В математике , А множество является подмножеством из множества B , если все элементы из A также являются элементами B ; В это тогда надмножество из A . Возможно, что A и B равны; если они не равны, то является собственное подмножество из B . Отношения одного набора быть подмножеством другого, называется включение (или иногда защитной оболочки ). A является подмножеством Bможет быть также выражено как B включает в себя (или содержит) или включен (или содержаться) в B .
Отношение подмножества определяет частичный порядок на множествах. Фактически, подмножества данного множества образуют булеву алгебру с отношением подмножества, в котором соединение и встреча задаются пересечением и объединением , а само отношение подмножества является отношением булевого включения .
Определения
Если и B являются множествами , и каждый элемент из A также является элементом B , то:
- Является подмножество из B , обозначается или эквивалентно
- Б является подмножеством из А , обозначается[1]
Если является подмножеством B , но не равна к B (т.е. существует , по меньшей мере , один элемент из В , который не является элементом А ), то:
- Является собственно (или строгое ) подмножество из B , обозначается (или же [1] [ циркулярное сообщение? ] [2] [ нужен лучший источник ] ). Или, что то же самое,
- В это собственно (или строгое ) надмножество из А , обозначается (или же [1] [ циркулярное сообщение? ] ).
- Пустое множество , написано или же является подмножеством любого множества X и собственным подмножеством любого множества, кроме самого себя.
Для любого множества S отношение включения это частичный порядок на множестве( набор мощности из S -The множества всех подмножеств S [3] ) определяется. Мы также можем частично заказать обратным включением множества путем определения
При количественной оценке представлен как [4]
Мы можем доказать утверждение путем применения метода доказательства, известного как элементный аргумент [5] :
Пусть даны множества A и B. Чтобы доказать, что
- предположим, что a - частный, но произвольно выбранный элемент из A,
- показывают , что является элементом B .
Достоверность этого метода можно рассматривать как следствие универсального обобщения : метод показываетдля произвольно выбранного элемента c . Универсальное обобщение влечет что эквивалентно как указано выше.
Характеристики
- Набор является подмножеством из B , если и только если их пересечение равно А.
- Формально:
- Набор является подмножеством из B , если и только если их объединение равно B.
- Формально:
- Конечное множество является подмножеством из B , тогда и только тогда , когда мощность их пересечения равна мощности А.
- Формально:
Символы ⊂ и ⊃
Некоторые авторы используют символы а также для обозначения подмножества и надмножества соответственно; то есть с тем же значением и вместо символов, а также [6] Например, для этих авторов для каждого множества A верно,что
Другие авторы предпочитают использовать символы а также для обозначения правильного (также называемого строгим) подмножества и надлежащего надмножества соответственно; то есть с тем же значением и вместо символов, а также [7] [1] Это использование делает а также аналогично символам неравенства а также Например, если тогда x может быть равно y , а может и не быть , но еслито х определенно не равен у , а это меньше , чем у . Точно так же, используя соглашение, что правильное подмножество, если тогда A может быть равно B , а может и не быть , но еслито определенно не равен B .
Примеры подмножеств
- Множество A = {1, 2} является правильным подмножеством B = {1, 2, 3}, поэтому оба выражения а также верны.
- Множество D = {1, 2, 3} является подмножеством (но не собственным подмножеством) E = {1, 2, 3}, таким образом правда, и не верно (ложно).
- Любой набор - это подмножество самого себя, но не собственное подмножество. ( правда, и ложно для любого множества X.)
- Набор { x : x - простое число больше 10} является правильным подмножеством { x : x - нечетное число больше 10}
- Набор натуральных чисел - это собственное подмножество набора рациональных чисел ; аналогично, набор точек в линейном сегменте является надлежащим подмножеством набора точек в линии . Это два примера, в которых и подмножество, и все множество бесконечно, а подмножество имеет такую же мощность (понятие, которое соответствует размеру, то есть количеству элементов конечного набора), как и все; такие случаи могут противоречить первоначальной интуиции.
- Набор рациональных чисел - это собственное подмножество набора действительных чисел . В этом примере оба набора бесконечны, но последний набор имеет большую мощность (или мощность ), чем первый набор.
Другой пример на диаграмме Эйлера :
A - собственное подмножество B
C является подмножеством, но не является собственным подмножеством B
Другие свойства включения
Включение - это канонический частичный порядок в том смысле, что каждое частично упорядоченное множествоявляется изоморфно некоторым набором множеств упорядоченных по включению. Эти порядковые номера представляют собой простой пример: если каждый порядковый п идентифицируются с множествомвсех ординалов, меньших или равных n , тогда если и только если
Для силового набора из множества S , включение частичный порядок- с точностью до порядка изоморфизма -The декартова произведения из(далее мощность из S ) копии частичного порядка на для которого Это можно проиллюстрировать, перечислив , и связывая с каждым подмножеством (т.е. каждый элемент ) k -набор изиз которых i- я координата равна 1 тогда и только тогда, когдаявляется членом T .
Смотрите также
- Порядок включения
- Область, край
- Проблема суммы подмножества
- Субсумптивное сдерживание
- Всего подмножество
Рекомендации
- ^ a b c d "Исчерпывающий список символов теории множеств" . Математическое хранилище . 2020-04-11 . Проверено 23 августа 2020 .
- ^ «Введение в наборы» . www.mathsisfun.com . Проверено 23 августа 2020 .
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Подмножество» . mathworld.wolfram.com . Проверено 23 августа 2020 .
- ^ Розен, Кеннет Х. (2012). Дискретная математика и ее приложения (7-е изд.). Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. п. 119 . ISBN 978-0-07-338309-5.
- ^ Эпп, Сусанна С. (2011). Дискретная математика с приложениями (Четвертое изд.). п. 337. ISBN. 978-0-495-39132-6.
- ^ Рудин, Уолтер (1987), Реальный и комплексный анализ (3-е изд.), Нью-Йорк: McGraw-Hill , стр. 6, ISBN 978-0-07-054234-1, Руководство по ремонту 0924157
- ^ Подмножества и соответствующие подмножества (PDF) , заархивировано из оригинала (PDF) 23 января 2013 г. , получено 07 сентября 2012 г.
Библиография
- Jech, Томас (2002). Теория множеств . Springer-Verlag. ISBN 3-540-44085-2.
Внешние ссылки
- СМИ, связанные с подмножествами на Викискладе?
- Вайсштейн, Эрик В. «Подмножество» . MathWorld .