Реальный анализ

Первые четыре частичные суммы ряда Фурье для прямоугольной волны . Ряды Фурье - важный инструмент реального анализа.

В математике , реальный анализ является отраслью математического анализа , который изучает поведение действительных чисел , последовательности и ряды действительных чисел, и вещественные функции . ^[1] Некоторые особые свойства вещественнозначных последовательностей и функций, которые изучает реальный анализ, включают сходимость , пределы , непрерывность , гладкость , дифференцируемость и интегрируемость .

Настоящий анализ отличается от комплексного анализа , который занимается изучением комплексных чисел и их функций.

Сфера [ править ]

Эта статья может потребовать очистки, чтобы соответствовать стандартам качества Википедии . Конкретная проблема заключается в следующем: в этом разделе слишком подробно рассказывается о каждой концепции. Он должен просто представлять собой краткий обзор по отношению к области реального анализа. Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, если можете. ( Июнь 2019 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Построение действительных чисел [ править ]

Теоремы реального анализа тесно связаны со структурой вещественной числовой прямой. Система действительных чисел состоит из неисчислимого множества ( ) вместе с двумя бинарными операциями, обозначенными + и ⋅ , и порядком, обозначенным < . Операции превращают действительные числа в поле , а вместе с порядком - в упорядоченное поле . Система действительных чисел - это единственное полное упорядоченное поле в том смысле, что любое другое полное упорядоченное поле изоморфно${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$к нему. Интуитивно полнота означает, что в реальных числах нет «пробелов». В частности, это свойство отличает действительные числа от других упорядоченных полей (например, рациональных чисел ) и имеет решающее значение для доказательства нескольких ключевых свойств функций действительных чисел. Полноту вещественных чисел часто удобно выражать как свойство наименьшей верхней границы (см. Ниже).${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

Есть несколько способов формализовать определение действительных чисел . Современные подходы состоят из предоставления списка аксиом и доказательства существования для них модели , обладающей вышеуказанными свойствами. Более того, можно показать, что любые две модели изоморфны , что означает, что все модели имеют точно такие же свойства, и что можно забыть, как модель построена для использования действительных чисел.

Свойства порядка действительных чисел [ править ]

Действительные числа обладают различными теоретико-решеточными свойствами, которые отсутствуют в комплексных числах. Кроме того, действительные числа образуют упорядоченное поле , в котором суммы и произведения положительных чисел также положительны. Более того, порядок действительных чисел является полным , а действительные числа имеют свойство наименьшей верхней границы :

Каждое непустое подмножество , имеющее верхнюю границу, имеет наименьшую верхнюю границу, которая также является действительным числом.${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

Эти теоретико-порядковые свойства приводят к ряду фундаментальных результатов реального анализа, таких как теорема о монотонной сходимости, теорема о промежуточном значении и теорема о среднем значении .

Однако, хотя результаты реального анализа указаны для действительных чисел, многие из этих результатов могут быть обобщены на другие математические объекты. В частности, многие идеи в функциональном анализе и теории операторов обобщают свойства действительных чисел - такие обобщения включают теории пространств Рисса и положительных операторов . Кроме того , математики считают реальные и мнимые части комплексных последовательностей, или путем оценки точечно из операторных последовательностей.

Топологические свойства действительных чисел [ править ]

Многие из теорем реального анализа являются следствиями топологических свойств вещественной числовой прямой. Описанные выше свойства порядка действительных чисел тесно связаны с этими топологическими свойствами. Как топологическое пространство вещественные числа имеют стандартную топологию , которая является топологией порядка, индуцированной порядком . В качестве альтернативы, определяя функцию метрики или расстояния с помощью функции абсолютного значения as , действительные числа становятся прототипом метрического пространства . Топология, индуцированная метрикой, оказывается идентичной стандартной топологии, индуцированной порядком${\ displaystyle <}$ ${\ displaystyle d: \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} _ {\ geq 0}}$${\ Displaystyle д (х, у) = | ху |}$${\ displaystyle d}$${\ displaystyle <}$. Теоремы, подобные теореме о промежуточном значении , которые по существу являются топологическими по своей природе, часто могут быть доказаны в более общем контексте метрических или топологических пространств, а не только в. Часто такие доказательства имеют тенденцию быть короче или проще по сравнению с классическими доказательствами, использующими прямые методы.${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

Последовательности [ править ]

Последовательность является функцией которой домен является счетным , вполне упорядоченное множество. Домен обычно берется быть натуральными числами , ^[2] , хотя это иногда удобно рассматривать также двунаправленные последовательности проиндексированы множеством всех целых чисел, в том числе отрицательных индексов.

В реальном анализе, представляющем интерес, последовательность с действительными значениями , индексируемая здесь натуральными числами, представляет собой карту . Каждый называется термином (или, реже, элементом ) последовательности. Последовательность редко обозначается явно как функция; вместо этого, по соглашению, он почти всегда обозначается, как если бы это был упорядоченный ∞-кортеж, с отдельными терминами или общим термином, заключенным в круглые скобки:${\ displaystyle a: \ mathbb {N} \ to \ mathbb {R}, \ n \ mapsto a_ {n}}$${\ Displaystyle а (п) = а_ {п}}$

${\displaystyle (a_{n})=(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }=(a_{1},a_{2},a_{3},\cdots )}$. ^[3]

Последовательность, которая стремится к пределу (т. Е. Существует), называется сходящейся ; в противном случае он расходится . ( Смотрите раздел о пределах и сходимости для деталей. ) Вещественнозначная последовательность является ограниченной , если существует таких , что для всех . Вещественнозначная последовательность является монотонно возрастающей или уменьшением , если${\textstyle \lim _{n\to \infty }a_{n}}$${\displaystyle (a_{n})}$${\displaystyle M\in \mathbb {R} }$${\displaystyle |a_{n}|<M}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle (a_{n})}$

${\displaystyle a_{1}\leq a_{2}\leq a_{3}\leq \ldots }$ или же ${\displaystyle a_{1}\geq a_{2}\geq a_{3}\geq \ldots }$

выполняется соответственно. Если выполняется одно из двух, последовательность называется монотонной . Монотонность считается строгой, если цепные неравенства все еще выполняются с символом <или> или заменены на них.${\displaystyle \leq }$${\displaystyle \geq }$

Учитывая последовательность , другая последовательность представляет собой подпоследовательность из , если для всех положительных целых чисел и строго возрастающая последовательность натуральных чисел.${\displaystyle (a_{n})}$${\displaystyle (b_{k})}$${\displaystyle (a_{n})}$${\displaystyle b_{k}=a_{n_{k}}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle (n_{k})}$

Пределы и конвергенция [ править ]

Грубо говоря, предел - это значение, к которому функция или последовательность «приближается», когда вход или индекс приближается к некоторому значению. ^[4] (Это значение может включать символы при рассмотрении поведения функции или последовательности при неограниченном увеличении или уменьшении переменной.) Идея предела является фундаментальной для исчисления (и математического анализа в целом), и ее формальное определение используется, в свою очередь, для определения таких понятий, как непрерывность , производные и интегралы${\displaystyle \pm \infty }$. (Фактически, изучение предельного поведения использовалось как характеристика, которая отличает исчисление и математический анализ от других разделов математики.)

Понятие предела было неформально введено для функций Ньютоном и Лейбницем в конце 17 века для построения исчисления бесконечно малых . Для последовательностей концепция была введена Коши и уточнена в конце 19 века Больцано и Вейерштрассом , которые дали современное определение ε-δ , которое следует ниже.

Определение. Позвольте быть действительной функцией, определенной на . Мы говорим , что , как правило, в качестве подходов , или что предел в подходах является , если для любого существует такое , что для всех , подразумевает , что . Запишем это символически как${\displaystyle f}$${\displaystyle E\subset \mathbb {R} }$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle L}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle x\in E}$${\displaystyle 0<|x-x_{0}|<\delta }$${\displaystyle |f(x)-L|<\epsilon }$

${\displaystyle f(x)\to L\ \ {\text{as}}\ \ x\to x_{0}}$, или .${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=L}$

Наглядно это определение можно рассматривать следующим образом: Мы говорим , что , как , когда, учитывая любое положительное число , независимо от того , как маленький, мы всегда можем найти , так что мы можем гарантировать , что и в меньшей степени , чем друг от друга, до тех пор , а (в области ) является вещественным числом , которое меньше , чем от , но в отличие от . Цель последнего условия, которое соответствует условию в определении, состоит в том, чтобы убедиться, что оно ничего не подразумевает о ценности самого по себе. На самом деле, для того, чтобы существовать, даже не обязательно находиться в домене .${\displaystyle f(x)\to L}$${\displaystyle x\to x_{0}}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle L}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle 0<|x-x_{0}|}$${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=L}$${\displaystyle f(x_{0})}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)}$

В немного другом, но связанном контексте концепция предела применяется к поведению последовательности, когда она становится большой.${\displaystyle (a_{n})}$${\displaystyle n}$

Определение. Позвольте быть действительной последовательности. Мы говорим, что сходится к, если для любого существует такое натуральное число , из которого следует это . Запишем это символически как${\displaystyle (a_{n})}$${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle a}$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle N}$${\displaystyle n\geq N}$${\displaystyle |a-a_{n}|<\epsilon }$

${\displaystyle a_{n}\to a\ \ {\text{as}}\ \ n\to \infty }$, или ;${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=a}$

если не удается сходиться, мы говорим, что расходится .${\displaystyle (a_{n})}$${\displaystyle (a_{n})}$

Обобщая на действительную функцию действительной переменной, небольшая модификация этого определения (замена последовательности и члена функцией, значением и натуральными числами и действительными числами и , соответственно) дает определение предела as неограниченно возрастает. , отмечен . Реверсивное неравенство к дает соответствующее определение предела , как уменьшается неограниченно , .${\displaystyle (a_{n})}$${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle N}$${\displaystyle n}$${\displaystyle M}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)}$${\displaystyle x\geq M}$${\displaystyle x\leq M}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }f(x)}$

Иногда полезно сделать вывод, что последовательность сходится, даже если значение, к которому она сходится, неизвестно или не имеет значения. В этих случаях полезна концепция последовательности Коши.

Определение. Позвольте быть действительной последовательности. Мы говорим, что это последовательность Коши, если для любого существует такое натуральное число , из которого следует это .${\displaystyle (a_{n})}$${\displaystyle (a_{n})}$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle N}$${\displaystyle m,n\geq N}$${\displaystyle |a_{m}-a_{n}|<\epsilon }$

Можно показать, что последовательность с действительными значениями является Коши тогда и только тогда, когда она сходится. Это свойство действительных чисел выражается в том, что действительные числа, наделенные стандартной метрикой , представляют собой полное метрическое пространство . Однако в общем метрическом пространстве последовательность Коши может не сходиться.${\displaystyle (\mathbb {R} ,|\cdot |)}$

Кроме того, для монотонных последовательностей с действительными значениями можно показать, что последовательность ограничена тогда и только тогда, когда она сходится.

Равномерная и поточечная сходимость последовательностей функций [ править ]

Помимо последовательностей чисел, можно также говорить о последовательностях функций на , т. Е. О бесконечных, упорядоченных семействах обозначенных функций , и их свойствах сходимости. Однако в случае последовательностей функций необходимо различать два вида сходимости, известные как поточечная сходимость и равномерная сходимость .${\displaystyle E\subset \mathbb {R} }$${\displaystyle f_{n}:E\to \mathbb {R} }$${\displaystyle (f_{n})_{n=1}^{\infty }}$

Грубо говоря, поточечная сходимость функций к предельной функции , обозначенная , просто означает, что при любом , as . Напротив, равномерная сходимость является более сильным типом сходимости в том смысле, что равномерно сходящаяся последовательность функций также сходится поточечно, но не наоборот. Равномерная сходимость требует членов семейства функций, , чтобы попасть в какой - либо ошибки в течение каждого значения , когда для некоторого целого числа . Чтобы семейство функций равномерно сходилось, иногда обозначаемое , такое значение должно существовать для любого${\displaystyle f_{n}}$${\displaystyle f:E\to \mathbb {R} }$${\displaystyle f_{n}\rightarrow f}$${\displaystyle x\in E}$${\displaystyle f_{n}(x)\to f(x)}$${\displaystyle n\to \infty }$${\displaystyle f_{n}}$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x\in E}$${\displaystyle n\geq N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle f_{n}\rightrightarrows f}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \epsilon >0}$дано, каким бы маленьким оно ни было. Интуитивно мы можем визуализировать эту ситуацию, представив, что для достаточно больших функций все функции заключены в «трубу» шириной примерно (то есть между и ) для каждого значения в своей области .${\displaystyle N}$${\displaystyle f_{N},f_{N+1},f_{N+2},\ldots }$${\displaystyle 2\epsilon }$${\displaystyle f}$${\displaystyle f-\epsilon }$${\displaystyle f+\epsilon }$ ${\displaystyle E}$

Различие между поточечной и равномерной сходимостью важно, когда желательно изменить порядок двух ограничивающих операций (например, взятие предела, производной или интеграла): для того, чтобы обмен был правильным, многие теоремы реального анализа требуют для равномерного схождения. Например, последовательность непрерывных функций (см. Ниже ) гарантированно сходится к непрерывной предельной функции, если сходимость является равномерной, в то время как предельная функция может не быть непрерывной, если сходимость только поточечная. Карлу Вейерштрассу обычно приписывают четкое определение концепции однородной конвергенции и полное исследование ее последствий.

Компактность [ править ]

Компактность - это концепция из общей топологии, которая играет важную роль во многих теоремах реального анализа. Свойство компактности является обобщением понятия замкнутости и ограниченности множества . (В контексте реального анализа эти понятия эквивалентны: множество в евклидовом пространстве компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено.) Вкратце, замкнутое множество содержит все свои граничные точки , а множество ограничено, если есть существует такое действительное число, что расстояние между любыми двумя точками набора меньше этого числа. В , множества, которые являются замкнутыми и ограниченными и, следовательно, компактными, включают пустое множество, любое конечное число точек,${\displaystyle \mathbb {R} }$замкнутые интервалы и их конечные объединения. Однако этот список не является исчерпывающим; например, набор представляет собой компакт; множество тройной Кантор является еще одним примером компактного множества. С другой стороны, множество не компактно, потому что оно ограничено, но не замкнуто, поскольку граничная точка 0 не является членом множества. Множество также не компактно, потому что оно замкнуто, но не ограничено.${\displaystyle \{1/n:n\in \mathbb {N} \}\cup \{0}\}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subset [0,1]}$${\displaystyle \{1/n:n\in \mathbb {N} \}}$${\displaystyle [0,\infty )}$

Для подмножеств действительных чисел существует несколько эквивалентных определений компактности.

Определение. Множество компактно, если оно замкнуто и ограничено.${\displaystyle E\subset \mathbb {R} }$

Это определение также верно для евклидова пространства любой конечной размерности , но не верно для метрических пространств в целом. Эквивалентность определения с определением компактности на основе подпокрытий, приведенным далее в этом разделе, известна как теорема Гейне-Бореля .${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Более общее определение, которое применяется ко всем метрическим пространствам, использует понятие подпоследовательности (см. Выше).

Определение. Множество в метрическом пространстве компактно, если каждая последовательность в имеет сходящуюся подпоследовательность.${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$

Это конкретное свойство известно как подпоследовательная компактность . В , множество субпоследовательно компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено, что делает это определение эквивалентным приведенному выше. Субсеквенциальная компактность эквивалентна определению компактности на основе подпокрытий для метрических пространств, но не для топологических пространств в целом.${\displaystyle \mathbb {R} }$

Наиболее общее определение компактности основано на понятии открытых покрытий и подпокрытий , которое применимо к топологическим пространствам (и, следовательно, к метрическим пространствам и как частным случаям). Вкратце, набор открытых множеств называется открытым покрытием множества, если объединение этих множеств является надмножеством . Говорят, что это открытое покрытие имеет конечное подпокрытие, если может быть найдена конечная подгруппа покрытия, которая также покрывает .${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle U_{\alpha }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U_{\alpha }}$${\displaystyle X}$

Определение. Множество в топологическом пространстве компактно, если каждое открытое покрытие имеет конечное подпокрытие.${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

Компактные наборы хорошо себя ведут в отношении таких свойств, как сходимость и непрерывность. Например, любая последовательность Коши в компактном метрическом пространстве сходится. В качестве другого примера, образ компактного метрического пространства при непрерывном отображении также компактен.

Непрерывность [ править ]

Функции из множества действительных чисел на действительные числа могут быть представлены в виде графика в декартовой плоскости ; такая функция является непрерывной, если, грубо говоря, график представляет собой единую непрерывную кривую без «дырок» или «скачков».

Есть несколько способов сделать эту интуицию математически точной. Можно дать несколько определений разной степени общности. В случаях, когда применимы два или более определения, легко показать, что они эквивалентны друг другу, поэтому можно использовать наиболее удобное определение, чтобы определить, является ли данная функция непрерывной или нет. В первом определении, приведенном ниже, - это функция, определенная на невырожденном интервале множества действительных чисел как ее область определения. Некоторые возможности включают в себя весь набор действительных чисел, открытый интервал или закрытый интервал Здесь и являются различными действительными числами, и мы исключаем случай${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$${\displaystyle I}$${\displaystyle I=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle I=(a,b)=\{x\in \mathbb {R} \,|\,a<x<b\},}$ ${\displaystyle I=[a,b]=\{x\in \mathbb {R} \,|\,a\leq x\leq b\}.}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle I}$ в частности, быть пустым или состоящим только из одной точки.

Определение. Если - невырожденный интервал, мы говорим, что он непрерывен в если . Мы говорим, что это непрерывное отображение, если оно непрерывно на каждом .${\displaystyle I\subset \mathbb {R} }$${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p\in I}$${\displaystyle \lim _{x\to p}f(x)=f(p)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle p\in I}$

В отличие от требований иметь предел в точке , которые не ограничивают поведение в самой себе, следующие два условия, помимо существования , также должны выполняться для того, чтобы быть непрерывным в точке : (i) должно быть определено в , т. е. находится в домене ; и (ii) как . Выше определение на самом деле относится к любому домену , который не содержит в изолированной точке , или , что эквивалентно, где каждый является предельной точкой из . Более общее определение, применимое к общей области${\displaystyle f}$${\displaystyle p}$${\displaystyle f}$${\displaystyle p}$${\textstyle \lim _{x\to p}f(x)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)\to f(p)}$${\displaystyle x\to p}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle p\in E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle X\subset \mathbb {R} }$ следующее:

Определение. Если - произвольное подмножество , мы говорим, что оно непрерывно в, если для любого существует такое, что для всех , влечет это . Мы говорим, что это непрерывное отображение, если оно непрерывно на каждом .${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p\in X}$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle |x-p|<\delta }$${\displaystyle |f(x)-f(p)|<\epsilon }$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle p\in X}$

Следствием этого определения является то , что это тривиально непрерывна в любой изолированной точке . Такое несколько неинтуитивное рассмотрение изолированных точек необходимо для обеспечения того, чтобы наше определение непрерывности для функций на вещественной прямой согласовывалось с наиболее общим определением непрерывности для отображений между топологическими пространствами (которое включает метрические пространства и, в частности, как частные случаи). Это определение, выходящее за рамки нашего обсуждения реального анализа, приводится ниже для полноты картины.${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p\in X}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

Определение. Если и топологические пространства, мы говорим , что есть непрерывная на если это соседство из в для каждой окрестности из в . Мы говорим, что это непрерывная карта, если она открыта для каждого открытого в .${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle p\in X}$${\displaystyle f^{-1}(V)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$${\displaystyle V}$${\displaystyle f(p)}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f^{-1}(U)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U}$${\displaystyle Y}$

(Здесь, относится к прообразу из Under .)${\displaystyle f^{-1}(S)}$${\displaystyle S\subset Y}$${\displaystyle f}$

Единая преемственность [ править ]

Определение. Если это подмножество действительных чисел , мы говорим, что функция является равномерно непрерывной на , если для любого существует такое , что для всех , подразумевает , что .${\displaystyle X}$${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle x,y\in X}$${\displaystyle |x-y|<\delta }$${\displaystyle |f(x)-f(y)|<\epsilon }$

Явно, когда функция является равномерно непрерывной на , выбор, необходимый для выполнения определения, должен работать для всех для данного . Напротив, когда функция является непрерывной в каждой точке (или считается непрерывной в ), выбор может зависеть как от, так и от . В отличие от простой непрерывности, равномерная непрерывность - это свойство функции, имеющее смысл только в определенной области; говорить о равномерной непрерывности в одной точке бессмысленно.${\displaystyle X}$${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle p\in X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$

На компакте легко показать, что все непрерывные функции равномерно непрерывны. Если - ограниченное некомпактное подмножество , то существует непрерывное, но не равномерно непрерывное. В качестве простого примера рассмотрим определение с помощью . Выбирая точки, близкие к 0, мы всегда можем сделать любой выбор для данного .${\displaystyle E}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle f:E\to \mathbb {R} }$${\displaystyle f:(0,1)\to \mathbb {R} }$${\displaystyle f(x)=1/x}$${\displaystyle |f(x)-f(y)|>\epsilon }$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle \epsilon >0}$

Абсолютная преемственность [ править ]

Определение. Позвольте быть интервал на реальной линии . Функция называется абсолютно непрерывна на , если для каждого положительного числа , существует положительное число такое , что всякий раз , когда конечная последовательность попарно непересекающихся подынтервалов из удовлетворяет ^[5]${\displaystyle I\subset \mathbb {R} }$${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle I}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),\ldots ,(x_{n},y_{n})}$${\displaystyle I}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}(y_{k}-x_{k})<\delta }$

тогда

${\displaystyle \displaystyle \sum _{k=1}^{n}|f(y_{k})-f(x_{k})|<\epsilon .}$

Абсолютно непрерывные функции непрерывны: рассмотрим случай n = 1 в этом определении. Совокупность всех абсолютно непрерывных функций на I обозначается AC ( I ). Абсолютная непрерывность - это фундаментальное понятие в теории интегрирования Лебега, позволяющее сформулировать обобщенную версию фундаментальной теоремы исчисления, которая применяется к интегралу Лебега.

Дифференциация [ править ]

Понятие производной функции или дифференцируемости происходит от концепции приближения функции вблизи заданной точки с использованием «наилучшего» линейного приближения. Это приближение, если оно существует, является уникальным и задается линией, касательной к функции в данной точке , а наклон линии является производной функции в точке .${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$

Функция является дифференцируемой в случае , если предел${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle a}$

${\displaystyle f'(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}$

существуют. Этот предел известен как производная от at${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$ , а функция , возможно определенная только на подмножестве , является производной (или производной функцией ) от . Если производная существует всюду, функция называется дифференцируемой .${\displaystyle f'}$${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$

Как простое следствие определения, непрерывна в точке, если она там дифференцируема. Таким образом, дифференцируемость является более сильным условием регулярности (условием, описывающим «гладкость» функции), чем непрерывность, и функция может быть непрерывной на всей действительной прямой, но не дифференцируемой нигде (см . Нигде не дифференцируемую непрерывную функцию Вейерштрасса ). Можно также обсудить существование производных более высокого порядка, найдя производную функции производной и т. Д.${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$

Классифицировать функции можно по классу дифференцируемости . Класс (иногда для обозначения интервала применимости) состоит из всех непрерывных функций. Класс состоит из всех дифференцируемых функций , производная которых непрерывна; такие функции называются непрерывно дифференцируемыми . Таким образом, функция - это в точности функция, производная которой существует и является классной . В общем, классы могут быть определены рекурсивно , объявив их набором всех непрерывных функций и объявив для любого положительного целого числа набором всех дифференцируемых функций, производная которых находится в${\displaystyle C^{0}}$${\displaystyle C^{0}([a,b])}$${\displaystyle C^{1}}$${\displaystyle C^{1}}$${\displaystyle C^{0}}$${\displaystyle C^{k}}$${\displaystyle C^{0}}$${\displaystyle C^{k}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle C^{k-1}}$. В частности, содержится в для каждого , и есть примеры, показывающие, что это ограничение является строгим. Класс - это пересечение множеств, поскольку оно варьируется для неотрицательных целых чисел, и члены этого класса известны как гладкие функции . Класс состоит из всех аналитических функций и строго содержится в (см. Функцию удара для гладкой функции, которая не является аналитической).${\displaystyle C^{k}}$${\displaystyle C^{k-1}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle C^{\infty }}$${\displaystyle C^{k}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle C^{\omega }}$${\displaystyle C^{\infty }}$

Серия [ править ]

Ряд формализует неточное представление о суммировании бесконечной последовательности чисел. Идея о том, что суммирование «бесконечного» числа членов может привести к конечному результату, была нелогичной для древних греков и привела к формулировке ряда парадоксов Зеноном и другими философами. Современное понятие присвоения значения ряду избегает иметь дело с неточно определенным понятием добавления «бесконечного» числа терминов. Вместо этого рассматривается конечная сумма первых членов последовательности, известная как частичная сумма, и понятие предела применяется к последовательности частичных сумм, которая неограниченно растет. Серии присваивается значение этого лимита, если он существует.${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

Учитывая (бесконечную) последовательность , мы можем определить связанный ряд как формальный математический объект , иногда просто записываемый как . В частичных суммах из серии являются числом . Ряд называется сходящимся, если последовательность, состоящая из его частичных сумм, сходится; в противном случае он расходится . Сумма сходящегося ряда определяется как число .${\displaystyle (a_{n})}$${\textstyle a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$${\textstyle \sum a_{n}}$${\textstyle \sum a_{n}}$${\textstyle s_{n}=\sum _{j=1}^{n}a_{j}}$${\textstyle \sum a_{n}}$${\displaystyle (s_{n})}$${\textstyle s=\lim _{n\to \infty }s_{n}}$

Слово «сумма» используется здесь в метафорическом смысле как сокращение для определения предела последовательности частичных сумм и не должно интерпретироваться как простое «добавление» бесконечного числа терминов. Например, в отличие от поведения конечных сумм, перестановка членов бесконечного ряда может привести к сходимости к другому числу (см. Статью о теореме Римана о перестановке для дальнейшего обсуждения).

Пример сходящегося ряда - геометрический ряд, лежащий в основе одного из известных парадоксов Зенона :

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots =1}$.

Напротив, гармонический ряд был известен со времен средневековья как расходящийся ряд:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots =\infty }$.

(Здесь " " - это просто условное обозначение, указывающее, что частичные суммы ряда неограниченно растут.)${\displaystyle =\infty }$

Серия называется абсолютно сходится , если сходится. Ряд сходится , для которых расходится называется сходятся неабсолютно . ^[6] Легко показать, что из абсолютной сходимости ряда следует его сходимость. С другой стороны, пример ряда, который сходится неабсолютно:${\textstyle \sum a_{n}}$${\textstyle \sum |a_{n}|}$${\textstyle \sum a_{n}}$${\textstyle \sum |a_{n}|}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\cdots =\log 2}$.

Серия Тейлор [ править ]

Ряд Тейлора действительной или комплекснозначной функции ƒ ( x ), бесконечно дифференцируемой в действительном или комплексном числе a, является степенным рядом

${\displaystyle f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f^{(3)}(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots .}$

который может быть записан в более компактной сигма-нотации как

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}\,(x-a)^{n}}$

где п ! обозначает факториал от п и ƒ  ^{( п )} ( ) обозначает п - й производную от ƒ оцениваемого в точке а . Производная нулевого порядка ƒ определяется как ƒ себя и ( х - ) ⁰ и 0! оба определены как 1. В случае, когда a = 0 , ряд также называется рядом Маклорена.

Ряд Тейлора f относительно точки a может расходиться, сходиться только в точке a , сходиться для всех x таких, что (наибольший такой R, для которого сходимость гарантирована, называется радиусом сходимости ), или сходиться на всей действительной прямой. Даже сходящийся ряд Тейлора может сходиться к значению, отличному от значения функции в этой точке. Если ряд Тейлора в точке имеет ненулевой радиус сходимости и суммируется с функцией в круге сходимости , то функция аналитическая${\displaystyle |x-a|<R}$. Аналитические функции обладают многими фундаментальными свойствами. В частности, аналитическая функция действительной переменной естественным образом продолжается до функции комплексной переменной. Таким образом, экспоненциальная функция , логарифм , тригонометрические функции и обратные им функции расширяются до функций комплексной переменной.

Ряд Фурье [ править ]

Ряд Фурье разлагает периодические функции или периодические сигналы на сумму (возможно, бесконечного) набора простых осциллирующих функций, а именно синусов и косинусов (или комплексных экспонент ). Изучение рядов Фурье обычно происходит в рамках раздела математика > математический анализ > анализ Фурье .

Интеграция [ править ]

Интегрирование - это формализация проблемы определения площади, ограниченной кривой, и связанных с ней проблем определения длины кривой или объема, заключенного в поверхность. Основная стратегия решения проблем этого типа была известна древним грекам и китайцам и была известна как метод истощения . Вообще говоря, желаемая площадь ограничена сверху и снизу, соответственно, путем более точного описания и вписывания многоугольных приближений, точные площади которых могут быть вычислены. Рассматривая приближения, состоящие из все большего и большего («бесконечного») числа меньших и меньших («бесконечно малых») частей, можно вывести площадь, ограниченную кривой, поскольку верхняя и нижняя границы, определяемые приближениями, сходятся вокруг общего ценить.

Дух этой базовой стратегии можно легко увидеть в определении интеграла Римана, в котором интеграл считается существующим, если верхняя и нижняя суммы Римана (или Дарбу) сходятся к общему значению в виде более тонких и более тонких прямоугольных срезов («уточнения ") считаются. Хотя механизм, используемый для его определения, намного более сложен по сравнению с интегралом Римана, интеграл Лебега был определен с учетом аналогичных основных идей. По сравнению с интегралом Римана более сложный интеграл Лебега позволяет определять и вычислять площадь (или длину, объем и т. Д .; в общем, называемую «мерой») для гораздо более сложных и нерегулярных подмножеств евклидова пространства, хотя все еще существуют «неизмеримые» подмножества, для которых нельзя назначить площадь.

Интеграция Римана [ править ]

Интеграл Римана определяется в терминах суммы функций Римана относительно помеченных разбиений интервала. Позвольте быть отрезком реальной линии; затем меченый разбиение на это конечная последовательность${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle {\cal {P}}}$${\displaystyle [a,b]}$

${\displaystyle a=x_{0}\leq t_{1}\leq x_{1}\leq t_{2}\leq x_{2}\leq \cdots \leq x_{n-1}\leq t_{n}\leq x_{n}=b.\,\!}$

Это разбивает интервал на подинтервалы, проиндексированные , каждый из которых «помечен» выделенной точкой . Для функции ограничена на , определим сумму Римана по отношению к помеченным раздела как${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle n}$${\displaystyle [x_{i-1},x_{i}]}$${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$${\displaystyle t_{i}\in [x_{i-1},x_{i}]}$${\displaystyle f}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle f}$${\displaystyle {\cal {P}}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\Delta _{i},}$

где - ширина подынтервала . Таким образом, каждый член суммы представляет собой площадь прямоугольника, высота которого равна значению функции в выделенной точке данного подинтервала, а ширина равна ширине подинтервала. Сетка такого помечено перегородка ширина наибольшего к югу от интервала , образованного перегородкой, . Мы говорим, что интеграл Римана от on равен, если для любого существует такое, что для любого помеченного разбиения с сеткой мы имеем${\displaystyle \Delta _{i}=x_{i}-x_{i-1}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle ||\Delta _{i}||=\max _{i=1,\ldots ,n}\Delta _{i}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle {\cal {P}}}$${\displaystyle ||\Delta _{i}||<\delta }$

${\displaystyle \left|S-\sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\Delta _{i}\right|<\epsilon .}$

Иногда это обозначается . Когда выбранные теги дают максимальное (соответственно минимальное) значение каждого интервала, сумма Римана известна как верхняя (соответственно нижняя) сумма Дарбу . Функция является интегрируемой по Дарбу, если верхняя и нижняя суммы Дарбу${\displaystyle {\mathcal {R}}\int _{a}^{b}f=S}$могут быть расположены произвольно близко друг к другу для достаточно маленькой сетки. Хотя это определение придает интегралу Дарбу видимость частного случая интеграла Римана, на самом деле они эквивалентны в том смысле, что функция интегрируема по Дарбу тогда и только тогда, когда она интегрируема по Риману, а значения интегралы равны. Фактически, учебники по исчислению и анализу часто объединяют эти два понятия, вводя определение интеграла Дарбу как интеграла Римана из-за того, что определение первого немного проще в применении.

Фундаментальная теорема исчисления утверждает , что интегрирование и дифференцирование обратные операции в определенном смысле.

Интеграция и измерение Лебега [ править ]

Интегрирование Лебега - это математическая конструкция, расширяющая интеграл до более широкого класса функций; он также расширяет области, в которых могут быть определены эти функции. Концепция меры , абстракции длины, площади или объема, занимает центральное место в теории интегральной вероятности Лебега .

Распределения [ править ]

Распределения (или обобщенные функции ) - это объекты, которые обобщают функции . Распределения позволяют дифференцировать функции, производные которых не существуют в классическом смысле. В частности, любая локально интегрируемая функция имеет производную по распределению.

Отношение к комплексному анализу [ править ]

Реальный анализ - это область анализа, которая изучает такие концепции, как последовательности и их пределы, непрерывность, дифференциацию , интеграцию и последовательности функций. По определению, реальный анализ фокусируется на действительных числах , часто включая положительную и отрицательную бесконечность, чтобы сформировать расширенную действительную линию . Реальный анализ тесно связан с комплексным анализом , который изучает в целом те же свойства комплексных чисел . В комплексном анализе естественно определять дифференцирование через голоморфные функции, которые обладают рядом полезных свойств, таких как повторяющаяся дифференцируемость, выразимость в виде степенных рядов и удовлетворение интегральной формуле Коши .

В реальном анализе обычно более естественно рассматривать дифференцируемые , гладкие или гармонические функции , которые более широко применимы, но могут не иметь некоторых более мощных свойств голоморфных функций. Однако такие результаты, как основная теорема алгебры , проще, когда они выражаются в терминах комплексных чисел.

Методы теории аналитических функций комплексной переменной часто используются в реальном анализе, например, вычисление вещественных интегралов с помощью исчисления вычетов .

Важные результаты [ править ]

Важные результаты включают Bolzano-Вейерштрасса и теоремы Гейне-Бореля , то теорема промежуточное значение и среднее значение теорема , теорема Тейлора , то фундаментальная теорема исчисления , то теорема Арцела , то теорема Стоуна-Вейерштрасса , лемму Фату и монотонной сходимости и теоремы о доминирующей сходимости .

Обобщения и смежные области математики [ править ]

Различные идеи из реального анализа могут быть обобщены от реальной линии к более широким или более абстрактным контекстам. Эти обобщения связывают реальный анализ с другими дисциплинами и субдисциплинами. Например, обобщение таких идей, как непрерывные функции и компактность, от реального анализа до метрических пространств и топологических пространств, соединяет реальный анализ с областью общей топологии , в то время как обобщение конечномерных евклидовых пространств до бесконечномерных аналогов привело к концепциям банаховых пространств. и гильбертовы пространства и, в более общем плане, к функциональному анализу . Георг КанторИсследование множеств и последовательности действительных чисел, отображений между ними и фундаментальных проблем реального анализа породило наивную теорию множеств . Изучение вопросов сходимости для последовательностей функций в конечном итоге привело к анализу Фурье как разделу математического анализа. Исследование последствий обобщающей дифференцируемости функций действительного переменного на функции комплексного переменного привело к появлению концепции голоморфных функций и возникновению комплексного анализа.как еще одна отдельная дисциплина анализа. С другой стороны, обобщение интегрирования от римановского к пониманию Лебега привело к формулировке концепции абстрактных пространств с мерой , фундаментальной концепции теории меры . Наконец, обобщение интегрирования от вещественной прямой до кривых и поверхностей в многомерном пространстве привело к изучению векторного исчисления , дальнейшее обобщение и формализация которого сыграли важную роль в эволюции понятий дифференциальных форм и гладких (дифференцируемых) многообразий. в дифференциальной геометрии и других тесно связанных областях геометрии итопология .

См. Также [ править ]

• Список реальных тем анализа
• Исчисление шкалы времени - объединение реального анализа с исчислением конечных разностей
• Реальная функция многих переменных
• Реальное координатное пространство
• Комплексный анализ

Ссылки [ править ]

Библиография [ править ]

• Эбботт, Стивен (2001). Понимание анализа . Тексты для бакалавриата по математике. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-95060-5.
• Алипрантис, Хараламбос Д .; Буркиншоу, Оуэн (1998). Принципы реального анализа (3-е изд.). Академический. ISBN 0-12-050257-7.
• Бартл, Роберт Г .; Шерберт, Дональд Р. (2011). Введение в реальный анализ (4-е изд.). Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-0-471-43331-6.
• Брессуд, Дэвид (2007). Радикальный подход к реальному анализу . MAA. ISBN 978-0-88385-747-2.
• Браудер, Эндрю (1996). Математический анализ: введение . Тексты для бакалавриата по математике . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94614-4.
• Карозерс, Нил Л. (2000). Реальный анализ . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0521497565.
• Данджелло, Франк; Сейфрид, Майкл (1999). Вводный реальный анализ . Брукс Коул. ISBN 978-0-395-95933-6.
• Колмогоров, АН ; Фомин, С.В. (1975). Вводный реальный анализ . Перевод Ричарда А. Сильвермана. Dover Publications. ISBN 0486612260. Проверено 2 апреля 2013 года .
• Рудин, Вальтер (1976). Принципы математического анализа . Вальтер Рудин Студенческая серия по высшей математике (3-е изд.). Нью-Йорк: Макгроу – Хилл. ISBN 978-0-07-054235-8.
• Рудин, Вальтер (1987). Реальный и комплексный анализ (3-е изд.). Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. ISBN 978-0-07-054234-1.
• Спивак, Майкл (1994). Исчисление (3-е изд.). Хьюстон , Техас: ISBN Publish or Perish, Inc. 091409890X.

Внешние ссылки [ править ]

• Как мы попали отсюда сюда: рассказ о реальном анализе Роберта Роджерса и Юджина Бомана
• Дональд Яу: первый курс анализа
• Анализ веб-заметок Джона Линдси Орра
• Интерактивный реальный анализ , Берт Г. Ваксмут
• Первый курс анализа Джона О'Коннора
• Математический анализ I Элиаса Закона
• Математический анализ II Элиаса Закона
• Тренч, Уильям Ф. (2003). Введение в реальный анализ (PDF) . Прентис Холл . ISBN 978-0-13-045786-8.
• Самые ранние известные способы использования некоторых слов математики: исчисление и анализ
• Базовый анализ: Введение в реальный анализ Иржи Лебля
• «Темы реального и функционального анализа » Джеральда Тешля , Венский университет.