Ультрафильтр

Решетка powerset набора {1,2,3,4}, верхний набор ↑ {1,4} окрашен в темно-зеленый цвет. Это основной фильтр , но не ультрафильтр , поскольку его можно расширить до нетривиального фильтра ↑ {1} большего размера, включив также светло-зеленые элементы. Поскольку ↑ {1} не может быть расширен дальше, это ультрафильтр.

В математической области теории множеств , ультрафильтр на заданном частично упорядоченного множества (ч.у.м.) Р является некоторое подмножество Р, а именно максимальный фильтр на P , то есть соответствующий фильтр , на Р , которая не может быть увеличена до более крупный собственно фильтр на P .

Если X - произвольное множество, его набор мощностей ℘ ( X ), упорядоченный по включению множества , всегда является булевой алгеброй и, следовательно, ч.у.набором, а (ультра) фильтры на ( X ) обычно называются "(ультра) фильтрами на X ". ^{[примечание 1]} Ультрафильтр на множестве X может рассматриваться как конечно аддитивная мера на X. С этой точки зрения каждое подмножество X либо считается « почти всем » (имеет меру 1), либо «почти ничего» (имеет меру 0 ), в зависимости от того, принадлежит ли он данному ультрафильтру или нет. ^{[цитата необходима ]}

Ультрафильтры имеют множество приложений в теории множеств, теории моделей и топологии . ^{[1] : 186}

Ультрафильтры на частичных заказах [ править ]

В теории порядка , ультрафильтр является подмножеством из частично упорядоченного множества , что является максимальным среди всех собственных фильтров . Это означает, что любой фильтр, который должным образом содержит ультрафильтр, должен быть равен всему poset.

Формально, если P - множество, частично упорядоченное (≤), то

• подмножество F в P называется фильтром на P, если
  • F непусто,
  • для каждого x , y в F существует некоторый элемент z в F такой, что z ≤ x и z ≤ y , и
  • для каждого x в F и y в P , x ≤ y влечет, что y тоже находится в F ;
• собственное подмножество U из Р называется ультрафильтром на Р , если
  • U - фильтр на P , и
  • на P не существует подходящего фильтра F, который должным образом расширяет U (то есть такой, что U является собственным подмножеством F ).

Частный случай: ультрафильтр на булевой алгебре [ править ]

Важный частный случай концепции возникает, если рассматриваемый ч.у. является булевой алгеброй . В этом случае ультрафильтры характеризуются тем, что содержат для каждого элемента a булевой алгебры ровно один из элементов a и ¬ a (последний является булевым дополнением к a ):

Если P - булева алгебра, а F - собственный фильтр на P , то следующие утверждения эквивалентны:

1. F - ультрафильтр на P ,
2. F - простой фильтр на P ,
3. для каждого а в Р , либо в F или (¬ ) в F . ^{[1] : 186}

Доказательство утверждения 1. ⇔ 2. также дано в (Burris, Sankappanavar, 2012, Corollary 3.13, p.133). ^[2]

Более того, ультрафильтры на булевой алгебре могут быть связаны с максимальными идеалами, а гомоморфизмы - с 2-элементной булевой алгеброй {true, false} (также известной как двузначные морфизмы ) следующим образом:

• Учитывая гомоморфизм булевой алгебры на {true, false}, прообраз «true» является ультрафильтром, а прообраз «false» - максимальным идеалом.
• Для данного максимального идеала булевой алгебры ее дополнение является ультрафильтром, и существует единственный гомоморфизм на {true, false}, переводящий максимальный идеал в «ложь».
• Для данного ультрафильтра на булевой алгебре его дополнение является максимальным идеалом, и существует единственный гомоморфизм на {true, false}, переводящий ультрафильтр в «истину». ^{[ необходима цитата ]}

Частный случай: ультрафильтр на powerset набора [ править ]

Для произвольного множества X его множество степеней ℘ ( X ), упорядоченное по включению множеств , всегда является булевой алгеброй; следовательно, результаты предыдущего раздела. Особый случай: применима булева алгебра . (Ультра) фильтр на ℘ ( X ) часто называют просто «(ультра) фильтром на X ». ^{[примечание 1]} Приведенные выше формальные определения могут быть конкретизированы для случая powerset следующим образом:

Для произвольного множества X ультрафильтр на ℘ ( X ) - это множество U, состоящее из подмножеств X таких, что:

1. Пустое множество не является элементом U .
2. Если и В являются подмножествами X , множество является подмножеством B , и является элементом U , то В является также элементом U .
3. Если и B являются элементами U , то и пересечение из A и B .
4. Если является подмножеством X , то либо ^{[примечание 2]} или его относительное дополнение Х \ является элементом U .

Другой способ взглянуть на ультрафильтры на множестве степеней ℘ ( X ) следующий: для данного ультрафильтра U определите функцию m на ℘ ( X ), положив m ( A ) = 1, если A является элементом U и m ( A ) = 0 в противном случае. Такая функция называется двузначным морфизмом . Тогда т является конечно - аддитивная , и , следовательно, содержание на ℘ ( X ), и каждое свойство элементов X является либо истинным , почти вездеили ложь почти везде. Однако m обычно не является счетно аддитивным и, следовательно, не определяет меру в обычном смысле.

Для фильтра F, который не является ультрафильтром, можно было бы сказать, что m ( A ) = 1, если A  ∈  F, и m ( A ) = 0, если X \ A  ∈  F , оставив m неопределенным в другом месте. ^{[ необходима цитата ] [ требуется пояснение ]}

Приложения [ править ]

Ультрафильтры на наборах степеней полезны в топологии , особенно в отношении компактных хаусдорфовых пространств, и в теории моделей при построении ультрапроизведений и сверхстепеней . Каждый ультрафильтр на компактном хаусдорфовом пространстве сходится ровно к одной точке. Точно так же ультрафильтры на булевых алгебрах играют центральную роль в теореме Стоуна о представлении .

Множество G всех ультрафильтров ч.у. P можно топологизировать естественным образом, что фактически тесно связано с вышеупомянутой теоремой о представлении. Для любого элемента a из P пусть D _a = { U ∈ G | a ∈ U }. Это особенно полезно , когда P снова булева алгебра, так как в этом случае множество всех D _а является базой для бикомпакта топологии на G . Особенно, если рассматривать ультрафильтры на powerset ℘ ( S ), результирующее топологическое пространствоявляется стоун-чеховским из дискретного пространства мощ | S |,

Ультрапроизведение строительство в модели теории использований ультрафильтрами производить элементарные расширения структур. Например, при построении Гипердействительных чисел как ультрапроизведения из действительных чисел , то область дискурса протягивается от действительных чисел в последовательность действительных чисел. Это пространство последовательностей рассматривается как надмножествовещественных чисел, отождествляя каждое действительное с соответствующей постоянной последовательностью. Чтобы распространить знакомые функции и отношения (например, + и <) с вещественных на гиперреальные, естественная идея состоит в том, чтобы определить их точечно. Но это потеряло бы важные логические свойства действительных чисел; например, точечный <не является полным порядком. Поэтому вместо этого функции и отношения определяются « поточечно по модулю U », где U - ультрафильтр на множестве индексов последовательностей; по теореме Лоша это сохраняет все свойства вещественных чисел, которые могут быть сформулированы в логике первого порядка . Если U неглавно, то полученное таким образом расширение нетривиально.

В геометрической теории групп неглавные ультрафильтры используются для определения асимптотического конуса группы. Эта конструкция дает строгий способ рассмотрения группы с бесконечности , то есть крупномасштабной геометрии группы. Асимптотические конусы являются частными примерами ultralimits из метрических пространств .

В онтологическом доказательстве существования Бога Гёдель использует в качестве аксиомы, что набор всех «положительных свойств» является ультрафильтром.

В теории социального выбора неглавные ультрафильтры используются для определения правила (называемого функцией общественного благосостояния ) агрегирования предпочтений бесконечного числа людей. Вопреки теореме о невозможности Эрроу для конечного числа людей, такое правило удовлетворяет условиям (свойствам), которые предлагает Эрроу (например, Kirman and Sondermann, 1972). ^[3] Mihara (1997, ^[4] 1999) ^[5] показывает, однако, что такие правила практически не представляют интереса для социологов, поскольку они неалгоритмичны или невычислимы.

Типы и наличие ультрафильтров [ править ]

Есть два очень разных типа ультрафильтров: основной и бесплатный. Основным (или фиксированный , или тривиальное ) ультрафильтр представляет собой фильтр , содержащий наименьший элемент . Следовательно, основные ультрафильтры имеют вид F _a = { x | a ≤ x } для некоторых (но не всех) элементов a данного чугуна. В этом случае a называется главным элементом ультрафильтра. Любой ультрафильтр, который не является главным, называется свободным (или неглавным ) ультрафильтром.

Для ультрафильтров на Powerset ℘ ( S ), главный ультрафильтр состоит из всех подмножеств S , которые содержат данный элемент ев из S . Каждый ультрафильтр на ℘ ( S ), который также является главным фильтром, имеет такой вид. ^{[1] : 187} Следовательно, ультрафильтр U на ( S ) является главным тогда и только тогда, когда он содержит конечное множество. ^{[Примечание 3]} Если S является бесконечным, ультрафильтр U на ℘ ( S ), следовательно , неглавный тогда и только тогда , когда оно содержит фильтр Фреше из коконечен подмножествиз S . ^{[примечание 4] [ необходимая ссылка ]} Если S конечно, каждый ультрафильтр является главным. ^{[1] : 187}

Можно показать, что каждый фильтр на булевой алгебре (или, в более общем смысле, любое подмножество со свойством конечного пересечения ) содержится в ультрафильтре (см. Лемму об ультрафильтре ), и что поэтому существуют свободные ультрафильтры, но доказательства включают аксиому выбора (AC ) в виде леммы Цорна . С другой стороны, утверждение, что каждый фильтр содержится в ультрафильтре, не подразумевает AC. Действительно, это эквивалентно булевой теореме о простом идеале (BPIT), хорошо известному промежуточному пункту между аксиомами теории множеств Цермело – Френкеля.(ZF) и теория ZF, дополненная аксиомой выбора (ZFC). В общем, доказательства, включающие аксиому выбора, не дают явных примеров свободных ультрафильтров, хотя можно найти явные примеры в некоторых моделях ZFC; например, Гёдель показал, что это может быть сделано в конструктивной вселенной, где можно написать явную функцию глобального выбора. В ZF без аксиомы выбора возможно, что каждый ультрафильтр является главным. ^[6]

Ультрафильтры на наборах [ править ]

Фильтр подоснова является непустое семейство множеств, имеет конечное свойство пересечения (т.е. все конечные пересечения непустые). Эквивалентно, подбаза фильтра - это непустое семейство наборов, которое содержится в некотором подходящем фильтре. Говорят, что наименьший (относительно) правильный фильтр, содержащий данную суббазу фильтра, генерируется суббазой фильтра.

Вверх замыкание в X семейства множеств Р есть множество { S  :  ⊆ S ⊆ X  для некоторого  ∈ P }.

Предфильтр Р является (т.е. не пусто и собственно ∅ ∉ Р ) семейство множеств , которые направленной вниз , что означает , что если В , С ∈ Р , то существует некоторый ∈ P такое , что ⊆ B ∩ C . Эквивалентно, предфильтр любое семейство множеств Р , чье вверх замыкание является собственным фильтром, и в этом случае этот фильтр называется фильтр , порожденный Р .

Двойственный X ^[7] из семейства множеств U есть множество Х ∖ U  : = { X ∖ B  : B ∈ U }.

Обобщение на ультра префильтры [ править ]

Семейство U ≠ ∅ подмножеств X называется ультра, если ∅ ∉ U и выполняется любое из следующих эквивалентных условий: ^{[7] [8]}

1. Для любого множества S ⊆ X существует некоторое множество B ∈ U такое, что B ⊆ S или B ⊆ X ∖ S (или, что эквивалентно, такое, что B ∩ S равно B или ∅ ).
2. Для любого множества S ⊆∪B ∈ U B существует некоторое множество B ∈ U такое, что B ∩ S равно B или ∅ .
   • Здесь, ∪B ∈ U В определяется как объединение всех множеств в U .
   • Эта характеристика « U является ультра» не зависит от набора X , поэтому упоминание набора X необязательно при использовании термина «ультра».
3. Для каждого множества S (не обязательно даже подмножества X  ) существует некоторое множество B ∈ U такое, что B ∩ S равно B или ∅ .
   • Если U удовлетворяет это условие , то так делает каждый SUPERSET V ⊇ U . В частности, множество V является ультра, если и только если ∅ ∉ V и V содержит в качестве подмножества некоторое ультра семейство множеств.

Суббаза фильтра, которая является ультра, обязательно является предварительным фильтром.

Ультра предфильтр ^{[7] [8]} является предфильтр , что ультра. Эквивалентно, это суббаза фильтра, которая является ультра.

Ультрафильтр ^{[7] [8]} на X является собственным фильтром на X , что ультра. Эквивалентно, это любой правильный фильтр на X, который создается ультра префильтром.

Толкование как большие множества

Элементы надлежащего фильтра F на X можно рассматривать как «большие множества (относительно F )», а дополнения в X больших множеств можно рассматривать как «маленькие» множества ^[9] («маленькие» множества "- это в точности элементы идеала X ∖ F ). В общем, могут быть подмножества X , которые не являются ни большими, ни маленькими, или, возможно, одновременно большими и малыми. Двойственный идеал - это фильтр (т.е. собственный), если нет множества одновременно больших и малых, или, что то же самое, если ∅ невелико . ^[9] Фильтр является ультра тогда и только тогда, когдакаждое подмножество X либо велико, либо мало. Используя эту терминологию, определяющие свойства фильтра можно перезапустить следующим образом: (1) любое надмножество большого множества является большим множеством, (2) пересечение любых двух (или конечного числа) больших множеств велико, (3) X является большим множеством (т.е. F ≠ ∅ ), (4) пустое множество невелико. Различные двойственные идеалы дают разные представления о «больших» множествах.

Ультра префильтры как максимальные префильтры

Чтобы охарактеризовать ультрапрефильтры с точки зрения «максимальности», необходимо следующее соотношение.

Принимая во внимание два семейства множеств М и N , семейство М называется грубее ^{[10] [11]} , чем N , и N является более тонкой , чем и подчинен М , записывается M ≤ N или N ⊢ M , если для каждого C ∈ М , существует некоторая F ∈ N такое , что F ⊆ C . Семейства M и N называются эквивалентными, еслиМ ≤ N и N ≤ M . Семейства М и N являются сопоставимыми , если одно из этих множеств тоньшечем другие. ^[10]

Отношение подчинения, то есть   ≤ , является предварительным порядком, поэтому приведенное выше определение «эквивалентного» действительно образует отношение эквивалентности . Если M ⊆ N, то M ≤ N, но обратное, вообще говоря, неверно. Однако, если N является закрытым вверх, такой как фильтр, то M ≤ N тогда и только тогда , когда M ⊆ N . Каждый предварительный фильтр эквивалентен создаваемому им фильтру. Это показывает, что фильтры могут быть эквивалентны наборам, которые не являются фильтрами.

Если два семейства множеств M и N эквивалентны , то либо оба М и N являются ультра (соотв. Префильтры, фильтр подбаз) или иным образом ни один из них не является ультра (соответственно. Предварительный фильтр, фильтр предбазой). В частности, если суббаза фильтра также не является предварительным фильтром, то она не эквивалентна фильтру или предварительному фильтру, который она создает. Если М и N являются оба фильтра на X , то М и Н эквивалентны тогда и только тогда , когда M = N . Если собственный фильтр (или ультрафильтр) эквивалентен семейству множеств M, тоM обязательно является предварительным фильтром (или ультра-префильтром). Используя следующую характеристику, можно определить префильтры (соответственно ультра-префильтры), используя только концепцию фильтров (соответственно ультрафильтров) и подчинения:

Семейство наборов является предварительным фильтром (соответственно ультра-предварительным фильтром) тогда и только тогда, когда оно эквивалентно собственному фильтру (соответственно ультрафильтру).

Максимальное предфильтр на X ^{[7] [8]} является предфильтр U ⊆ ℘ ( Х ) , который удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:

1. U ультра.
2. U является максимальным на Префильтры ( X ) (по отношению к ≤ ),означаетчто если P ∈ Префильтры ( X ) удовлетворяет условию U ≤ P тогда P ≤ U . ^[8]
3. Там нет предфильтра правильно подчинен U . ^[8]
4. Если правильный фильтр F на X удовлетворяет U ≤ F , то F ≤ U .
5. Фильтр на X, порожденный U, является ультра.

Характеристики [ править ]

На ℘ ( ∅ ) нет ультрафильтров, поэтому в дальнейшем предполагается, что X ≠ ∅ .

Фильтр суб базовой U на X ультрафильтр на X тогда и только тогда , когда какой - либо из следующих эквивалентных условий: ^{[7] [8]}

1. для любого S ⊆ X , либо S ∈ U или X ∖ S ∈ U .
2. U представляет собой максимальный фильтр подоснова на X ,означаетчто если F является любой фильтр подоснова на X , то U ⊆ F означает , U = F . ^[9]

Собственный фильтр U на X является ультрафильтром на X тогда и только тогда, когда выполняется любое из следующих эквивалентных условий:

1. U - ультра;
2. U генерируется ультрафильтром предварительной очистки;
3. Для любого подмножества S ⊆ X , S ∈ U или X ∖ S ∈ U . ^[9]
   • Таким образом, ультрафильтр U решает для каждого S ⊆ X , является ли S «большим» (т.е. S ∈ U ) или «маленьким» (т.е. X ∖ S ∈ U ). ^[12]
4. Для каждого подмножества A из X либо ^{[примечание 2]} A находится в U, либо ( X \ A ) входит.
5. U ∪ ( X ∖ U ) = ℘ ( X ) . Это условие может быть пересчитано как: ℘ ( Х ) разбивается U и ее двойной X ∖ U .
   • Множества P и X ∖ P не пересекаются для всех Префильтры P на X .
6. ℘ ( Х ) ∖ U = { S ∈ ℘ ( Х ): S ∉ U } является идеальным на X . ^[9]
7. Для любого конечного семейства S ₁ , ..., S _n подмножеств X (где n ≥ 1 ), если S ₁ ∪ ⋅⋅⋅ S _n ∈ U, то S _i ∈ U для некоторого индекса i .
   • На словах «большой» набор не может быть конечным объединением небольших наборов. ^[13]
8. Для любого R , S ⊆ X , если R ∪ S = X , то R ∈ U или S ∈ U .
9. Для любого R , S ⊆ X , если R ∪ S ∈ U, то R ∈ U или S ∈ U (фильтр с этим свойством называется простым фильтром ).
10. Для любого R , S ⊆ X , если R ∪ S ∈ U и R ∩ S = ∅ , то либо R ∈ U или S ∈ U .
11. U - максимальный фильтр; то есть, если Р представляет собой фильтр на X такимчто U ⊆ F , то U = F . Эквивалентно, U является максимальным фильтром, еслина X нет фильтра F, который содержит U в качестве правильного подмножества (т.е. который строго более тонкий, чем U ). ^[9]

Грили и фильтры-решетки [ править ]

Если тогда его решетка - это семейство, которое закрыто вверх, и более того, так что оно закрыто вверх, если и только если If является подосновой фильтра, то ^[14] Кроме того, и Решетка фильтра на называется решеткой фильтра on ^[14] For any является решеткой фильтра в том и только в том случае, если (1) закрывается вверх и (2) для всех множеств, и if then или Операция решетки, определяемая с помощью, является взаимно однозначным отображением, обратное значение которого также задается ^{[ 14]} Если${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\#X}:={\mathcal {B}}^{\#}:=\{S\subseteq X~:~S\cap B\neq \varnothing {\text{ for all }}B\in {\mathcal {B}}\},}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\#\#}={\mathcal {B}}^{\uparrow X}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\#\#}={\mathcal {B}}.}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {B}}^{\#}.}$${\displaystyle (\wp (X))^{\#}=\varnothing }$${\displaystyle \varnothing ^{\#}=\wp (X).}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle \varnothing \neq {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X),}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle R}$${\displaystyle S,}$${\displaystyle R\cup S\in {\mathcal {B}}}$${\displaystyle R\in {\mathcal {B}}}$${\displaystyle S\in {\mathcal {B}}.}$${\displaystyle {\bullet }^{\#X}~:~\operatorname {Filters} (X)\to \operatorname {FilterGrills} (X),}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\mapsto {\mathcal {F}}^{\#X},}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\mapsto {\mathcal {F}}^{\#X}.}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\in \operatorname {Filters} (X)}$then является фильтром-решеткой тогда и только тогда, когда ^[14] или эквивалентно, тогда и только если ультрафильтр включен ^[14] Фильтр-решетки , таким образом, такие же, как ультрафильтры включены. Для любого непустого фильтра-решетки на тогда и только тогда и для всех подмножеств выполняются следующие эквивалентности: тогда и только тогда, когда и только если ^[14]${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}={\mathcal {F}}^{\#X},}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq \wp (X),}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \varnothing \not \in {\mathcal {F}}}$${\displaystyle R,S\subseteq X,}$${\displaystyle R\cup S\in {\mathcal {F}}}$${\displaystyle R,S\in {\mathcal {F}}}$${\displaystyle R\cap S\in {\mathcal {F}}.}$

Бесплатно или принципиально [ править ]

Если P является любым непустым семейством множеств , то ядро из P является пересечением всех множеств в Р :

ker P  : =  ∩B ∈ P B ^[15]

Непустое семейство множеств P называется:

• свободен, если ker P = ∅, и фиксирован в противном случае (т.е. если ker P ≠ ∅ ),
• главный, если ker P ∈ P ,
• главный в точке, если ker P ∈ P и ker P - одноэлементное множество; в этом случае, если ker P = { x }, то P называется главным в x .

Если семейство множеств P фиксировано, то P является ультра, если и только если некоторый элемент P является одноэлементным набором, и в этом случае P обязательно будет предварительным фильтром. Каждый главный предварительный фильтр фиксирован, поэтому главный предварительный фильтр P является ультра, если и только если ker P - одноэлементное множество. Одноэлементный набор является ультра, если и только если его единственный элемент также является одноэлементным набором.

Каждый фильтр на X, который является главным в одной точке, является ультрафильтром, и если вдобавок X конечно, то на X нет других ультрафильтров, кроме этих. ^[15] Если существует свободный ультрафильтр (или даже подбаза фильтра) на множестве X, то X должен быть бесконечным.

Следующая теорема показывает, что каждый ультрафильтр попадает в одну из двух категорий: либо он бесплатный, либо это главный фильтр, порожденный одной точкой.

Примеры, свойства и достаточные условия [ править ]

Если U и S - такие семейства множеств, что U ультра, ∅ ∉ S и U ≤ S , то S обязательно ультра. Подбаза фильтра U, которая не является предварительным фильтром , не может быть ультра; но, тем не менее, предварительный фильтр и фильтр, генерируемые U, могут быть ультра.

Предположим, что U ⊆ ℘ ( X ) ультра, а Y - множество. След U ∩ Y  : = { B ∩ Y  :  B ∈ U } является ультра тогда и только тогда, когда он не содержит пустого множества. Более того, по крайней мере одно из множеств [ U ∩ Y ] ∖ {∅} и [ U ∩ ( X ∖ Y )] ∖ {∅} будет ультра (этот результат распространяется на любое конечное разбиение X ). Если F ₁ , ..., F _nпредставляют собой фильтры на X , U ультрафильтр на X , и F ₁ ∩ ⋅⋅⋅ ∩ F _п ≤ U , то есть некоторая Р _я , что удовлетворяет F _я ≤ U . ^[16] Этот результат не обязательно верен для бесконечного семейства фильтров. ^[16]

Образ при отображении f  : X → Y ультрамножества U ⊆ ℘ ( X ) снова является ультра, и если U - ультра предварительный фильтр, то f ( U  ) тоже . Свойство быть ультра сохраняется при биекциях. Однако прообраз ультрафильтра не обязательно ультра, даже если отображение сюръективно. Например, если X имеет более одной точки и если диапазон f  : X → Y состоит из одной точки { y }, то {{ y }}является ультра-префильтром на Y, но его прообраз не ультра. В качестве альтернативы, если U является основным фильтром, порожденным точкой в Y ∖ f  ( X ), тогда прообраз U содержит пустое множество и поэтому не является ультра.

Элементарный фильтр, индуцированный бесконечной последовательностью, все точки которой различны, не является ультрафильтром. ^[16] Если n = 2 , U _n обозначает множество, состоящее из всех подмножеств X, имеющих мощность n , и если X содержит не менее 2 n - 1 ( = 3 ) различных точек, то U _n ультра, но не содержится в любой префильтр. Этот пример обобщается на любое целое число n > 1, а также на n = 1, если Xсодержит более одного элемента. Ультра-наборы, не являющиеся одновременно предфильтрами, используются редко.

Для каждого и каждого let If является ультрафильтром на X, то множество всех таких, что является ультрафильтром на ^[17]${\displaystyle S\subseteq X\times X}$${\displaystyle a\in X,}$${\displaystyle S{\big \vert }_{\{a\}\times X}:=\left\{y\in X~:~(a,y)\in S\right\}.}$${\displaystyle {\mathcal {U}}}$${\displaystyle S\subseteq X\times X}$${\displaystyle \left\{a\in X~:~S{\big \vert }_{\{a\}\times X}\in {\mathcal {U}}\right\}\in {\mathcal {U}}}$${\displaystyle X\times X.}$

Структура монады [ править ]

Функтор ассоциирования для любого множества X множества U ( X ) всех ультрафильтров на X образует монаду называется ультрафильтр монада . Карта объекта

${\displaystyle X\to U(X)}$

отправляет любой элемент x ∈ X в главный ультрафильтр, задаваемый x .

Эта монада допускает концептуальное объяснение как монада кодовой плотности включения категории конечных множеств в категорию всех множеств . ^[18]

Лемма об ультрафильтрации [ править ]

Лемма об ультрафильтре была впервые доказана Альфредом Тарским в 1930 году ^[17].

Лемма об ультрафильтре эквивалентна каждому из следующих утверждений:

1. Для каждого предварительного фильтра на множестве существует подчиненный ему максимальный предварительный фильтр . ^[7]${\displaystyle X,}$${\displaystyle X}$
2. Каждая подходящая подбаза фильтров в наборе содержится в каком-то ультрафильтре на${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$

Следствием леммы об ультрафильтрах является то, что каждый фильтр равен пересечению всех содержащих его ультрафильтров. ^{[19] [примечание 5]}

Следующие результаты могут быть доказаны с помощью леммы об ультрафильтрах. Свободный ультрафильтр существует на множестве тогда и только тогда, когда он бесконечен. Каждый собственный фильтр равен пересечению всех содержащих его ультрафильтров. ^[10] Поскольку есть фильтры, которые не являются ультра, это показывает, что пересечение семейства ультрафильтров не обязательно должно быть ультра. Семейство множеств может быть расширено до свободного ультрафильтра тогда и только тогда, когда пересечение любого конечного семейства элементов бесконечно. ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {F} \neq \varnothing }$${\displaystyle \mathbb {F} }$

Связь с другими утверждениями в ZF [ править ]

В этом разделе предполагается теория множеств Цермело – Френкеля (ZF). Лемма об ультрафильтре эквивалентна булевой теореме о простом идеале , эквивалентность которой доказывается в теории множеств ZF без аксиомы выбора. В предположении ZF лемма об ультрафильтре эквивалентна лемме об ультрасети: каждая сеть имеет универсальную подсеть. ^[20] По определению сеть является ультрасетью или универсальной сетью, если для каждого подмножества сеть в конечном итоге находится в или${\displaystyle X}$${\displaystyle S\subseteq X,}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X\setminus S.}$

Каждый фильтр, содержащий одноэлементный набор, обязательно является ультрафильтром, и, учитывая определение дискретного ультрафильтра , не требует больше, чем ZF. Если конечно, то каждый ультрафильтр дискретен в точке, поэтому свободные ультрафильтры могут существовать только на бесконечных множествах. В частности, если конечно, то лемма об ультрафильтре может быть доказана из аксиом ZF. ${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle \{S\subseteq X~:~x\in S\}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

Существование свободного ультрафильтра на бесконечных множествах может быть доказано, если принять аксиому выбора. В более общем плане, лемма об ультрафильтре может быть доказана с помощью аксиомы выбора , которая вкратце утверждает, что любое декартово произведение непустых множеств непусто. При ZF выбранная аксиома, в частности, эквивалентна (a) лемме Цорна , (b) теореме Тихонова , (c) каждому векторному пространству имеет базис и другим утверждениям. Однако лемма об ультрафильтре строго слабее выбранной аксиомы.

Лемма об ультрафильтре имеет множество приложений в топологии . Ультрафильтр лемма может быть использована для доказательства теоремы Хана-Банаха , то Александр SUBBASE теорему , и что любое произведение компактных хаусдорфовых пространств компактно (что является частным случаем теоремы Тихонова ). ^[20] Лемму об ультрафильтре можно использовать для доказательства аксиомы выбора для конечных множеств; в явном виде это утверждение: данное семейство непустых конечных множеств, их произведение не пусто. ^[20]${\displaystyle I\neq \varnothing }$${\displaystyle \left(X_{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}}$

Полнота [ править ]

Полнота ультрафильтра U на Powerset является самым маленьким кардинальное κ таким образом, что существуют элементы К U , пересечение которых не в U . Определение ультрафильтра подразумевает, что полнота любого ультрафильтра powerset не меньше . Ультрафильтр , чья полнота больше , чем , то есть, пересечение любого счетного набора элементов U - прежнему находится в U -is называется счетно полным или σ-полной . ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} ${\displaystyle \aleph _{0}}$

Полнота счетно полного неглавного ультрафильтра на powerset всегда является измеримым кардиналом . ^{[ необходима цитата ]}

Заказ на ультрафильтры [ править ]

Упорядоченность Рудина-Кейслера (названный по имени Мэри Эллен Рудин и Говард Jerome Кейслера ) является предзаказ на классе POWERSET ультрафильтрами определяется следующим образом : если U ультрафильтр на ℘ ( X ) и V ультрафильтр на ℘ ( Y ) , то V ≤ _RK U, если существует функция f : X → Y такая, что

C ∈ V ⇔ f ^-1 [ C ] ∈ U

для каждого подмножества C из Y .

Ультрафильтры U и V называются эквивалентами Рудина – Кейслера и обозначаются U ≡ _RK V , если существуют множества A ∈ U и B ∈ V и биекция f : A → B , удовлетворяющая вышеуказанному условию. (Если X и Y имеют одинаковую мощность, определение можно упростить, зафиксировав A = X , B = Y. )

Известно , что ≡ _Р.К. является ядром из ≤ _РК , то есть, что U ≡ _РК V тогда и только тогда , когда U ≤ _РК V и V ≤ _РК U . ^[21]

Ультрафильтры на ℘ ( ω ) [ править ]

Ультрафильтр на ( ω ) может обладать несколькими специальными свойствами, которые могут оказаться полезными в различных областях теории множеств и топологии.

• Неглавный ультрафильтр U называется P-точкой (или слабо селективным ), если для каждого разбиения { C _n | n < ω } множества ω такое, что ∀ n < ω : C _n ∉ U , существует некоторый A ∈ U такой, что A ∩ C _n - конечное множество для каждого n .
• Неглавный ультрафильтр U называется рамсеевским (или селективным ), если для каждого разбиения { C _n | n < ω } множества ω такое, что ∀ n < ω : C _n ∉ U , существует некоторый A ∈ U такой, что A ∩ C _n - одноэлементное множество для каждого n .

То, что все ультрафильтры Рамсея являются P-точками, является тривиальным наблюдением. Вальтер Рудин доказал, что гипотеза континуума предполагает существование ультрафильтров Рамсея. ^[22] Фактически, многие гипотезы предполагают существование ультрафильтров Рамсея, включая аксиому Мартина . Позже Сахарон Шелах показал, что ультрафильтры P-point не используются. ^[23] Следовательно, существование этих типов ультрафильтров не зависит от ZFC .

P-точки называются таковыми, потому что они являются топологическими P-точками в обычной топологии пространства βω \ ω неглавных ультрафильтров. Имя Рэмси происходит от теоремы Рэмси . Чтобы понять, почему, можно доказать, что ультрафильтр является рамсеевским тогда и только тогда, когда для каждой 2-раскраски [ ω ] ² существует элемент ультрафильтра, имеющий однородный цвет.

Ультрафильтр на ( ω ) является рамсеевским тогда и только тогда, когда он минимален в упорядочении Рудина – Кейслера неглавных ультрафильтров по степеням. ^{[ необходима цитата ]}

См. Также [ править ]

• Фильтр (математика)
• Универсальная сеть

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

Библиография [ править ]

• Архангельский Александр Владимирович ; Пономарев В.И. (1984). Основы общей топологии: задачи и упражнения . Математика и ее приложения. 13 . Дордрехт Бостон: Д. Рейдел . ISBN 978-90-277-1355-1. OCLC  9944489 .
• Бурбаки, Николас (1989) [1966]. Общая топология: главы 1–4 [ Topologie Générale ]. Éléments de mathématique . Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC  18588129 .
• Диксмье, Жак (1984). Общая топология . Тексты для бакалавриата по математике. Перевод Berberian, SK New York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90972-1. OCLC  10277303 .
• Долецкий, Шимон ; Майнард, Фредерик (2016). Основы сходимости топологии . Нью-Джерси: Всемирная научная издательская компания. ISBN 978-981-4571-52-4. OCLC  945169917 .
• Дугунджи, Джеймс (1966). Топология . Бостон: Аллин и Бэкон. ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC  395340485 .
• Часар, Акос (1978). Общая топология . Перевод Часара, Клара. Бристоль, Англия: ISBN Adam Hilger Ltd. 0-85274-275-4. OCLC  4146011 .
• Jech, Томас (2006). Теория множеств: издание третьего тысячелетия, переработанное и расширенное . Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-44085-7. OCLC  50422939 .
• Джоши, К.Д. (1983). Введение в общую топологию . Нью-Йорк: ISBN John Wiley and Sons Ltd. 978-0-85226-444-7. OCLC  9218750 .
• Наричи, Лоуренс ; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .
• Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC  175294365 .
• Шуберт, Хорст (1968). Топология . Лондон: Macdonald & Co. ISBN 978-0-356-02077-8. OCLC  463753 .

Дальнейшее чтение [ править ]

• Комфорт, WW (1977). «Ультрафильтры: старые и новые результаты» . Бюллетень Американского математического общества . 83 (4): 417–455. DOI : 10.1090 / S0002-9904-1977-14316-4 . ISSN  0002-9904 . Руководство по ремонту  0454893 .
• Комфорт, WW; Негрепонтис, С. (1974), Теория ультрафильтров , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , MR  0396267
• Ультрафильтр в nLab