Вселенная (математика)

Отношения между вселенной и дополнением.

В математике , и в частности , в теории множеств , теории категорий , теории типов , а также основ математики , Вселенная представляет собой набор , который содержит все объекты одного желания рассмотреть в данной ситуации.

В теории множеств вселенные часто представляют собой классы , содержащие (в качестве элементов ) все множества, для которых требуется доказать определенную теорему . Эти классы могут служить внутренними моделями для различных аксиоматических систем, таких как ZFC или теория множеств Морса – Келли . Вселенные имеют решающее значение для формализации концепций теории категорий внутри теоретико-множественных основ. Например, каноническим мотивирующим примером категории является Набор , категория всех множеств, который не может быть формализован в теории множеств без некоторого понятия универсума.

В теории типов юниверс - это тип, элементами которого являются типы.

В определенном контексте [ править ]

Возможно, самая простая версия состоит в том, что любой набор может быть вселенной, пока объект исследования ограничен этим конкретным набором. Если объектом исследования являются действительные числа , то действительная линия R , которая представляет собой набор действительных чисел, могла бы быть рассматриваемой вселенной. Неявно, это та вселенная, которую Георг Кантор использовал, когда впервые разработал современную наивную теорию множеств и мощность в 1870-х и 1880-х годах в приложениях к реальному анализу . Только наборы, Кантор был изначально заинтересован в были подмножества из R .

Эта концепция вселенной отражена в использовании диаграмм Венна . На диаграмме Венна, действие традиционно происходит внутри большого прямоугольника , который представляет вселенную U . Обычно говорят, что множества представлены кружками; но эти наборы могут быть только подмножества U . Дополнение из множества А затем даются той частью прямоугольника снаружи A» окружности с. Строго говоря, это относительное дополнение U \ A к A относительно U ; но в контексте, где U - Вселенная, его можно рассматривать какАбсолютное дополнение ^C из A . Кроме того , существует понятие нульарного пересечения , то есть пересечение из нулевых множеств (то есть не наборы, а не нулевые множества ).

Без вселенной нулевое пересечение было бы набором абсолютно всего, что обычно считается невозможным; но со Вселенной в виде, нульарное пересечение можно рассматривать как совокупность всего рассматриваемого, что просто U . Эти соглашения весьма полезны в алгебраическом подходе к теории базовых множеств, основанном на булевых решетках . За исключением некоторых нестандартных форм аксиоматической теории множеств (таких как New Foundations ), класс всех множеств не является булевой решеткой (это только относительно дополняемая решетка ).

В отличие от этого , класс всех подмножеств множества U , называется силовой агрегат из U , является булевой решеткой. Абсолютное дополнение, описанное выше, является операцией дополнения в булевой решетке; и U , как нульарное пересечение, служит в качестве верхнего элемента (или нульарными встречается ) в булевой решетке. Затем применяются законы Де Моргана , которые касаются дополнений встреч и объединений (которые являются объединениями в теории множеств), и применяются даже к нулевым встречам и нулевым объединениям (которые являются пустым множеством ).

В обычной математике [ править ]

Однако, как только подмножества данного множества X (в случае канторовской, Х = R ), рассматриваются, вселенной , возможно , должны быть множество подмножеств X . (Например, топология на X представляет собой набор подмножеств X .) Различные наборы подмножеств X сами по себе не будет подмножество X , но вместо этого будет подмножество P X , на множестве мощности от X . Это может быть продолжено; объект исследования может затем состоять из таких наборов подмножеств X и т. д., и в этом случае вселенная будет P ( PХ ). В другом направлении, то бинарные отношения на X (подмножества декартова произведения X × X ) могут быть рассмотрены, или функции от X к себе, требуя вселенные как P ( X × X ) или Х ^Х .

Таким образом, даже если основной интерес Х , вселенной , возможно , потребуется , чтобы быть значительно больше , чем X . Следуя вышеприведенным идеям, можно захотеть надстройку над X как вселенной. Это можно определить с помощью структурной рекурсии следующим образом:

• Пусть S ₀ X - это сам X.
• Пусть S ₁ X является объединением по X и P X .
• Пусть S ₂ X - объединение S ₁ X и P ( S ₁ X ).
• В общем, пусть S _{n +1} X - объединение S _n X и P ( S _n X ).

Тогда надстройка над X , обозначенная как S X , представляет собой объединение S ₀ X , S ₁ X , S ₂ X и так далее; или же

${\ displaystyle \ mathbf {S} X: = \ bigcup _ {i = 0} ^ {\ infty} \ mathbf {S} _ {i} X {\ mbox {.}} \!}$

Независимо от того , какого набора X является отправной точкой, то пустое множество {} будет принадлежать S _- X . Пустое множество - это порядковый номер фон Неймана [0]. Тогда {[0]}, набор, единственным элементом которого является пустой набор, будет принадлежать S ₂ X ; это порядковый номер фон Неймана [1]. Аналогично, {[1]} будет принадлежать S ₃ X , а значит, и {[0], [1]}, как объединение {[0]} и {[1]}; это порядковый номер фон Неймана [2]. Продолжая этот процесс, каждое натуральное число представлено в надстройке своим порядковым номером фон Неймана. Далее, если x и yпринадлежат надстройке, то же самое относится и к {{ x }, { x , y }}, которая представляет упорядоченную пару ( x , y ). Таким образом, надстройка будет содержать различные желаемые декартовы произведения. Тогда надстройка также содержит функции и отношения , поскольку они могут быть представлены как подмножества декартовых произведений. Процесс также дает упорядоченные n -элементы, представленные в виде функций, область определения которых является порядковым номером фон Неймана [ n ], и так далее.

Итак, если отправной точкой является просто X = {}, большая часть наборов, необходимых для математики, появляется как элементы надстройки над {}. Но каждый из элементов S {} будет конечным множеством . Каждый из натуральных чисел принадлежит к нему, но множество Н из всех натуральных чисел не дает (хотя это подмножество из S {}). Фактически, надстройка над {} состоит из всех наследственно конечных множеств . Таким образом, его можно рассматривать как вселенную финитистской математики . Говоря анахронизмом, можно предположить, что финитист XIX века Леопольд Кронекерработал в этой вселенной; он считал, что каждое натуральное число существует, а множество N (« завершенная бесконечность ») - нет.

Однако S {} неудовлетворительно для обычных математиков (которые не являются финитистами), потому что даже несмотря на то, что N может быть доступно как подмножество S {}, все же набор степеней N - нет. В частности, недоступны произвольные наборы действительных чисел. Поэтому может возникнуть необходимость начать процесс сначала и сформировать S ( S {}). Однако, чтобы не усложнять, можно взять множество N натуральных чисел как данность и образуют SN , надстройку над N . Это часто считают вселенной обычной математики.. Идея состоит в том, что вся математика, которая обычно изучается, относится к элементам этой вселенной. Например, любая из обычных построений действительных чисел (скажем, сечения Дедекинда ) принадлежит SN . Даже нестандартный анализ может быть выполнен в надстройке над нестандартной моделью натуральных чисел.

Есть небольшой сдвиг в философии по сравнению с предыдущим разделом, где вселенная представляла собой любой интересующий набор U. Там изучаемые множества были подмножествами вселенной; теперь они члены вселенной. Таким образом, хотя P ( S X ) является булевой решеткой, важно то, что сам S X таковой не является. Следовательно, редко применяют понятия булевых решеток и диаграмм Венна непосредственно к вселенной надстройки, как они были к вселенным набора мощности из предыдущего раздела. Вместо этого можно работать с отдельными булевыми решетками P A , где A - любое релевантное множество, принадлежащееS X ; тогда P A является подмножеством S X (и фактически принадлежит S X ). В частности, в случае Кантора X = R произвольные наборы действительных чисел недоступны, поэтому может действительно возникнуть необходимость начать процесс заново.

В теории множеств [ править ]

Можно придать точный смысл утверждению, что SN - это вселенная обычной математики; это модель из теории множеств Цермели , то аксиома теория множеств , первоначально разработанная Цермели в 1908. Цермела теорию множеств была успешной именно потому , что она была способна axiomatising «обычной» математика, выполняя программу , начатую Кантора более 30 лет назад. Но теории множеств Цермело оказалось недостаточно для дальнейшего развития аксиоматической теории множеств и других работ по основам математики , особенно теории моделей .

В качестве яркого примера приведенное выше описание процесса надстройки само по себе не может быть выполнено в теории множеств Цермело. Последний шаг, формирование S как бесконечного объединения, требует аксиомы замены , которая была добавлена ​​в теорию множеств Цермело в 1922 году для формирования теории множеств Цермело – Френкеля , набора аксиом, наиболее широко распространенного сегодня. Таким образом , в то время как обычные математики может быть сделано в SN , обсуждение из SN выходит за рамки «обычных», в метаматематике .

Но если применить мощную теорию множеств, описанный выше процесс надстройки окажется всего лишь началом трансфинитной рекурсии . Вернемся к X = {}, пустому множеству, и введем (стандартное) обозначение V _i для S _i {}, V ₀ = {}, V ₁ = P {} и так далее, как раньше. Но то, что раньше называлось «надстройкой», теперь просто следующий элемент в списке: V _ω , где ω - первое бесконечное порядковое число . Это может быть расширено до произвольных порядковых чисел :

${\ displaystyle V_ {i}: = \ bigcup _ {j <i} \ mathbf {P} V_ {j} \!}$

определяет V _i для любого порядкового номера i . Объединение всех V _i - это вселенная фон Неймана V :

${\ Displaystyle V: = \ bigcup _ {i} V_ {i} \!}$.

Каждый индивидуальный V _i является множеством, но их объединение V является собственным классом . Аксиома фундамента , который был добавлен к ZF теории множеств примерно в то же время , как аксиома замены, говорит , что каждый набор принадлежит V .

Курт Гедель «s конструктивны вселенной L и аксиома конструктивности

Недоступные кардиналы дают модели ZF, а иногда и дополнительные аксиомы, и эквивалентны существованию множества вселенной Гротендика.

В исчислении предикатов [ править ]

В интерпретации из логики первого порядка , Вселенной (или область дискурса) является совокупность лиц (индивидуальные константы) , над которым квантификаторы диапазон. Утверждение, такое как ∀ x ( x ² ≠ 2) , неоднозначно, если не была идентифицирована ни одна область дискурса. В одной интерпретации областью дискурса может быть набор действительных чисел ; в другой интерпретации это может быть набор натуральных чисел . Если предметом обсуждения является множество действительных чисел, предложение неверно, с x = √ 2как контрпример; если область - это множество натуральных чисел, предложение верно, поскольку 2 не является квадратом любого натурального числа.

В теории категорий [ править ]

Есть и другой подход к вселенным, исторически связанный с теорией категорий . Это идея вселенной Гротендика . Грубо говоря, вселенная Гротендика - это множество, внутри которого могут выполняться все обычные операции теории множеств. Эта версия вселенной определяется как любое множество, для которого выполняются следующие аксиомы: ^[1]

1. ${\ Displaystyle х \ в и \ в U}$ подразумевает ${\ Displaystyle х \ в U}$
2. ${\ displaystyle u \ in U}$и подразумевают { u , v }, ( u , v ) и .${\ displaystyle v \ in U}$${\ displaystyle u \ times v \ in U}$
3. ${\ Displaystyle х \ в U}$подразумевает и${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} х \ в U}$${\ Displaystyle \ чашка х \ в U}$
4. ${\ displaystyle \ omega \ in U}$(вот набор всех конечных ординалов .)${\ Displaystyle \ omega = \ {0,1,2, ... \}}$
5. если - сюръективная функция с и , то .${\ displaystyle f: от \ до b}$${\ displaystyle a \ in U}$${\ displaystyle b \ subset U}$${\ displaystyle b \ in U}$

Преимущество вселенной Гротендика состоит в том, что на самом деле это набор , а не настоящий класс. Недостаток в том, что если очень постараться, можно покинуть вселенную Гротендика. ^{[ необходима цитата ]}

Наиболее распространенное использование Гротендик вселенная U должен взять U в качестве замены для категории всех множеств. Один говорит , что множество S является U - маленький , если S ∈ U и U - большой иначе. Категория U - множество всех U -малых множеств имеет в качестве объектов все U-малые множества и как морфизмы все функции между этими множествами. И набор объектов, и набор морфизма являются наборами, поэтому становится возможным обсудить категорию "все" наборы без вызова соответствующих классов. Затем становится возможным определить другие категории в рамках этой новой категории. Например, категория всех U -Малого категорий является категорией всех категорий, объект набор и у которых морфизм множество в U . Тогда обычные аргументы теории множеств применимы к категории всех категорий, и не нужно беспокоиться о том, что случайно можно будет говорить о правильных классах. Поскольку вселенные Гротендика чрезвычайно велики, этого достаточно почти для всех приложений.

Часто, работая с вселенными Гротендика, математики принимают Аксиому Вселенных : «Для любого множества x существует вселенная U такая, что x ∈ U ». Суть этой аксиомы состоит в том, что любое встречающееся множество является U -малым для некоторого U , поэтому можно применить любой аргумент, сделанный в общей вселенной Гротендика. Эта аксиома тесно связана с существованием сильно недоступных кардиналов .

В теории типов [ править ]

В некоторых теориях типов, особенно в системах с зависимыми типами , сами типы могут рассматриваться как термины . Существует тип, называемый вселенной (часто обозначаемый ), который имеет типы в качестве своих элементов. Чтобы избежать парадоксов, таких как парадокс Жирара (аналог парадокса Рассела для теории типов), теории типов часто снабжены счетно бесконечной иерархией таких вселенных, причем каждая вселенная является членом следующей. ${\ displaystyle {\ mathcal {U}}}$

Есть по крайней мере два типа вселенных, которые можно рассматривать в теории типов: вселенные в стиле Рассела (названные в честь Бертрана Рассела ) и вселенные в стиле Тарского (названные в честь Альфреда Тарского ). ^{[2] [3] [4]} Вселенная в стиле Рассела - это тип, членами которого являются типы. ^[2] Вселенная в стиле Тарского - это тип вместе с операцией интерпретации, позволяющей нам рассматривать его термины как типы. ^[2]

См. Также [ править ]

• Область дискурса
• Вселенная Гротендика
• Вселенная Herbrand
• Бесплатный объект
• Открытая формула

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Мак-Лейн, Сондерс (1998). Категории для рабочего математика . Springer-Verlag New York, Inc.

Внешние ссылки [ править ]

• "Вселенная" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Универсальный набор» . MathWorld .