В теории моделей , интерпретация из структуры М в другой структуру N (обычно другой подпись ) представляет собой техническое понятие , что приближает идею представления M внутри N . Например , каждый редукт или определительное расширение структуры N имеет интерпретацию в N .
Многие теоретико-модельные свойства сохраняются при интерпретируемости. Например , если теория N является стабильной и М является интерпретируемым в N , то теория М также является стабильной.
Определение
Интерпретация из M в N с параметрами (или без параметров , соответственно) представляет собой паругде n - натуральное число иявляется сюръективным отображением подмножества N n на M такое, что-прообраз (точнее -прообраз) любого множества X ⊆ M k, определяемого в M формулой первого порядка без параметров, определимо (в N ) формулой первого порядка с параметрами (или без параметров, соответственно). Поскольку значение n для интерпретации часто ясно из контекста, карта само по себе также называется интерпретацией.
Чтобы убедиться, что прообраз каждого определяемого (без параметров) множества в M определим в N (с параметрами или без них), достаточно проверить прообразы следующих определимых множеств:
В теории моделей термин « определяемый» часто относится к определимости с параметрами; если используется это соглашение, определяемость без параметров выражается термином 0-определяемый . Точно так же интерпретация с параметрами может называться просто интерпретацией, а интерпретация без параметров - 0-интерпретацией .
Двусторонняя интерпретируемость
Если L, M и N - три структуры, L интерпретируется в M, а M интерпретируется в N, тогда можно естественным образом построить составную интерпретацию L в N. Если две структуры M и N интерпретируются друг в друге, то Комбинируя интерпретации двумя возможными способами, можно получить интерпретацию каждой из двух структур как таковой. Это наблюдение позволяет определить отношение эквивалентности между структурами, напоминающее гомотопическую эквивалентность топологических пространств.
Две структуры M и N являются биинтерпретируемыми, если существует интерпретация M в N и интерпретация N в M такая, что составные интерпретации M в себе и N в себе могут быть определены в M и в N , соответственно ( составные интерпретации рассматриваются как операции над M и над N ).
Пример
Частичное отображение f из Z × Z на Q, которое отображает ( x , y ) в x / y, если y ≠ 0, дает интерпретацию поля Q рациональных чисел в кольце Z целых чисел (точнее, интерпретация такова: 2, е )). Фактически, именно эта интерпретация часто используется для определения рациональных чисел. Чтобы увидеть, что это интерпретация (без параметров), нужно проверить следующие прообразы определимых множеств в Q :
- прообраз Q определяется формулой φ ( x , y ), задаваемой ¬ ( y = 0);
- прообраз диагонали Q определяется формулой φ ( x 1 , y 1 , x 2 , y 2 ), заданной как x 1 × y 2 = x 2 × y 1 ;
- прообразы 0 и 1 определяются формулами φ ( x , y ), задаваемыми x = 0 и x = y ;
- прообраз графика сложения определяется формулой φ ( x 1 , y 1 , x 2 , y 2 , x 3 , y 3 ), заданной как x 1 × y 2 × y 3 + x 2 × y 1 × y 3 = х 3 × y 1 × y 2 ;
- прообраз графика умножения определяется формулой φ ( x 1 , y 1 , x 2 , y 2 , x 3 , y 3 ), заданной как x 1 × x 2 × y 3 = x 3 × y 1 × y 2 .
Рекомендации
- Альбрандт, Гизела; Циглер, Martin (1986), "Квази конечно аксиоматизируемая Totally категорична теория", Annals чистых и прикладная логика , 30 : 63-82, DOI : 10.1016 / 0168-0072 (86) 90037-0[ мертвая ссылка ]
- Ходжес, Уилфрид (1997), Более короткая теория модели , Кембридж: Издательство Кембриджского университета , ISBN 978-0-521-58713-6 (Раздел 4.3)
- Poizat, Bruno (2000), курс теории моделей , Springer , ISBN 978-0-387-98655-5 (Раздел 9.4)