Неравенство (математика)

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в значительной степени непроверенным, поскольку в нем отсутствует достаточное количество соответствующих встроенных ссылок . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Май 2017 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В области допустимых решений о линейном программировании определяется набором неравенств.

В математике , неравенство является отношение , которое делает неравными сравнения двух чисел или других математических выражений. ^{[1] [2]} Чаще всего используется для сравнения двух чисел в числовой строке по их размеру. Для обозначения различных видов неравенства используется несколько различных обозначений:

• Запись a < b означает, что a меньше b .
• Обозначение a > b означает, что a больше, чем b .

В любом случае a не равно b . Эти соотношения известны как строгие неравенства , ^[2] Это означает , что строго меньше или строго больше б . Эквивалентность исключена.

В отличие от строгих неравенств, существуют два типа отношений неравенства, которые не являются строгими:

• Обозначения ≤ б или ⩽ б означает , что меньше или равно Ь (или, что то же самое, не более б , или не больше , чем б ).
• Обозначение a ≥ b или a ⩾ b означает, что a больше или равно b (или, что то же самое, не менее b или не менее b ).

Отношение «не больше чем» также может быть представлено a ≯ b , символом «больше чем», разделенным пополам косой чертой, «не». То же самое верно для «не меньше чем» и a ≮ b .

Обозначение a ≠ b означает, что a не равно b , и иногда считается формой строгого неравенства. ^[3] Здесь не говорится, что один больше другого; он даже не требует, чтобы a и b были членами упорядоченного набора .

В инженерных науках менее формальное использование обозначений состоит в том, чтобы утверждать, что одна величина «намного больше», чем другая, обычно на несколько порядков . Это означает, что меньшим значением можно пренебречь с небольшим влиянием на точность приближения (например, в случае ультрарелятивистского предела в физике).

• Запись a ≪ b означает, что a намного меньше b . (Однако в теории меры это обозначение используется для обозначения абсолютной непрерывности , понятия не имеющего отношения ^[4] ).
• Обозначение a ≫ b означает, что a намного больше, чем b . ^[5]

Во всех вышеперечисленных случаях любые два символа, отражающие друг друга, симметричны; a < b и b > a эквивалентны и т. д.

Свойства в числовой строке [ править ]

Неравенства регулируются следующими свойствами . Все эти свойства также выполняются, если все нестрогие неравенства (≤ и ≥) заменить соответствующими строгими неравенствами (<и>) и - в случае применения функции - монотонные функции ограничиваются строго монотонными функциями .

Converse [ править ]

Отношения ≤ и ≥ являются друг для друга разговаривать , а это означает , что для любых действительных чисел и Ь :

a ≤ b и b ≥ a эквивалентны.

Транзитивность [ править ]

Транзитивное свойство неравенства утверждает, что для любых действительных чисел a , b , c : ^[6]

Если a ≤ b и b ≤ c , то a ≤ c .

Если любое из посылок является строгим неравенством, то вывод - строгое неравенство:

Если a ≤ b и b < c , то a < c .

Если a < b и b ≤ c , то a < c .

Сложение и вычитание [ править ]

Общая константа c может быть добавлена или вычтена из обеих частей неравенства. ^[3] Итак, для любых действительных чисел a , b , c :

Если a ≤ b , то a + c ≤ b + c и a - c ≤ b - c .

Другими словами, соотношение неравенства сохраняется при сложении (или вычитании), а действительные числа являются упорядоченной группой при сложении.

Умножение и деление [ править ]

В свойствах, связанных с умножением и делением, указано, что для любых действительных чисел a , b и ненулевых c :

Если a ≤ b и c > 0, то ac ≤ bc и a / c ≤ b / c .

Если a ≤ b и c <0, то ac ≥ bc и a / c ≥ b / c .

Другими словами, соотношение неравенства сохраняется при умножении и делении с положительной константой, но меняется на противоположное, когда задействована отрицательная константа. В более общем смысле это применимо к упорядоченному полю . Для получения дополнительной информации см. § Упорядоченные поля .

Аддитивная инверсия [ править ]

Свойство аддитивного обратного утверждает, что для любых действительных чисел a и b :

Если a ≤ b , то - a ≥ - b .

Мультипликативный обратный [ править ]

Если оба числа положительны, то соотношение неравенства между обратными мультипликативными числами противоположно таковому между исходными числами. Более конкретно, для любых ненулевых действительных чисел a и b , которые оба являются положительными (или оба отрицательными ):

Если a ≤ b , то1/а ≥ 1/б.

Все случаи для знаков a и b также могут быть записаны в виде цепочки следующим образом:

Если 0 < a ≤ b , то1/а ≥ 1/б > 0.

Если a ≤ b <0, то 0>1/а ≥ 1/б.

Если a <0 < b , то1/а <0 < 1/б.

Применение функции к обеим сторонам [ править ]

Любая монотонно возрастающая функция по своему определению ^[7] может применяться к обеим сторонам неравенства без нарушения отношения неравенства (при условии, что оба выражения находятся в области определения этой функции). Однако применение монотонно убывающей функции к обеим сторонам неравенства означает, что соотношение неравенства будет обратным. Правила для аддитивного обратного и мультипликативного обратного для положительных чисел являются примерами применения монотонно убывающей функции.

Если неравенство строгое ( a < b , a > b ) и функция строго монотонна, то неравенство остается строгим. Если строгое только одно из этих условий, то полученное неравенство нестрогое. Фактически, правила для аддитивного и мультипликативного обратного являются примерами применения строго монотонно убывающей функции.

Вот несколько примеров этого правила:

• Возведение обеих сторон неравенства в степень n > 0 (эквивалент, - n <0), когда a и b - положительные действительные числа:

0 ≤ a ≤ b ⇔ 0 ≤ a ⁿ ≤ b ⁿ .

0 ≤ a ≤ b ⇔ a ^{- n} ≥ b ^{- n} ≥ 0.

• Взяв натуральный логарифм с обеих сторон неравенства, когда a и b - положительные действительные числа:

0 < a ≤ b ⇔ ln ( a ) ≤ ln ( b ).

0 < a < b ⇔ ln ( a ) <ln ( b ).

(это правда, потому что натуральный логарифм - это строго возрастающая функция.)

Формальные определения и обобщения [ править ]

(Нестрогий) частичный порядок - это бинарное отношение ≤ над множеством P, которое является рефлексивным , антисимметричным и транзитивным . ^[8] То есть для всех a , b и c в P он должен удовлетворять трем следующим пунктам:

1. a ≤ a ( рефлексивность )
2. если a ≤ b и b ≤ a , то a = b ( антисимметрия )
3. если a ≤ b и b ≤ c , то a ≤ c ( транзитивность )

Набор с частичным порядком называется частично упорядоченным набором . ^[9] Это самые основные аксиомы, которым должен удовлетворять любой порядок. Другие аксиомы, существующие для других определений порядков на множестве P, включают:

1. Для любых a и b в P , a ≤ b или b ≤ a ( общий порядок ).
2. Для всех a и b в P, для которых a < b , существует c в P такое, что a < c < b ( плотный порядок ).
3. Каждое непустое подмножество из Р с верхней границей имеет минимум верхней границы (грань) в P ( наименее верхняя граница собственности ).

Упорядоченные поля [ править ]

Если ( F , +, ×) - поле, а ≤ - общий порядок на F , то ( F , +, ×, ≤) называется упорядоченным полем тогда и только тогда, когда:

• a ≤ b влечет a + c ≤ b + c ;
• 0 ≤ a и 0 ≤ b влечет 0 ≤ a × b .

Оба ( Q +, ×, ≤) и ( R +, ×, ≤) является упорядоченными полей , но ≤ не может быть определена для того , чтобы сделать ( C +, ×, ≤) упорядоченное поле , ^[10] , так как −1 - квадрат i и, следовательно, будет положительным.

Помимо того, что R является упорядоченным полем, он также обладает свойством наименьшей верхней границы . Фактически, R можно определить как единственное упорядоченное поле с таким качеством. ^[11]

Цепная запись [ править ]

Обозначение a < b < c означает « a < b и b < c », из которого, в силу свойства транзитивности выше, также следует, что a < c . По указанным выше законам можно прибавить или вычесть одно и то же число ко всем трем членам, либо умножить или разделить все три члена на одно и то же ненулевое число и обратить все неравенства, если это число отрицательно. Следовательно, например, a < b + e < c эквивалентно a - e < b < c -е .

Это обозначение можно обобщить на любое количество терминов: например, a ₁ ≤ a ₂ ≤ ... ≤ a _n означает, что a _i ≤ a _{i +1} для i = 1, 2, ..., n - 1. По транзитивности это условие эквивалентно a _i ≤ a _j для любого 1 ≤ i ≤ j ≤ n .

При решении неравенств с использованием цепной записи можно, а иногда и необходимо оценивать члены независимо. Например, чтобы решить неравенство 4 x <2 x + 1 ≤ 3 x + 2, невозможно выделить x в какой-либо одной части неравенства путем сложения или вычитания. Вместо этого неравенства должны решаться независимо, давая x <1/2 и x ≥ −1 соответственно, которые могут быть объединены в окончательное решение −1 ≤ x <1/2.

Иногда цепная запись используется с неравенствами в разных направлениях, и в этом случае значение является логическим соединением неравенств между соседними терминами. Например, определение condiction из зигзагообразного посета записываются как ₁ < ₂ > ₃ < ₄ > ₅ < ₆ > .... Смешанные цепные обозначения чаще используются с совместимыми отношениями, такими как <, =, ≤. Например, a < b = c ≤ d означает, что a < b, b = c и c ≤ d . Эта нотация существует в нескольких языках программирования, таких как Python . Напротив, в языках программирования, которые обеспечивают упорядочение по типу результатов сравнения, таких как C , даже однородные цепочки могут иметь совершенно другое значение. ^[12]

Резкое неравенство [ править ]

Неравенство называется резким , если его нельзя ослабить и при этом сохранить в целом. Формально универсально квантифицированное неравенство φ называется точным, если для любого справедливого универсально квантифицированного неравенства ψ , если выполняется ψ ⇒ φ , то выполняется и ψ ⇔ φ . Например, неравенство ∀ a ∈ ℝ . a ² ≥ 0 точное, а неравенство ∀ a ∈ ℝ. a ² ≥ −1 не является точным. ^{[ необходима цитата]}

Неравенства между средствами [ править ]

Между средствами существует много неравенства. Например, для любых положительных чисел a ₁ , a ₂ ,…, a _n имеем H ≤ G ≤ A ≤ Q , где

${\displaystyle H={\frac {n}{{\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{a_{n}}}}}}$	( среднее гармоническое ),
${\displaystyle G={\sqrt[{n}]{a_{1}\cdot a_{2}\cdots a_{n}}}}$	( среднее геометрическое ),
${\displaystyle A={\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}}$	( среднее арифметическое ),
${\displaystyle Q={\sqrt {\frac {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{n}^{2}}{n}}}}$	( среднее квадратичное ).

Неравенство Коши – Шварца [ править ]

Неравенство Коши-Шварц утверждает , что для всех векторов U и v из внутреннего пространства продукта это правда , что

${\displaystyle |\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |^{2}\leq \langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle \cdot \langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle ,}$

где есть скалярное произведение . Примеры внутренних продуктов включают реальный и сложный скалярный продукт ; В евклидовом пространстве R ⁿ со стандартным скалярным произведением неравенство Коши – Шварца имеет вид${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}u_{i}v_{i}\right)^{2}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}u_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}v_{i}^{2}\right).}$

Неравенство сил [ править ]

« Степенное неравенство » - это неравенство, содержащее члены вида a ^b , где a и b - действительные положительные числа или выражения переменных. Они часто появляются в упражнениях на математических олимпиадах .

Примеры [ править ]

• Для любого вещественного х ,

${\displaystyle e^{x}\geq 1+x.}$

• Если x > 0 и p > 0, то

${\displaystyle {\frac {x^{p}-1}{p}}\geq \ln(x)\geq {\frac {1-{\frac {1}{x^{p}}}}{p}}.}$

В пределе p → 0 верхняя и нижняя оценки сходятся к ln ( x ).

• Если x > 0, то

${\displaystyle x^{x}\geq \left({\frac {1}{e}}\right)^{\frac {1}{e}}.}$

• Если x > 0, то

${\displaystyle x^{x^{x}}\geq x.}$

• Если x , y , z > 0, то

${\displaystyle \left(x+y\right)^{z}+\left(x+z\right)^{y}+\left(y+z\right)^{x}>2.}$

• Для любых вещественных чисел различных и Ь ,

${\displaystyle {\frac {e^{b}-e^{a}}{b-a}}>e^{(a+b)/2}.}$

• Если x , y > 0 и 0 < p <1, то

${\displaystyle x^{p}+y^{p}>\left(x+y\right)^{p}.}$

• Если x , y , z > 0, то

${\displaystyle x^{x}y^{y}z^{z}\geq \left(xyz\right)^{(x+y+z)/3}.}$

• Если a , b > 0, то ^[13]

${\displaystyle a^{a}+b^{b}\geq a^{b}+b^{a}.}$

• Если a , b > 0, то ^[14]

${\displaystyle a^{ea}+b^{eb}\geq a^{eb}+b^{ea}.}$

• Если a , b , c > 0, то

${\displaystyle a^{2a}+b^{2b}+c^{2c}\geq a^{2b}+b^{2c}+c^{2a}.}$

• Если a , b > 0, то

${\displaystyle a^{b}+b^{a}>1.}$

Хорошо известные неравенства [ править ]

Математики часто используют неравенства для оценки величин, точные формулы которых не могут быть легко вычислены. Некоторые неравенства используются так часто, что имеют названия:

Комплексные числа и неравенства [ править ]

Множество комплексных чисел ℂ с его операциями сложения и умножения является полем , но невозможно определить какое-либо отношение ≤ так, чтобы (ℂ, +, ×, ≤) стало упорядоченным полем . Для того, чтобы (ℂ +, ×, ≤) упорядоченное поле , он должен удовлетворять следующим двум свойствам:

• если a ≤ b , то a + c ≤ b + c ;
• если 0 ≤ a и 0 ≤ b , то 0 ≤ ab .

Поскольку ≤ - это общий порядок , для любого числа a может быть либо 0 ≤ a, либо a ≤ 0 (в этом случае первое свойство выше подразумевает, что 0 ≤ - a ). В любом случае 0 ≤ a ² ; это означает, что i ² > 0 и 1 ² > 0 ; поэтому −1> 0 и 1> 0 , что означает (−1 + 1)> 0; противоречие.

Однако операция ≤ может быть определена так, чтобы удовлетворять только первому свойству (а именно, «если a ≤ b , то a + c ≤ b + c »). Иногда используется определение лексикографического порядка :

• a ≤ b , если
  • Re ( a ) <Re ( b ) , или
  • Re ( a ) = Re ( b ) и Im ( a ) ≤ Im ( b )

Легко доказать, что для этого определения из a ≤ b следует a + c ≤ b + c .

Векторные неравенства [ править ]

Отношения неравенства, аналогичные определенным выше, также могут быть определены для векторов-столбцов . Если мы позволим векторам (имея в виду, что и , где и являются действительными числами для ), мы можем определить следующие отношения:${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})^{\mathsf {T}}}$${\displaystyle y=(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})^{\mathsf {T}}}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle y_{i}}$${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$

• ${\displaystyle x=y}$, если для .${\displaystyle x_{i}=y_{i}}$${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$
• ${\displaystyle x<y}$, если для .${\displaystyle x_{i}<y_{i}}$${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$
• ${\displaystyle x\leq y}$, если для а .${\displaystyle x_{i}\leq y_{i}}$${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$${\displaystyle x\neq y}$
• ${\displaystyle x\leqq y}$, если для .${\displaystyle x_{i}\leq y_{i}}$${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$

Точно так же мы можем определить отношения для , и . Это обозначение согласуется с обозначением, используемым Маттиасом Эрготтом в многокритериальной оптимизации (см. Ссылки).${\displaystyle x>y}$${\displaystyle x\geq y}$${\displaystyle x\geqq y}$

Свойство трихотомии (как указано выше ) не действует для векторных отношений. Например, когда и , не существует допустимого отношения неравенства между этими двумя векторами. Кроме того, перед рассмотрением этого свойства необходимо определить мультипликативную инверсию для вектора. Однако для остальных вышеупомянутых свойств существует свойство параллельности для векторных неравенств.${\displaystyle x=(2,5)^{\mathsf {T}}}$${\displaystyle y=(3,4)^{\mathsf {T}}}$

Системы неравенств [ править ]

Системы линейных неравенств можно упростить с помощью исключения Фурье – Моцкина . ^[15]

Цилиндрическое алгебраическое разложение представляет собой алгоритм , который позволяет испытывать имеет ли система полиномиальных уравнений и неравенств решений, и, если существует решение, описывающие их. Сложность этого алгоритма двукратно экспоненциальна от числа переменных. Это область активных исследований для разработки более эффективных алгоритмов в конкретных случаях.

См. Также [ править ]

• Бинарное отношение
• Скобка (математика) , для использования одинаковых знаков ‹и› в качестве скобок.
• Включение (теория множеств)
• Неравенство
• Интервал (математика)
• Список неравенств
• Список неравенств треугольника
• Частично заказанный набор
• Операторы отношения , используемые в языках программирования для обозначения неравенства

Ссылки [ править ]

Источники [ править ]

• Харди, Г., Литтлвуд Дж., Полиа, Г. (1999). Неравенства . Кембриджская математическая библиотека, Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-05206-8.CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Беккенбах, Э. Ф., Беллман, Р. (1975). Введение в неравенство . ISBN Random House Inc. 0-394-01559-2.CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Драхман, Байрон С., Клауд, Майкл Дж. (1998). Неравенства: в применении к технике . Springer-Verlag. ISBN 0-387-98404-6.CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Гриншпан, AZ (2005), "Общие неравенства, последствия и приложения", Успехи прикладной математики , 34 (1): 71-100, DOI : 10.1016 / j.aam.2004.05.001
• Мюррей С. Кламкин. " ' Неравенство халтуры'" (PDF) . Математические стратегии .
• Артур Лохуотер (1982). «Введение в неравенство» . Электронная книга в формате PDF.
• Гарольд Шапиро (2005). «Решение математических задач» . Семинар по старой проблеме . Kungliga Tekniska högskolan.
• «3-й USAMO» . Архивировано из оригинала 2008-02-03.
• Пачпатт, Б.Г. (2005). Математические неравенства . Математическая библиотека Северной Голландии. 67 (первое изд.). Амстердам, Нидерланды: Эльзевир . ISBN 0-444-51795-2. ISSN  0924-6509 . Руководство по ремонту  2147066 . Zbl  1091.26008 .
• Эрготт, Маттиас (2005). Многокритериальная оптимизация . Спрингер-Берлин. ISBN 3-540-21398-8.
• Стил, Дж. Майкл (2004). Мастер-класс Коши-Шварца: Введение в искусство математических неравенств . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-54677-5.

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме неравенства (математика) .

• "Неравенство" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• График неравенствами от Ed Пегг, Jr.
• Запись AoPS Wiki о неравенстве