Внутренняя модель

В теории множеств , ветвь математической логики , внутренняя модель для теории T является подструктурой из модели М в виде теории множеств , которая является одновременно образцом для Т и содержит все ординал М .

Определение [ править ]

Позвольте быть языком теории множеств. Пусть S - конкретная теория множеств, например аксиомы ZFC, и пусть T (возможно, такая же, как S ) также будет теорией в . ${\ Displaystyle L = \ langle \ in \ rangle}$${\ displaystyle L}$

Если M - модель для S , а N - такая -структура, что ${\ displaystyle L}$

1. Н является подструктурой М , т.е. интерпретации из в Н является${\ displaystyle \ in _ {N}}$${\ displaystyle \ in}$${\ displaystyle {\ in _ {M}} \ cap N ^ {2}}$
2. N - модель для T
3. область N является транзитивным классом из М
4. N содержит все порядковые из M

то мы говорим , что N является внутренней моделью из Т (в М ). ^[1] Обычно Т будет равна (или подводить) S , так что N является моделью для S «внутри» модели M из S .

Если только условия 1 и 2 выполнены, Н называется стандартная модель из T (в M ), A стандартная подмодели из T , если S  =  T . Модель N группы T в M называется транзитивной, если она стандартна и выполняется условие 3. Если аксиома основания не предполагается (то есть не входит в S ), всем трем из этих концепций дается дополнительное условие, что N должна быть хорошо обоснована.. Следовательно, внутренние модели транзитивны, транзитивные модели стандартны, а стандартные модели хорошо обоснованы.

Предположение о том, что существует стандартная подмодель ZFC (в данной вселенной), сильнее, чем предположение о существовании модели. Фактически, если существует стандартная подмодель, то существует наименьшая стандартная подмодель, называемая минимальной моделью, содержащаяся во всех стандартных подмоделях. Минимальная подмодель не содержит стандартной подмодели (поскольку она минимальна), но (при условии согласованности ZFC) она содержит некоторую модель ZFC по теореме Гёделя о полноте . Эта модель обязательно не является хорошо обоснованной, иначе ее коллапс Мостовского был бы стандартной подмоделью. (Это не является хорошо обоснованным отношением во вселенной, хотя и удовлетворяет аксиоме основаниятак что "внутренне" хорошо обосновано. Быть хорошо обоснованным - не абсолютное свойство. ^[2] ) В частности, в минимальной подмодели есть модель ZFC, но нет стандартной подмодели ZFC.

Используйте [ редактировать ]

Обычно , когда кто -то говорит о внутренних моделях теории, теория одна обсуждают это ZFC или некоторое расширение ZFC (как ZFC +  с измеримым кардиналом ). Когда теория не упоминается, обычно предполагается, что обсуждаемая модель является внутренней моделью ZFC. Однако нередко можно также говорить о внутренних моделях подтеорий ZFC (таких как ZF или KP ).${\ Displaystyle \ существует}$

Связанные идеи [ править ]

Это было доказано Курта Гёделя , что любая модель ZF имеет наименьший внутренний модель ZF (который также является внутренняя модель ZFC +  GCH ), называется построимо вселенной , или  л .

Существует раздел теории множеств, называемый теорией внутренних моделей, который изучает способы построения наименее внутренних моделей теорий, расширяющих ZF. Теория внутренней модели привела к открытию точной силы согласованности многих важных теоретических свойств множеств.

См. Также [ править ]

• Счетные транзитивные модели и общие фильтры

Ссылки [ править ]