Наивная теория множеств

Наивная теория множеств - это любая из нескольких теорий множеств, используемых при обсуждении основ математики . ^[1] В отличие от аксиоматических теорий множеств , которые определяются с помощью формальной логики , наивная теория множеств определяется неформально, на естественном языке . Он описывает аспекты математических множеств, знакомых в дискретной математике (например, диаграммы Венна и символические рассуждения об их булевой алгебре ), и достаточен для повседневного использования концепций теории множеств в современной математике. ^[2]

Множества имеют большое значение в математике; в современных формальных трактовках большинство математических объектов ( числа , отношения , функции и т. д.) определяются в терминах множеств. Наивной теории множеств достаточно для многих целей, а также она служит ступенькой к более формальным подходам.

Метод [ править ]

Наивная теория в смысле «наивной теории множеств» не является формализованной теорией, то есть теория , которая использует естественный язык для описания множеств и операций над множествами. Слова и , или , если ... то , не , для некоторых , для каждого , рассматриваются как в обычной математике. Для удобства использование наивной теории множеств и ее формализма преобладает даже в высшей математике, в том числе в более формальных условиях самой теории множеств.

Первым развитием теории множеств была наивная теория множеств. Он был создан в конце 19 века Георгом Кантором как часть его исследования бесконечных множеств ^[3] и развит Готтлобом Фреге в его Grundgesetze der Arithmetik .

Теория наивных множеств может относиться к нескольким очень различным понятиям. Это может относиться к

• Неформальное изложение аксиоматической теории множеств, например, в « Наивной теории множеств » Пола Халмоса .
• Ранние или более поздние версии теории Георга Кантора и других неформальных систем.
• Явно противоречивые теории (аксиоматические или нет), такие как теория Готлоба Фреге ^[4], которая привела к парадоксу Рассела , и теории Джузеппе Пеано ^[5] и Ричарда Дедекинда .

Парадоксы [ править ]

Предположение, что любое свойство может быть использовано для формирования множества без ограничений, приводит к парадоксам . Один из распространенных примеров - парадокс Рассела : не существует множества, состоящего из «всех множеств, которые не содержат самих себя». Таким образом, непротиворечивые системы наивной теории множеств должны включать некоторые ограничения на принципы, которые могут использоваться для формирования множеств.

Теория Кантора [ править ]

Некоторые считают, что теория множеств Георга Кантора на самом деле не участвовала в теоретико-множественных парадоксах (см. Frápolli 1991). Одна из трудностей в определении этого с уверенностью состоит в том, что Кантор не представил аксиоматизацию своей системы. К 1899 году Кантор был осведомлен о некоторых парадоксов , вытекающих из неограниченной интерпретации его теории, например , парадокс Кантора ^[6] и парадокс Burali-Forti , ^[7] и не верили , что они опорочили его теорию. ^[8] Парадокс Кантора может быть фактически выведен из вышеупомянутого (ложного) предположения о том, что любое свойство P ( x ) может быть использовано для формирования набора, используя для P (x ) « x - кардинальное число ». Фреге явно аксиоматизировал теорию, в которой формализованная версия наивной теории множеств может быть интерпретирована, и именно к этой формальной теории насамом деле обратился Бертран Рассел, когда представил свой парадокс, не обязательно теорию Кантора, который, как уже упоминалось, знал несколько парадоксы, по-видимому, имел в виду.

Аксиоматические теории [ править ]

Теория аксиоматических множеств была разработана в ответ на эти ранние попытки понять множества с целью точно определить, какие операции разрешены и когда.

Последовательность [ править ]

Наивная теория множеств не обязательно противоречива, если она правильно определяет множества, которые можно рассматривать. Это можно сделать с помощью определений, которые являются неявными аксиомами. Все аксиомы можно сформулировать явно, как в случае с наивной теорией множеств Халмоша , которая фактически является неформальным изложением обычной аксиоматической теории множеств Цермело – Френкеля . Это «наивно» в том смысле, что язык и обозначения соответствуют обычной неформальной математике, и в том смысле, что он не имеет отношения к последовательности или полноте системы аксиом.

Точно так же аксиоматическая теория множеств не обязательно непротиворечива: не обязательно лишена парадоксов. Из теорем Гёделя о неполноте следует, что достаточно сложная логическая система первого порядка (которая включает наиболее распространенные аксиоматические теории множеств) не может быть доказана непротиворечивостью изнутри самой теории - даже если она действительно непротиворечива. Однако обычно считается, что общие аксиоматические системы непротиворечивы; своими аксиомами они действительно исключают некоторые парадоксы, например парадокс Рассела . Основываясь на теореме Гёделя , просто неизвестно - и никогда не может быть - нет ли вообще никаких парадоксов в этих теориях или в любой теории множеств первого порядка.

Термин « наивная теория множеств» до сих пор используется в некоторой литературе ^{[ необходима ссылка ]} для обозначения теорий множеств, изученных Фреге и Кантором, а не к неформальным аналогам современной аксиоматической теории множеств.

Утилита [ править ]

Выбор между аксиоматическим подходом и другими подходами во многом зависит от удобства. В повседневной математике лучшим выбором может быть неформальное использование аксиоматической теории множеств. Ссылки на конкретные аксиомы обычно появляются только тогда, когда этого требует традиция, например, аксиома выбора часто упоминается при использовании. Точно так же формальные доказательства происходят только в тех случаях, когда они требуются в исключительных обстоятельствах. Такое неформальное использование аксиоматической теории множеств может иметь (в зависимости от обозначений) в точности вид наивной теории множеств, как показано ниже. Его значительно легче читать и писать (в формулировке большинства утверждений, доказательств и линий обсуждения), и он менее подвержен ошибкам, чем строго формальный подход.

Наборы, членство и равенство [ править ]

В наивной теории множеств набор описывается как четко определенный набор объектов. Эти объекты называются элементами или членами набора. Объектами могут быть все, что угодно: числа, люди, другие множества и т. Д. Например, 4 является членом множества всех четных целых чисел . Ясно, что множество четных чисел бесконечно велико; не требуется, чтобы набор был конечным.

Определение множеств восходит к Георгу Кантору . В 1915 году он написал в своей статье Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre :

«Unter einer 'Menge' verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die 'Elemente' von M genannt werden) zu einem Ganzen». - Георг Кантор

«Набор - это совокупность определенных, отличных объектов нашего восприятия или нашей мысли, которые называются элементами набора». - Георг Кантор

Примечание о согласованности [ править ]

Из этого определения не следует, как можно формировать наборы и какие операции над наборами снова будут производить набор. Термин «четко определенный» в «четко определенной совокупности объектов» не может сам по себе гарантировать согласованность и однозначность того, что именно составляет, а что не составляет набора. Попытки достичь этого были бы областью аксиоматической теории множеств или аксиоматической теории классов .

Проблема в этом контексте с неформально сформулированными теориями множеств, не производными (и не подразумевающими) какой-либо конкретной аксиоматической теорией, состоит в том, что может быть несколько сильно различающихся формализованных версий, которые имеют как разные множества, так и разные правила того, как новые множества могут быть сформировано, что все соответствует исходному неформальному определению. Например, дословное определение Кантора допускает значительную свободу в том, что составляет набор. С другой стороны, маловероятно, что Кантора особенно интересовали наборы, содержащие кошек и собак, а скорее только наборы, содержащие чисто математические объекты. Примером такого класса множеств может быть вселенная фон Неймана.. Но даже при фиксации рассматриваемого класса множеств не всегда ясно, какие правила формирования множеств допустимы без введения парадоксов.

С целью закрепления обсуждения ниже термин «четко определенный» следует интерпретировать как намерение с использованием неявных или явных правил (аксиом или определений), чтобы исключить несоответствия. Цель состоит в том, чтобы держать часто глубокие и сложные вопросы согласованности подальше от, как правило, более простого контекста. Явное исключение всех мыслимых несоответствий (парадоксов) в любом случае не может быть достигнуто для аксиоматической теории множеств из-за второй теоремы Гёделя о неполноте, так что это нисколько не мешает полезности наивной теории множеств по сравнению с аксиоматической теорией множеств в простом виде контексты, рассмотренные ниже. Это просто упрощает обсуждение. Отныне согласованность считается само собой разумеющимся, если явно не указано иное.

Членство [ править ]

Если х является членом множества А , то он также сказал , что х принадлежит А , или что х в А . Это обозначается й  ∈  . Символ ∈ является производным от строчной греческой буквы эпсилон , «ε», введенной Джузеппе Пеано в 1889 году, и является первой буквой слова ἐστί (означает «есть»). Символ ∉ часто используется для записи x  ∉  A , что означает, что «x не входит в A».

Равенство [ править ]

Два набора и В определяются как равны , когда они имеют в точности те же самые элементы, то есть, если каждый элемент А является элементом B и каждый элемент B является элементом A . (См. Аксиому экстенсиональности .) Таким образом, множество полностью определяется своими элементами; описание не имеет значения. Например, набор с элементами 2, 3 и 5 равен набору всех простых чисел меньше 6. Если наборы A и B равны, это обозначается символически как A  =  B (как обычно).

Пустой набор [ править ]

Пустое множество , часто обозначается Ø , а иногда , представляет собой набор без каких - либо членов на всех. Поскольку набор полностью определяется своими элементами, может быть только один пустой набор. (См. Аксиому о пустом множестве .) Хотя пустое множество не имеет членов, оно может быть членом других множеств. Таким образом, Ø ≠ {Ø}, потому что у первого нет участников, а у второго есть один член. В математике единственные наборы, которые нужно рассматривать, могут быть построены только из пустого набора ( Halmos (1974) ).${\ Displaystyle \ {\}}$ошибка harvtxt: несколько целей (2 ×): CITEREFHalmos1974 ( справка )

Определение наборов [ править ]

Самый простой способ описать набор - перечислить его элементы в фигурных скобках (это называется расширенным определением набора ). Таким образом, {1, 2} обозначает множество, единственными элементами которого являются 1 и 2 . (См. Аксиому о спаривании .) Обратите внимание на следующие моменты:

• Порядок элементов не имеет значения; например, {1, 2} = {2, 1} .
• Повторение ( множественность ) элементов не имеет значения; например, {1, 2, 2} = {1, 1, 1, 2} = {1, 2} .

(Это следствия определения равенства в предыдущем разделе.)

Этим обозначением можно неформально злоупотреблять, говоря что-то вроде {dogs} для обозначения набора всех собак, но этот пример обычно читается математиками как "набор, содержащий единственный элемент собаки ".

Крайний (но правильный) пример этого обозначения - {} , который обозначает пустое множество.

Обозначение { x  : P ( x )} или иногда { x | Р ( х )} , используется для обозначения набора , содержащий все объекты , для которых условия Р имеет место (известный как определение набора интенсионально ). Например, { x  : x ∈ R } обозначает набор действительных чисел , { x  : x имеет светлые волосы} обозначает набор всего, что имеет светлые волосы.

Эта нотация называется нотацией построителя множеств (или « пониманием множества », особенно в контексте функционального программирования ). Некоторые варианты обозначения конструктора множеств:

• { x ∈ A  : P ( x )} обозначает множество всех x , которые уже являются членами A , для которых выполняется условие P для x . Например, если Z - множество целых чисел , то { x ∈ Z  : x is even} - множество всех четных целых чисел. (См. Аксиому спецификации .)
• { Р ( х ): х ∈ } обозначает совокупность всех объектов , полученных путем ввода элементов множества A в формуле F . Например, {2 x  : x ∈ Z } снова является набором всех четных целых чисел. (См. Аксиому замены .)
• { F ( x ): P ( x )} - наиболее общая форма обозначения построителя множеств. Например, { x ' s owner: x is a dog} - это совокупность всех владельцев собак.

Подмножества [ править ]

Указанные два набора и Б , является подмножеством из B , если каждый элемент А является также элементом B . В частности, каждое множество B является подмножеством самого себя; подмножество B , которое не равно B , называется собственным подмножеством .

Если является подмножеством B , то можно также сказать , что B является подмножеством из А , что находится содержится в B , или что Б содержит . В символах,  ⊆  B означает , что является подмножеством B , а B  ⊇  A означает , что B является подмножеством A . Некоторые авторы используют символы ⊂ и ⊃ для обозначения подмножеств, а другие используют эти символы только для правильного подмножества. Для ясности можно явно использовать символы ⊊ и ⊋ для обозначения неравенства.

В качестве иллюстрации пусть R будет набором действительных чисел, пусть Z будет набором целых чисел, пусть O будет набором нечетных целых чисел и пусть P будет набором нынешних или бывших президентов США . Тогда O - подмножество Z , Z - подмножество R , и (следовательно) O - подмножество R , где во всех случаях подмножество может даже считаться правильным подмножеством . Не все наборы таким образом сопоставимы. Например, это не тот случай, когда R является подмножеством P или что Pявляется подмножеством R .

Это непосредственно следует из определения равенства множеств выше , что, учитывая два множества A и B , A  =  B тогда и только тогда A  ⊆  B и B  ⊆  A . Фактически, это часто называют определением равенства. Обычно, пытаясь доказать равенство двух множеств, стремятся показать эти два включения. Пустое множество является подмножеством любого множества (утверждение , что все элементы пустого множества также являются членами любого множества A является тривиальным образом верно ).

Множество всех подмножеств данного множества А называется мощность множества из А и обозначается или ; буква « P » иногда используется в скриптовом шрифте. Если множество имеет п элементов, то будет иметь элементы.${\ displaystyle 2 ^ {A}}$${\ Displaystyle P (A)}$${\ Displaystyle P (A)}$${\ Displaystyle 2 ^ {п}}$

Универсальные наборы и абсолютные дополнения [ править ]

В определенных контекстах можно рассматривать все рассматриваемые множества как подмножества некоторого данного универсального множества . Например, при исследовании свойств действительных чисел R (и подмножеств R ), R можно рассматривать как универсальное множество. Истинный универсальный набор не включен в стандартную теорию множеств (см. Парадоксы ниже), но включен в некоторые нестандартные теории множеств.

Учитывая универсальный набор U и подмножество А из U , тем комплемента из А (в U ) определяется как

A ^C  : = { x  ∈  U  : x  ∉  A }.

Другими словами, ^C ( « A-дополнение », иногда просто А» ,„ А-премьер “) есть множество всех членов U , которые не являются членами A . Таким образом, с R , Z и O, определенными, как в разделе о подмножествах, если Z - универсальное множество, то O ^C - это множество четных целых чисел, а если R - универсальное множество, то O ^C - это множество всех действительных чисел. которые либо целые, либо не целые.

Союзы, пересечения и относительные дополнения [ править ]

Для двух множеств A и B их объединение - это множество, состоящее из всех объектов, которые являются элементами A или B или обоих (см. Аксиому объединения ). Он обозначается через A  ∪  B .

Пересечение из A и B представляет собой совокупность всех объектов, находящихся как в A , и в B . Оно обозначается A  ∩  B .

И, наконец, относительное дополнение из B относительно А , также известный как множества теоретических разницы в A и B , это совокупность всех объектов , которые принадлежат к A , но не к B . Он записывается в виде A  \  B или A  -  B .

Символически это соответственно

A  ∪ B: = { x  : ( x  ∈  A )  или ( x  ∈  B )};

A  ∩  B  : = { x  : ( x  ∈  A )  и ( x  ∈  B )} = { x  ∈  A  : x  ∈  B } = { x  ∈  B  : x  ∈  A };

A  \  B  : = { x  : ( x  ∈  A ), а  не ( x  ∈  B )} = { x  ∈  A  : not ( x  ∈  B )}.

Множество B не обязательно должно быть подмножеством A, чтобы A  \  B имел смысл; в этом разница между относительным дополнением и абсолютным дополнением ( A ^C = U  \  A ) из предыдущего раздела.

Чтобы проиллюстрировать эти идеи, пусть A будет набором левшей, а пусть B будет набором людей со светлыми волосами. Тогда A  ∩  B - это совокупность всех светловолосых левшей, а A  ∪  B - совокупность всех левшей, или светловолосых людей, или и того, и другого. С другой стороны, A  \  B - это совокупность всех людей, которые являются левшами, но не светловолосыми, а B  \  A - это совокупность всех людей со светлыми волосами, но не левшей.

Теперь пусть E будет множеством всех людей, и пусть F будет множеством всех живых существ старше 1000 лет. Что в этом случае E  ∩  F ? Ни одному живому человеку не более 1000 лет , поэтому E  ∩  F должно быть пустым множеством {}.

Для любого множества A набор мощности является булевой алгеброй относительно операций объединения и пересечения.${\ Displaystyle P (A)}$

Упорядоченные пары и декартовы произведения [ править ]

Наглядно упорядоченная пара это просто набор из двух объектов таким образом, что можно выделить в качестве первого элемента , а другие в качестве второго элемента , и имеющей фундаментальное свойство , что два упорядоченных пары равны тогда и только тогда , когда их первых элементы являются равны и их вторые элементы равны.

Формально упорядоченная пара с первой координатой a и второй координатой b , обычно обозначаемой ( a , b ), может быть определена как набор {{ a }, { a , b }}.

Отсюда следует, что две упорядоченные пары ( a , b ) и ( c , d ) равны тогда и только тогда, когда a  =  c и b  =  d .

В качестве альтернативы упорядоченную пару можно формально представить как набор {a, b} с полным порядком .

(Обозначение ( a , b ) также используется для обозначения открытого интервала в строке действительных чисел , но из контекста должно быть ясно, какое значение имеется в виду. В противном случае, обозначение] a , b [может использоваться для обозначения открытого интервал, тогда как ( a , b ) используется для упорядоченной пары).

Если A и B являются наборами, то декартово произведение (или просто произведение ) определяется как:

A  × B  = {( a , b ): a находится в A, а b находится в B }.

То есть,  ×  B есть множество всех упорядоченных пар, первая координата является элементом А , и чья вторая координата является элементом B .

Это определение может быть расширено до набора A  ×  B  ×  C упорядоченных троек и, в более общем смысле, до наборов упорядоченных наборов из n для любого положительного целого числа n . Можно даже определить бесконечное декартово произведение , но это требует более сложного определения произведения.

Декартовы произведения были впервые разработаны Рене Декартом в контексте аналитической геометрии . Если R обозначает набор всех действительных чисел , тогда R ²  : =  R  ×  R представляет евклидову плоскость, а R ³  : =  R  ×  R  ×  R представляет трехмерное евклидово пространство .

Некоторые важные наборы [ править ]

Есть несколько распространенных множеств, для которых обозначения почти универсальны. Некоторые из них перечислены ниже. В списке a , b и c относятся к натуральным числам , а r и s - к действительным числам .

1. Для подсчета используются натуральные числа . Ажурный полужирный капитал N ( ) часто представляет этот набор.${\displaystyle \mathbb {N} }$
2. Целые числа появляются как решения для x в уравнениях типа x + a = b . Жирная заглавная буква Z ( ) на доске часто представляет этот набор (от немецкого Zahlen , что означает числа ).${\displaystyle \mathbb {Z} }$
3. Рациональные числа появляются как решения уравнений типа a + bx = c . Жирная заглавная буква Q ( ) на доске часто представляет этот набор (для частного , потому что R используется для набора действительных чисел).${\displaystyle \mathbb {Q} }$
4. Алгебраические числа появляются как решения полиномиальных уравнений (с целыми коэффициентами) и могут включать радикалы (в том числе ) и некоторые другие иррациональные числа . Q с Оверлайна ( ) часто представляет этот набор. Черная черта обозначает операцию алгебраического замыкания .${\displaystyle i={\sqrt {-1\,}}}$${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}}$
5. Действительные числа представляют собой «действительную линию» и включают в себя все числа, которые можно округлить рациональными числами. Эти числа могут быть рациональными или алгебраическими, но также могут быть трансцендентными числами , которые не могут быть решениями полиномиальных уравнений с рациональными коэффициентами. Жирная заглавная буква R ( ) на доске часто представляет этот набор.${\displaystyle \mathbb {R} }$
6. Комплексные числа представляют собой суммы реального и мнимого числа: . Здесь одно или (или оба) могут быть равны нулю; таким образом, набор действительных чисел и набор строго мнимых чисел являются подмножествами набора комплексных чисел, которые образуют алгебраическое замыкание для набора действительных чисел, что означает, что каждый многочлен с коэффициентами в имеет хотя бы один корень в этом наборе . Этот набор часто обозначается жирной заглавной буквы C ( ) на доске . Обратите внимание: поскольку число можно отождествить с точкой на плоскости, оно в основном "то же самое", что и декартово произведение.${\displaystyle r+s\,i}$${\displaystyle r}$${\displaystyle s}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle r+s\,i}$${\displaystyle (r,s)}$${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$(«то же самое» означает, что любая точка в одной определяет уникальную точку в другой, и для результата вычислений не имеет значения, какая из них используется для вычисления, если для этого подходит правило умножения ).${\displaystyle \mathbb {C} }$

Парадоксы в ранней теории множеств [ править ]

Принцип неограниченного формирования множеств, называемый схемой аксиом неограниченного понимания ,

Если P - свойство, то существует множество Y = { x  : P ( x )} ( false ), ^[9]

является источником нескольких ранних парадоксов:

• Y = { x  : x - порядковый номер} привело в 1897 году к парадоксу Бурали-Форти , первой опубликованной антиномии .
• У = { х  : х является кардинальным} произвел парадокс Кантора в 1897. ^[6]
• Y = { x  : {} = {}} дало вторую антиномию Кантора в 1899 году. ^[8] Здесь свойство P истинно для всех x , каким бы x ни был, поэтому Y будет универсальным множеством , содержащим все.
• Y = { x  : x ∉ x } , т. Е. Множество всех множеств, которые не содержат себя в качестве элементов, дали парадокс Рассела в 1902 году.

Если схему аксиом неограниченного понимания ослабить до схемы аксиом спецификации или схемы аксиом разделения ,

Если P - свойство, то для любого множества X существует множество Y = { x ∈ X  : P ( x )} , ^[9]

тогда все вышеперечисленные парадоксы исчезают. ^[9] Есть следствие. Из схемы аксиом разделения как аксиомы теории следует, как теорема теории:

Набор всех наборов не существует .

Или, что более впечатляюще (формулировка Халмоса ^[10] ): Вселенной нет . Доказательство : Предположим , что она существует , и называют его U . Теперь примените схему аксиом разделения с X = U и для P ( x ) используйте x ∉ x . Это снова приводит к парадоксу Рассела. Следовательно, U не может существовать в этой теории. ^[9]

С приведенными выше конструкциями связано формирование множества

• Y = { x  : ( x ∈ x ) → {} ≠ {}} , где утверждение, следующее за импликацией, заведомо неверно. Из определения Y с использованием обычных правил вывода (и некоторой запоздалой мысли при чтении доказательства в связанной статье ниже) следует, что Y ∈ Y → {} ≠ {} и Y ∈ Y выполняется, следовательно, {} ≠ { } . Это парадокс Карри .

Проблема не в возможности x ∈ x ( что может быть удивительно) . Это снова схема аксиом неограниченного понимания, допускающая ( x ∈ x ) → {} ≠ {} для P ( x ) . При использовании схемы аксиом спецификации вместо неограниченного понимания вывод Y ∈ Y не выполняется и, следовательно, {} ≠ {} не является логическим следствием.

Тем не менее, возможность x ∈ x часто исключается явно ^[11] или, например, в ZFC, неявно ^[12] , требуя выполнения аксиомы регулярности . ^[12] Одним из следствий этого является

Не существует множества X, для которого X ∈ X ,

или, другими словами, никакой набор не является элементом самого себя. ^[13]

Схема аксиомы разделения просто слишком слаба (в то время как неограниченное понимание является очень сильной аксиомой - слишком сильной для теории множеств), чтобы развивать теорию множеств с ее обычными операциями и конструкциями, описанными выше. ^[9] Аксиома регулярности также носит ограничительный характер. Следовательно, нужно сформулировать другие аксиомы, чтобы гарантировать существование достаточного количества множеств для формирования теории множеств. Некоторые из них неформально описаны выше, а многие другие возможны. Не все мыслимые аксиомы можно свободно объединить в непротиворечивые теории. Например, аксиома выбора ZFC несовместима с мыслимым каждый набор действительных чисел измеримым по Лебегу . Первое подразумевает, что второе ложно.

См. Также [ править ]

• Алгебра множеств
• Аксиоматическая теория множеств
• Теория внутреннего множества
• Теория множеств
• Набор (математика)
• Частично заказанный набор

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Бурбаки Н. , Элементы истории математики , Джон Мелдрам (пер.), Springer-Verlag, Берлин, Германия, 1994.
• Кантор, Георг (1874), "Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes Aller reellen algebraischen Zahlen" , J. Reine Angew. Математика. , 77 : 258-262, DOI : 10.1515 / crll.1874.77.258 , Смотрите также PDF - версия:
• Девлин, KJ , Радость множеств: основы современной теории множеств , 2-е издание, Springer-Verlag, Нью-Йорк, Нью-Йорк, 1993.
• Мария Х. Фраполли | Фраполли, Мария Дж., 1991, "Является ли канторианская теория множеств итеративной концепцией множества?". Современная логика , т. 1, н. 4, 1991, 302–318.
• Фреге, Готтлоб (1893), Grundgesetze der Arithmetik , 1 , Jena 1893.CS1 maint: location (link)
• Халмос, Пол , Наивная теория множеств . Принстон, Нью-Джерси: D. Van Nostrand Company, 1960. Перепечатано Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (издание Springer-Verlag). Перепечатано Martino Fine Books, 2011. ISBN 978-1-61427-131-4 (издание в мягкой обложке).  
• Jech, Томас (2002). Теория множеств, издание третьего тысячелетия (переработанное и дополненное) . Springer. ISBN 3-540-44085-2.
• Келли, Дж. Л. , Общая топология , Ван Ностранд Рейнхольд, Нью-Йорк, 1955.
• ван Хейеноорт, Дж. , От Фреге до Гёделя, Справочник по математической логике, 1879-1931 , Издательство Гарвардского университета, Кембридж, Массачусетс, 1967. Перепечатано с исправлениями, 1977. ISBN 0-674-32449-8 . 
• Мешковский, Герберт ; Нильсон, Винфрид (1991), Георг Кантор: Брифе. Отредактировано авторами. , Берлин: Springer, ISBN 3-540-50621-7
• Пеано, Джузеппе (1889), Принципы арифметики nova Methoda exposita , Турин 1889.CS1 maint: location (link)
• Цермело, Эрнст (1932), Георг Кантор: Gesammelte Abhandlungen Mathematischen und Philophischen Inhalts. Mit erläuternden Anmerkungen sowie mit Ergänzungen aus dem Briefwechsel Cantor-Dedekind. Под редакцией автора. , Берлин: Springer

Внешние ссылки [ править ]

• Начало страницы теории множеств в Сент-Эндрюсе
• Самые ранние известные варианты использования некоторых слов математики (S)