Ранг в ранг

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в основном непроверенным, поскольку в нем отсутствуют соответствующие встроенные ссылки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Ноябрь 2013 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В теории множеств , разделе математики , вложение рангов в ранги - это большое кардинальное свойство, определяемое одной из следующих четырех аксиом, приведенных в порядке возрастания силы согласованности. (Набор ранга <λ является одним из элементов множества V _Х в иерархии фон Неймана .)

• Аксиома I3: существует нетривиальное элементарное вложение V _λ в себя.
• Аксиома I2: существует нетривиальное элементарное вложение V в транзитивный класс M, включающий V _λ, где λ - первая неподвижная точка над критической точкой .
• Аксиома I1: существует нетривиальное элементарное вложение V _{λ + 1} в себя.
• Аксиома I0: существует нетривиальное элементарное вложение L (V _{λ + 1} ) в себя с критической точкой ниже λ.

По сути, это самые сильные из известных аксиом о больших кардиналах, которые, как известно, не противоречат ZFC ; аксиома для кардиналов Рейнхардта сильнее, но не согласуется с аксиомой выбора .

Если j - элементарное вложение, упомянутое в одной из этих аксиом, а κ - его критическая точка , то λ является пределом при переходе n к ω. В более общем смысле , если аксиома выбора держится, это доказуемо , что если существует нетривиальное элементарное вложение V _{& alpha} ; в себя , то α является либо предельным порядковым из конфинальности со или правопреемником таких порядковым.${\ Displaystyle j ^ {п} (\ каппа)}$

Аксиомы I0, I1, I2 и I3 были в первом предположительно непоследовательных (в ZFC) , как это считалось возможным , что теорема несогласованности Kunen в том , что Рейнхардт кардиналы не согласуется с аксиомой выбора может быть распространена на них, но это не имеет все же произошло, и теперь они обычно считаются последовательными.

Каждый I0-кардинал κ (говоря здесь о критической точке j ) является I1-кардиналом.

Каждый I1 кардинал κ (иногда называемый ω-огромными кардиналами) является кардиналом I2 и имеет под ним стационарный набор кардиналов I2.

Каждый I2 кардинал κ является кардиналом I3 и имеет под ним стационарный набор кардиналов I3.

Каждый I3 кардинального κ имеет другой I3 кардинал над ним и в п - огромный кардинальный для любого п <со.

Из аксиомы I1 следует, что V _{λ + 1} (эквивалентно H (λ ⁺ )) не удовлетворяет V = HOD. Не существует множества S⊂λ, определимого в V _{λ + 1} (даже по параметрам V _λ и ординалам <λ ⁺ ) с S конфинальным по λ и | S | <λ, то есть нет таких S, свидетельствующих о сингулярности λ. То же самое для аксиомы I0 и порядковой определимости в L (V _{λ + 1} ) (даже из параметров в V _λ ). Однако во всем мире, и даже в V _Л , ^[1] V = HOD относительно согласуется с аксиомой I1.

Обратите внимание, что I0 иногда дополнительно усиливается, добавляя «набор Икара», чтобы он был

• Множество аксиомы Икара: существует нетривиальное элементарное вложение L (V _{λ + 1} , Icarus) в себя с критической точкой ниже λ.

Набор Икара должен быть в V _{λ + 2} - L (V _{λ + 1} ), но выбран во избежание несогласованности. Так, например, он не может кодировать упорядочение V _{λ + 1} . См. Раздел 10 Dimonte для более подробной информации.

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Димонте, Винченцо (2017), «I0 и аксиомы ранга в ранг», arXiv : 1707.02613 [ math.LO ].
• Гайфман, Хаим (1974), "Элементарные вложения моделей теории множеств и некоторых подтеорий", Аксиоматическая теория множеств , Proc. Симпози. Чистая математика., XIII, часть II, Providence RI: Amer. Математика. Soc., Стр. 33–101, MR  0376347
• Канамори, Акихиро (2003), Высшая бесконечность: большие кардиналы в теории множеств с самого начала (2-е изд.), Springer, ISBN 3-540-00384-3.
• Лейвер, Ричард (1997), "Последствия между сильными большими кардинальными аксиомами", Ann. Pure Appl. Логика , 90 (1-3): 79-90, DOI : 10.1016 / S0168-0072 (97) 00031-6 , МР  1489305.
• Соловей, Роберт М .; Рейнхардт, Уильям Н .; Канамори, Акихиро (1978), "Сильные аксиомы бесконечности и элементарные вложения", Анналы математической логики , 13 (1): 73-116, DOI : 10,1016 / 0003-4843 (78) 90031-1.