В теории множеств , Ω-логика является инфинитарной логика и дедуктивная система , предложенная У. Хью Woodin ( 1999 ) в рамках попытки обобщить теорию детерминированности в pointclasses для покрытия структуры . Так же, как аксиома проективной детерминированности дает каноническую теорию, он стремился найти аксиомы, которые дали бы каноническую теорию для большей структуры. Разработанная им теория включает спорный аргумент о том, что гипотеза континуума ложна.
Анализ
Ω-гипотеза Вудена утверждает, что если существует собственный класс кардиналов Вудена (по техническим причинам большинство результатов в теории легче всего сформулировать при этом предположении), то Ω-логика удовлетворяет аналогу теоремы о полноте . Из этой гипотезы можно показать, что если существует какая-либо единственная аксиома, всеобъемлющая над (в Ω-логике), это должно означать, что континуум не . Вудин также выделил конкретную аксиому, вариацию максимума Мартина , которая утверждает, что любая Ω-согласованная (над ) предложение верно; из этой аксиомы следует, что континуум.
Вудин также связал свою Ω-гипотезу с предложенным абстрактным определением больших кардиналов: он принял «большое кардинальное свойство» за имущество ординалов, из которого следует, что α - сильная недоступность , и которая инвариантна при форсировании множеством кардиналов меньше α. Тогда из Ω-гипотезы следует, что если существуют сколь угодно большие модели, содержащие большой кардинал, этот факт будет доказуем в Ω-логике.
Теория включает определение Ω-валидности : утверждение является Ω-валидным следствием теории множеств T, если оно выполняется в каждой модели T, имеющей вид для некоторых порядковых и какое-то принуждение . Это понятие явно сохраняется при принуждении, и при наличии соответствующего класса кардиналов Вудена оно также будет инвариантным при принуждении (другими словами, Ω-выполнимость сохраняется и при принуждении). Есть еще понятие Ω-доказуемости ; [1] здесь «доказательства» состоят из универсальных множеств Бэра и проверяются путем проверки того, что для каждой счетной транзитивной модели теории и каждого вынуждающего понятия в модели общее расширение модели (вычисленное в V ) содержит «доказательство», ограниченное собственными реалами. Для набора доказательств A условие, которое здесь проверяется, называется « A -замкнутым». Меру сложности можно дать доказательствам по их рангам в иерархии Вэджа . Вудин показал, что это понятие «доказуемость» подразумевает Ω-валидность для предложений, которыенад V . Ω-гипотеза утверждает, что верно и обратное к этому результату. Во всех известных в настоящее время основных моделях известно, что это правда; кроме того, сила согласованности больших кардиналов соответствует наименьшему рангу доказательства, необходимому для «доказательства» существования кардиналов.
Заметки
- ^ Бхатия, Раджендра, изд. (2010), Труды Международного конгресса математиков: Хайдарабад, 2010 , 1 , World Scientific, стр. 519
Рекомендации
- Багария, Жанна; Кастельс, Нойс; Ларсон, Пол (2006), «Учебник по Ω-логике», теория множеств (PDF) , Trends Math., Базель, Бостон, Берлин: Birkhäuser, стр. 1-28, doi : 10.1007 / 3-7643-7692-9_1 , ISBN 978-3-7643-7691-8, Руководство по ремонту 2267144
- Келлнер, Питер (2013), «Гипотеза континуума» , Стэнфордская энциклопедия философии, Эдвард Н. Залта (ред.)
- Вудин, У. Хью (1999), Аксиома детерминации, принуждение к аксиомам и нестационарный идеал , Вальтер де Грюйтер, DOI : 10.1515 / 9783110804737 , ISBN 3-11-015708-X, Руководство по ремонту 1713438
- Вудин, У. Хью (2001), «Гипотеза континуума. I» (PDF) , Уведомления Американского математического общества , 48 (6): 567–576, ISSN 0002-9920 , MR 1834351
- Вудин, У. Хью (2001b), «Гипотеза континуума, часть II» (PDF) , Уведомления AMS , 48 (7): 681–690
- Вудин, У. Хью (2005), «Гипотеза континуума», в Кори, Рене; Разборов Александр ; Тодорчевич, Стево ; и другие. (ред.), Logic Colloquium 2000 , Lect. Журнал заметок, 19 , Урбана, Иллинойс: доц. Символ. Логика, стр. 143–197, MR 2143878
Внешние ссылки
- WH Woodin, Слайды на 3 выступления