Из Википедии, бесплатной энциклопедии
  (Перенаправлено из Large cardinal property )
Перейти к навигации Перейти к поиску

В математической области теории множеств , большое кардинальное свойство является определенным видом имущества трансфинитных кардинальных чисел . Кардиналы с такими свойствами, как следует из названия, обычно очень «большие» (например, больше наименьшего α, такого что α = ω α ). Утверждение о том, что такие кардиналы существуют, не может быть доказано с помощью наиболее распространенной аксиоматизации теории множеств, а именно ZFC , и такие предложения можно рассматривать как способы измерения того, «сколько», помимо ZFC, нужно предположить, чтобы иметь возможность доказать определенные желаемые полученные результаты. Другими словами, их можно увидеть в Дане Скотт.Фраза, как количественная оценка того факта, что «если вы хотите большего, вы должны предполагать большее». [1]

Существует приблизительное соглашение, согласно которому результаты, которые можно доказать только с помощью ZFC, могут быть сформулированы без гипотез, но если для доказательства требуются другие предположения (например, существование больших кардиналов), они должны быть заявлены. Является ли это просто лингвистической конвенцией или чем-то большим, это спорный вопрос среди различных философских школ (см. Мотивации и эпистемологический статус ниже).

Большая кардинальная аксиома является аксиома о том , что существует кардинальный (или , возможно , многие из них) с некоторым заданным большим кардинальным свойством.

Большинство рабочего множества теоретики считают , что большие кардинальные аксиомы, которые в настоящее время рассматриваются в согласуются с ZFC [ править ] . Эти аксиомы достаточно сильны, чтобы подразумевать непротиворечивость ZFC. Это имеет следствие (через вторую теорему Гёделя о неполноте ), что их совместимость с ZFC не может быть доказана в ZFC (при условии, что ZFC согласован).

Не существует общепринятого точного определения того, что такое большое кардинальное свойство, хотя практически все согласны с тем, что те, что в списке больших кардинальных свойств, являются большими кардинальными свойствами.

Частичное определение [ править ]

Необходимым условием того, чтобы свойство кардинальных чисел было большим кардинальным свойством, является то, что существование такого кардинала не известно как несовместимое с ZFC, и было доказано, что если ZFC согласован , то ZFC + "такого кардинала не существует. " согласуется.

Иерархия силы согласованности [ править ]

Замечательное наблюдение относительно больших кардинальных аксиом состоит в том, что они, по-видимому, возникают в строгом линейном порядке по степени согласованности . То есть не известно никаких исключений в следующих случаях: при двух больших кардинальных аксиомах A 1 и A 2 происходит ровно одно из трех:

  1. Если ZFC не противоречит, ZFC + A 1 согласован тогда и только тогда, когда ZFC + A 2 согласован;
  2. ZFC + A 1 доказывает, что ZFC + A 2 согласован; или же
  3. ZFC + A 2 доказывает, что ZFC + A 1 согласован.

Они являются взаимоисключающими, если только одна из рассматриваемых теорий не противоречит действительности.

В случае 1, мы говорим , что 1 и 2 являются equiconsistent . В случае 2 мы говорим, что A 1 с точки зрения согласованности сильнее, чем A 2 (для случая 3 наоборот). Если A 2 сильнее, чем A 1 , то ZFC + A 1 не может доказать, что ZFC + A 2 согласован, даже с дополнительной гипотезой о том, что ZFC + A 1 сам по себе согласован (при условии, конечно, что это действительно так). Это следует из второй теоремы Гёделя о неполноте .

Наблюдение, что большие кардинальные аксиомы линейно упорядочены по силе согласованности, является всего лишь наблюдением, а не теоремой. (Без общепринятого определения большого кардинального свойства оно не подлежит доказательству в обычном смысле). Кроме того, не во всех случаях известно, какой из трех случаев имеет место. Сахарон Шелах спросил: «Есть ли какая-то теорема, объясняющая это, или наше видение просто более однородно, чем мы думаем?» Однако Вудин выводит это из Ω-гипотезы , главной нерешенной проблемы его Ω-логики . Также примечательно, что многие комбинаторные утверждения в точности равнозначны некоторому большому кардиналу, а не, скажем, являются промежуточными между ними.

Порядок силы согласованности не обязательно совпадает с порядком размера наименьшего свидетеля большой кардинальной аксиомы. Например, существование огромного кардинала намного сильнее с точки зрения прочности согласованности, чем существование суперкомпактного кардинала , но если предположить, что оба существуют, первый огромный меньше первого суперкомпакта.

Мотивации и эпистемический статус [ править ]

Большие кардиналы понимаются в контексте фон Нейман вселенной V, который построен вверх трансфинитно итерации в POWERSET операции, которая собирает вместе все подмножества данного множества. Как правило, модель , в которых большие кардинальных Аксиомы терпят неудачу можно увидеть в каком - то естественном образе как подмодели те , которые держат аксиомы. Например, если есть недоступный кардинал , то «отсечение вселенной» на высоте первого такого кардинала дает вселенную, в которой нет недоступного кардинала. Или, если есть измеримый кардинал , то итерация определяемогоОперация powerset вместо полной дает конструктивную вселенную Гёделя L, которая не удовлетворяет утверждению «существует измеримый кардинал» (даже если он содержит измеримый кардинал в качестве ординала).

Таким образом, с определенной точки зрения, которой придерживаются многие теоретики множеств (особенно те, кто вдохновлен традицией Кабалы ), большие кардинальные аксиомы «говорят», что мы рассматриваем все множества, которые мы «предполагаем» рассматривать, в то время как их отрицания являются «ограничительными» и говорят, что мы рассматриваем только некоторые из этих множеств. Более того, последствия больших кардинальных аксиом, кажется, укладываются в естественные закономерности (см. Мэдди, «Вера в аксиомы, II»). По этим причинам такие теоретики множеств склонны считать, что большие кардинальные аксиомы имеют предпочтительный статус среди расширений ZFC, не разделяемый аксиомами менее четкой мотивации (такими как аксиома Мартина ) или другими, которые они считают интуитивно маловероятными (например, V = L ).Хардкорные реалистыв этой группе было бы проще заявить, что большие кардинальные аксиомы верны .

Эта точка зрения отнюдь не универсальна среди теоретиков множеств. Некоторые формалисты утверждали бы, что стандартная теория множеств по определению изучает последствия ZFC, и хотя они, возможно, не возражают в принципе против изучения последствий других систем, они не видят причин выделять большие кардиналы в качестве предпочтительных. Есть также реалисты, которые отрицают, что онтологический максимализм является надлежащей мотивацией, и даже считают, что большие кардинальные аксиомы ложны. И, наконец, некоторые отрицают, что отрицание больших кардинальных аксиом носит ограничительный характер, указывая, что (например) может существовать транзитивное множество модель в L, которая считает, что существует измеримый кардинал, хотя сам L не удовлетворяет этому утверждению.

См. Также [ править ]

  • Список больших кардинальных свойств

Заметки [ править ]

  1. Перейти ↑ Bell, JL (1985). Булевозначные модели и доказательства независимости в теории множеств . Издательство Оксфордского университета. viii. ISBN 0-19-853241-5.

Ссылки [ править ]

  • Дрейк, FR (1974). Теория множеств: Введение в большие кардиналы (Исследования по логике и основам математики; Т. 76) . ISBN Elsevier Science Ltd. 0-444-10535-2.
  • Jech, Томас (2002). Теория множеств, издание третьего тысячелетия (переработанное и дополненное) . Springer. ISBN 3-540-44085-2.
  • Канамори, Акихиро (2003). Высшая бесконечность: большие кардиналы в теории множеств с самого начала (2-е изд.). Springer. ISBN 3-540-00384-3.
  • Канамори, Акихиро; Магидор, М. (1978), «Эволюция больших кардинальных аксиом в теории множеств», Высшая теория множеств , Лекционные заметки по математике, 669 ( машинописный текст ), Springer Berlin / Heidelberg, стр. 99–275, doi : 10.1007 / BFb0103104 , ISBN 978-3-540-08926-1
  • Мэдди, Пенелопа (1988). «Веря аксиомам, я». Журнал символической логики . 53 (2): 481–511. DOI : 10.2307 / 2274520 . JSTOR  2274520 .
  • Мэдди, Пенелопа (1988). «Вера в аксиомы, II» . Журнал символической логики . 53 (3): 736–764. DOI : 10.2307 / 2274569 . JSTOR  2274569 .
  • Шелах, Сахарон (2002). «Будущее теории множеств». arXiv : математика / 0211397 .
  • Соловей, Роберт М .; Уильям Н. Рейнхардт ; Акихиро Канамори (1978). «Сильные аксиомы бесконечности и элементарные вложения» (PDF) . Анналы математической логики . 13 (1): 73–116. DOI : 10.1016 / 0003-4843 (78) 90031-1 .
  • Вудин, У. Хью (2001). «Гипотеза континуума, часть II». Уведомления Американского математического общества . 48 (7): 681–690.

Внешние ссылки [ править ]

  • «Большие кардиналы и решительность» в Стэнфордской энциклопедии философии