с помощью леммы об ультрафильтрах. Свободный ультрафильтр существует на множестве тогда и только тогда, когда он бесконечен. Каждый собственный фильтр равен пересечению всех содержащих его ультрафильтров. ^[5] Поскольку есть фильтры, которые не являются ультра, это показывает, что пересечение семейства ультрафильтров не обязательно должно быть ультра. Семейство множеств может быть расширено до свободного ультрафильтра тогда и только тогда, когда пересечение любого конечного семейства элементов бесконечно.${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {F} \neq \varnothing }$${\displaystyle \mathbb {F} }$

Связь с другими утверждениями в ZF [ править ]

В этом разделе ZF относится к теории множеств Цермело – Френкеля, а ZFC относится к ZF с аксиомой выбора ( AC ). Лемма об ультрафильтре не зависит от ZF . То есть существуют модели, в которых аксиомы ZF верны, а лемма об ультрафильтре - нет. Также существуют модели ZF, в которых каждый ультрафильтр обязательно является главным.

Каждый фильтр, содержащий одноэлементный набор, обязательно является ультрафильтром и, учитывая определение дискретного ультрафильтра , не требует больше, чем ZF . Если конечно, то каждый ультрафильтр является дискретным фильтром в точке; следовательно, свободные ультрафильтры могут существовать только на бесконечных множествах. В частности, если конечно, то лемма об ультрафильтре может быть доказана из аксиом ZF . Существование свободного ультрафильтра на бесконечных множествах можно доказать, если принять аксиому выбора. В более общем плане лемма об ультрафильтре может быть доказана с помощью аксиомы выбора , которая вкратце утверждает, что любое декартово произведение непустых множеств непусто. Под ZF${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle \{S\subseteq X~:~x\in S\}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$, выбранная аксиома, в частности, эквивалентна (a) лемме Цорна , (b) теореме Тихонова , (c) слабой форме теоремы о векторном базисе (которая утверждает, что каждое векторное пространство имеет базис ), (d) сильная форма теоремы о векторном базисе и другие утверждения. Однако лемма об ультрафильтре строго слабее выбранной аксиомы. В то время как свободные Ультрафильтры может быть доказано , что существует, это не возможно построить явный пример свободной ультрафильтрации; то есть бесплатные ультрафильтры нематериальны. ^[15] Альфред Тарский доказал, что при ZFC мощность множества всех свободных ультрафильтров на бесконечном множестве${\displaystyle X}$равна мощности где обозначает набор степеней ^[16]${\displaystyle \wp (\wp (X)),}$${\displaystyle \wp (X)}$${\displaystyle X.}$

Утверждения, которые невозможно вывести [ править ]

Лемма об ультрафильтре - относительно слабая аксиома. Например, каждое из утверждений в следующем списке не может быть выведено из ZF вместе только с леммой об ультрафильтре:

1. Счетное объединение счетных множеств - это счетное множество.
2. Аксиома счетного выбора ( ACC ).
3. Аксиома зависимого выбора ( АЦП ).

Эквивалентные утверждения [ править ]

При ZF лемма об ультрафильтре эквивалентна каждому из следующих утверждений: ^[17]

1. Теорема о булевом простом идеале ( BPIT ).
   • Эта эквивалентность доказуема в теории множеств ZF без аксиомы выбора ( AC ).
2. Теорема Стоуна о представлении булевых алгебр .
3. Любое произведение булевых пространств является булевым пространством. ^[18]
4. Теорема существования булевого простого идеала : каждая невырожденная булева алгебра имеет простой идеал. ^[19]
5. Теорема Тихонова для пактов : Любой продукт из компактных хаусдорфовых пространств компактно. ^[18]
6. Если наделено дискретной топологией , то для любого множества пространство продукт является компактным . ^[18]${\displaystyle \{0,1\}}$${\displaystyle I,}$ ${\displaystyle \{0,1\}^{I}}$
7. Каждая из следующих версий теоремы Банаха-Алаоглу эквивалентна лемме об ультрафильтре:
   1. Любой равностепенно непрерывный набор скалярнозначных отображений на топологическом векторном пространстве (TVS) относительно компактен в слабой * топологии (то есть содержится в некотором слабом * компактном множестве). ^[20]
   2. Полярная любой окрестности нуля в ТВС является -слабо компактное подмножество его непрерывного сопряженного пространства . ^[20]${\displaystyle X}$
   3. Замкнутый единичный шар в непрерывном сопряженном пространстве любого нормированного пространства слабо компактен. ^[20]
      • Если нормированное пространство сепарабельно, лемма об ультрафильтре достаточна, но не обязательна для доказательства этого утверждения.
8. Топологическое пространство компактно, если каждый ультрафильтр на сходится к некоторому пределу. ^[21]${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$
9. Топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда каждый ультрафильтр на сходится к некоторому пределу. ^[21]${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$
   • Добавление слов «и только если» - единственное отличие этого утверждения от того, что находится непосредственно над ним.
10. Лемма Ultranet: каждая сеть имеет универсальную подсеть. ^[22]
    • По определению сеть в называется ультрасетью или универсальной сетью, если для каждого подмножества сеть в конечном итоге находится в или в${\displaystyle X}$${\displaystyle S\subseteq X,}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X\setminus S.}$
11. Топологическое пространство компактно тогда и только тогда, когда каждая ультрасеть на сходится к некоторому пределу. ^[21]${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$
    • Если убрать слова «и только если», то полученное утверждение остается эквивалентным лемме об ультрафильтре. ^[21]
12. Конвергенция пространство является компактным , если каждый ультрафильтр сходится. ^[21]${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$
13. Равномерное пространство является компактным , если оно полное и вполне ограничено . ^[21]
14. Теорема Стоуна – Чеха о компактификации . ^[18]
15. Каждая из следующих версий теоремы компактности эквивалентна лемме об ультрафильтре:
    1. Если это набор первого порядка предложений таких , что каждое конечное подмножество имеет модель , то есть модель. ^[23]${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \Sigma }$
    2. Если это набор предложений нулевого порядка , у каждого конечного подмножества есть модель, то есть модель. ^[23]${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \Sigma }$
16. Теорема о полноте : Если это набор нулевого порядка предложений, синтаксический непротиворечиво, то она имеет модель (то есть, это семантически соответствует).${\displaystyle \Sigma }$

Более слабые утверждения [ править ]

Любое утверждение, которое можно вывести из леммы об ультрафильтре (вместе с ZF ), называется более слабым, чем лемма об ультрафильтре. Более слабое утверждение называется строго более слабым, если при ZF оно не эквивалентно лемме об ультрафильтре. При ZF лемма об ультрафильтре влечет каждое из следующих утверждений:

1. Аксиома выбора конечных множеств ( АКФ ): данное семейство непустых конечных множеств, их произведение не пусто. ^[22]${\displaystyle I\neq \varnothing }$${\displaystyle \left(X_{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}}$
2. Счетное объединение конечных множеств счетное множество.
   • Однако ZF с леммой об ультрафильтре слишком слаба, чтобы доказать, что счетное объединение счетных множеств является счетным множеством.
3. Теорема Хана – Банаха . ^[22]
   • В ZF теорема Хана – Банаха строго слабее леммы об ультрафильтре.
4. Банаха-Тарского парадокс .
   • Фактически, при ZF парадокс Банаха – Тарского может быть выведен из теоремы Хана – Банаха , ^{[24] [25],} которая строго слабее, чем лемма об ультрафильтре.
5. Каждый набор можно упорядочить линейно .
6. Каждое поле имеет уникальное алгебраическое замыкание .
7. Теорема Александера о суббазе . ^[22]
8. Существуют нетривиальные сверхпродукты .
9. Теорема о слабом ультрафильтре: свободный ультрафильтр существует на ${\displaystyle \mathbb {N} .}$
   • При ZF из теоремы об ультрафильтре не следует лемма об ультрафильтре; т. е. он строго слабее леммы об ультрафильтре.
10. На каждом бесконечном множестве существует свободный ультрафильтр;
    • На самом деле это утверждение строго слабее леммы об ультрафильтре.
    • Сама по себе ZF даже не означает, что на некотором множестве существует неглавный ультрафильтр .

Полнота [ править ]

Полноты ультрафильтра на Powerset является самым маленьким кардинальное κ таким образом, что существуют элементы К , пересечение которых не определения ультрафильтра следует , что полнота любого POWERSET ультрафильтра, по крайней мере . Ультрафильтр , чья полнота больше , чем , то есть, пересечение любого счетного набора элементов все еще находится в -это называется счетно полным или σ-полной .${\displaystyle U}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U.}$ ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} ${\displaystyle \aleph _{0}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U}$

Полнота счетно полного неглавного ультрафильтра на powerset всегда является измеримым кардиналом . ^{[ необходима цитата ]}

Заказ на ультрафильтры [ править ]

Упорядоченность Рудина-Кейслера (названный по имени Мэри Эллен Рудин и Говард Jerome Кейслера ) является предзаказ на классе POWERSET ультрафильтрами определяется следующим образом : если ультрафильтр на и ультрафильтр на то , если существует функция такая , что${\displaystyle U}$${\displaystyle \wp (X),}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \wp (Y),}$${\displaystyle V\leq {}_{RK}U}$${\displaystyle f:X\to Y}$

${\displaystyle C\in V}$ если и только если ${\displaystyle f^{-1}[C]\in U}$

для каждого подмножества ${\displaystyle C\subseteq Y.}$

Ультрафильтры и называется Рудин-Кейслер эквивалентны , обозначается U ≡ _Р.К. V , если существуют наборы и и взаимно однозначное соответствие, что удовлетворяет условие выше. (Если и имеют одинаковую мощность, определение можно упростить, зафиксировав )${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$ ${\displaystyle A\in U}$${\displaystyle B\in V}$ ${\displaystyle f:A\to B}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle A=X,}$ ${\displaystyle B=Y.}$

Известно, что ≡ _RK является ядром ≤ _RK , т. Е. Что U ≡ _RK V тогда и только тогда, когда и ^[26]${\displaystyle U\leq {}_{RK}V}$${\displaystyle V\leq {}_{RK}U.}$

Ультрафильтры на ${\displaystyle \wp (\omega )}$[ править ]

Есть несколько специальных свойств, ультрафильтр на котором распространяется натуральные числа , может обладать, которые оказываются полезными в различных областях теории множеств и топологии.${\displaystyle \wp (\omega ),}$${\displaystyle \omega }$

• Неглавный ультрафильтр называется P-точка (или слабо селективных ) , если для каждого раздела из таких , что для всех существует некоторое такое , что для всех конечное множество для каждого${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \left\{C_{n}:n<\omega \right\}}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle n<\omega ,}$ ${\displaystyle C_{n}\not \in U,}$${\displaystyle A\in U}$${\displaystyle A\cap C_{n}}$${\displaystyle n.}$
• Неглавный ультрафильтр называется Рэмси (или селективным ) , если для каждого раздела из таких , что для всех существует некоторые такие , что является одноточечным множеством для каждого${\displaystyle U}$${\displaystyle \left\{C_{n}:n<\omega \right\}}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle n<\omega ,}$ ${\displaystyle C_{n}\not \in U,}$${\displaystyle A\in U}$${\displaystyle A\cap C_{n}}$${\displaystyle n.}$

То, что все ультрафильтры Рамсея являются P-точками, является тривиальным наблюдением. Вальтер Рудин доказал, что из гипотезы континуума следует существование ультрафильтров Рамсея. ^[27] Фактически, многие гипотезы предполагают существование ультрафильтров Рамсея, включая аксиому Мартина . Позже Сахарон Шелах показал, что ультрафильтры с точкой Р не подлежат сомнению. ^[28] Следовательно, существование этих типов ультрафильтров не зависит от ZFC .

P-точки называются таковыми, потому что они являются топологическими P-точками в обычной топологии пространства βω \ ω неглавных ультрафильтров. Имя Рэмси происходит от теоремы Рэмси . Чтобы понять, почему, можно доказать, что ультрафильтр является рамсеевским тогда и только тогда, когда для каждой 2-раскраски существует элемент ультрафильтра, имеющий однородный цвет.${\displaystyle [\omega ]^{2}}$

Ультрафильтр является рамсеевским тогда и только тогда, когда он минимален в упорядочении Рудина – Кейслера неглавных ультрафильтров по степеням. ^{[ необходима цитата ]}${\displaystyle \wp (\omega )}$

См. Также [ править ]

• Фильтр (математика)  - в математике специальное подмножество частично упорядоченного множества.
• Фильтры в топологии  - использование фильтров для описания и характеристики всех основных топологических понятий и результатов.
• Универсальная сеть

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

Библиография [ править ]

• Архангельский Александр Владимирович ; Пономарев В.И. (1984). Основы общей топологии: задачи и упражнения . Математика и ее приложения. 13 . Дордрехт Бостон: Д. Рейдел . ISBN 978-90-277-1355-1. OCLC  9944489 .
• Бурбаки, Николас (1989) [1966]. Общая топология: главы 1–4 [ Topologie Générale ]. Éléments de mathématique . Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC  18588129 .
• Диксмье, Жак (1984). Общая топология . Тексты для бакалавриата по математике. Перевод Berberian, SK New York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90972-1. OCLC  10277303 .
• Долецкий, Шимон ; Майнард, Фредерик (2016). Основы сходимости топологии . Нью-Джерси: Всемирная научная издательская компания. ISBN 978-981-4571-52-4. OCLC  945169917 .
• Дугунджи, Джеймс (1966). Топология . Бостон: Аллин и Бэкон. ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC  395340485 .
• Часар, Акос (1978). Общая топология . Перевод Часара, Клара. Бристоль, Англия: ISBN Adam Hilger Ltd. 0-85274-275-4. OCLC  4146011 .
• Jech, Томас (2006). Теория множеств: издание третьего тысячелетия, переработанное и расширенное . Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-44085-7. OCLC  50422939 .
• Джоши, К.Д. (1983). Введение в общую топологию . Нью-Йорк: ISBN John Wiley and Sons Ltd. 978-0-85226-444-7. OCLC  9218750 .
• Наричи, Лоуренс ; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .
• Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC  175294365 .
• Шуберт, Хорст (1968). Топология . Лондон: Macdonald & Co. ISBN 978-0-356-02077-8. OCLC  463753 .

Дальнейшее чтение [ править ]

• Комфорт, WW (1977). «Ультрафильтры: старые и новые результаты» . Бюллетень Американского математического общества . 83 (4): 417–455. DOI : 10.1090 / S0002-9904-1977-14316-4 . ISSN  0002-9904 . Руководство по ремонту  0454893 .
• Комфорт, WW; Негрепонтис, С. (1974), Теория ультрафильтров , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , MR  0396267
• Ультрафильтр в nLab