Предел кардинальный

---

В математике предельные кардиналы — это определенные кардинальные числа . Кардинальное число λ является слабым предельным кардиналом, если λ не является ни кардиналом-преемником , ни нулем. Это означает, что нельзя «достичь» λ от другого кардинала повторными операциями-преемниками. Эти кардиналы иногда называют просто «предельными кардиналами», если контекст ясен.

Кардинал λ является сильным предельным кардиналом, если λ не может быть достигнуто повторяющимися операциями над набором степеней . Это означает, что λ не равно нулю и для всех κ < λ 2 ^κ < λ . Каждый сильный предельный кардинал также является слабым предельным кардиналом, поскольку κ ⁺ ≤ 2 ^κ для каждого кардинала κ , где κ ⁺ обозначает кардинал-преемник κ .

Первый бесконечный кардинал ( алеф-ноль ) является сильным предельным кардиналом и, следовательно, также слабым предельным кардиналом.${\displaystyle \алеф _{0}}$

Один из способов построения предельных кардиналов — это операция объединения: — слабый предельный кардинал, определяемый как объединение всех алефов перед ним; и вообще для любого предельного ординала λ является слабым предельным кардиналом.${\displaystyle \алеф _ {\омега }}$${\displaystyle \алеф _ {\лямбда }}$

Операцию ב можно использовать для получения сильных предельных кардиналов. Эта операция представляет собой преобразование порядковых номеров в кардиналы, определяемое как

Если выбранная аксиома верна, каждое кардинальное число имеет начальный порядковый номер . Если этот начальный порядковый номер равен, то кардинальное число имеет форму для того же порядкового индекса λ . Порядковый номер λ определяет, является ли он слабым предельным кардиналом. Потому что , если λ является порядковым номером-преемником, то это не слабый предел. И наоборот, если кардинал κ является кардиналом-преемником, скажем, что Таким образом , вообще говоря, он является слабым предельным кардиналом тогда и только тогда, когда λ равен нулю или предельному ординалу.${\displaystyle \omega _ {\lambda }\,,}$${\displaystyle \алеф _ {\лямбда }}$${\displaystyle \алеф _ {\лямбда }}$${\displaystyle \алеф _ {\альфа ^{+}}=(\алеф _{\альфа})^{+}\,,}$${\displaystyle \алеф _ {\лямбда }}$${\displaystyle \ каппа =(\алеф _{\альфа})^{+}\,,}$${\displaystyle \kappa =\aleph _ {\alpha ^{+}}\,.}$${\displaystyle \алеф _ {\лямбда }}$

---