Основная модель

В теории множеств , то базовая модель является Определяемой внутренней моделью из вселенной всех множеств . Хотя теоретики множеств ссылаются на «базовую модель», это не однозначно идентифицированный математический объект. Скорее, это класс внутренних моделей, которые при правильных теоретико-множественных предположениях обладают очень специальными свойствами, в первую очередь покрывающими свойствами . Интуитивно основная модель - это «самая большая каноническая внутренняя модель из всех существующих» (Эрнест Шиммерлинг и Джон Р. Стил ), которая обычно ассоциируется с большим кардиналом.понятие. Если Φ является большим кардинальным понятием, то фраза «основная модель ниже Φ» относится к определяемой внутренней модели, которая проявляет особые свойства в предположении, что не существует кардинала, удовлетворяющего Φ. Программа базовой модели стремится анализировать большие кардинальные аксиомы, определяя базовые модели под ними.

История [ править ]

Первая модель ядра была Курт Гедель «ы построимо вселенной л . Рональд Дженсен доказал лемму о покрытии для L в 1970-х в предположении отсутствия точного нуля , установив, что L является «базовой моделью с точным ниже нуля». Работа Соловея выделила еще одну базовую модель L [ U ], для U - ультрафильтр на измеримом кардинале (и связанный с ним «острый» нулевой кинжал ). Вместе с Тони Доддом Дженсен построил базовую модель Додда – Дженсена.(«основная модель ниже измеримого кардинала») и доказал лемму о покрытии для нее и обобщенную лемму о покрытии для L [ U ].

Митчелл использовал согласованные последовательности мер для разработки основных моделей, содержащих множество измеримых величин или более высокого порядка. Еще позже в модели стального ядра использовались расширители и деревья итераций для построения базовой модели ниже кардинала Вудина .

Построение основных моделей [ править ]

Базовые модели строятся трансфинитной рекурсией из небольших фрагментов базовой модели, называемых мышами . Важным элементом конструкции является лемма сравнения, которая позволяет упорядочить соответствующие мыши.

На уровне сильных кардиналов и выше строится промежуточная подсчетно сертифицированная базовая модель K ^c , а затем, если возможно, извлекается K из K ^c .

Свойства основных моделей [ править ]

K _c (и, следовательно, K) - это точная структурная модель расширителя с возможностью счетной итерации ниже длинных удлинителей. (В настоящее время не известно, как поступать с длинными расширителями, которые устанавливают, что кардинал является сверхсильным .) Здесь счетная итерабельность означает ω ₁ +1 итерабельность для всех счетных элементарных подструктур начальных сегментов, и этого достаточно для развития базовой теории, включая некоторые конденсационные свойства. Теория таких моделей канонична и хорошо изучена. Они удовлетворяют GCH , принципу ромба для всех стационарных подмножеств обычных кардиналов, принципу квадрата (кроме субкомпактных кардиналов).) и другие принципы, содержащиеся в L.

K ^c максимальна в нескольких смыслах. K ^c правильно вычисляет последователей измеримых и многих единичных кардиналов. Кроме того, ожидается, что при соответствующем ослаблении счетной удостоверяемости K ^c будет правильно вычислять последователей всех слабо компактных и единичных сильных предельных кардиналов . Если V закрывается оператором мыши (оператор внутренней модели), то K ^c закрывается . K ^c не имеет резкости: нет естественного нетривиального элементарного вложения K ^c в себя. (Однако, в отличие от K, K ^c может быть элементарно самовложимым.)

Если, кроме того, в этой модели также нет кардиналов Вудина (за исключением некоторых конкретных случаев, неизвестно, как должна определяться базовая модель, если K _c имеет кардиналы Вудина), мы можем извлечь фактическую базовую модель K. K также собственная основная модель. K локально определен и в общем случае абсолютен: для любого общего расширения V, для любого кардинала κ> ω ₁ в V [G], K, построенный в H (κ) в V [G], равен K∩H (κ). (Это было бы невозможно, если бы в K входили кардиналы Вудина). K является максимальным, универсальным и полностью повторяемым. Это означает, что для каждой итеративной модели расширителя M (называемой мышью) существует элементарное вложение M → N и начального сегмента K в N, а если M универсально, вложение происходит из K в M.

Предполагается, что если K существует и V замкнуто относительно точного оператора M, то K является Σ ¹ ₁ правильным, допускающим действительные числа в K в качестве параметров и M в качестве предиката. Это составляет Σ ¹ ₃ правильности (в обычном смысле), если M равно x → x ^# .

Базовая модель также может быть определена над конкретным набором ординалов X: X принадлежит K (X), но K (X) удовлетворяет обычным свойствам K выше X. Если не существует итеративной внутренней модели с ω кардиналами Вудена, то для некоторого X существует K (X). Приведенное выше обсуждение K и K ^c обобщается на K (X) и K ^c (X).

Построение основных моделей [ править ]

Гипотеза:

• Если не существует итеративной модели ω ₁ +1 с длинными расширителями (и, следовательно, моделей со сверхсильными кардиналами), то K ^c существует.
• Если K ^c существует и как построено в каждом типичном расширении V (эквивалентно, при некотором типичном коллапсе Coll (ω, <κ) для достаточно большого ординала κ) удовлетворяет «нет кардиналов Вудена», то модель ядра K существует.

Частичные результаты гипотезы таковы:

1. Если нет внутренней модели с кардиналом Вудена, то K существует.
2. Если (жирный шрифт) Σ ¹ _n определенность (n конечно) выполняется в каждом общем расширении V, но не существует итеративной внутренней модели с n кардиналами Вудена, то K существует.
3. Если существует измеримый кардинал κ, то либо существует K ^c ниже κ, либо существует итерационная модель ω ₁ +1 с измеримым пределом λ как кардиналов Вудена, так и кардиналов, сильных до λ.

Если у V есть кардиналы Вудена, но нет кардиналов, сильных после кардинала Вудена, то при соответствующих обстоятельствах (кандидат в) K можно построить, построив K ниже каждого кардинала Вудена (и ниже класса всех ординалов) κ, но выше этого K, как построено ниже супремума кардиналов Вудена ниже κ. Кандидатская базовая модель не является полностью итерабельной (итерация не выполняется на кардиналах Вудина) или в целом абсолютной, но в остальном ведет себя как K.

Ссылки [ править ]

• В. Хью Вудин (июнь / июль 2001 г.). [1] . Уведомления AMS.
• Уильям Митчелл. «Начальная теория внутренней модели» (являющаяся главой 17 в томе 3 «Справочника по теории множеств») в [2] .
• Мэтью Форман и Акихиро Канамори (редакторы). «Справочник по теории множеств», Springer Verlag, 2010, ISBN  978-1402048432 .
• Рональд Дженсен и Джон Р. Стил. «К без измеримого». Журнал символической логики, том 78, выпуск 3 (2013), 708-734.