Вселенная фон Неймана

В теории множеств и смежных отраслей математики , то Вселенная фон Неймана , или фон Неймана иерархия множеств , обозначим через V , является класс из наследственных фундированных множеств . Этот набор, формализованный теорией множеств Цермело – Френкеля (ZFC), часто используется для интерпретации или обоснования аксиом ZFC. Концепция названа в честь Джона фон Неймана , хотя впервые она была опубликована Эрнстом Цермело в 1930 году.

Ранг из- за обоснованного набора определяется индуктивно как наименьший порядковый номер больше , чем ряды всех членов набора. ^[1] В частности, ранг пустого множества равен нулю, и каждый ординал имеет ранг, равный самому себе. Множества в V делятся на трансфинитную иерархию V _α  , называемую кумулятивной иерархией , в зависимости от их ранга.

Определение [ править ]

Кумулятивная иерархия - это набор множеств V _α, индексированных классом порядковых чисел ; в частности, V _α - это множество всех множеств, имеющих ранг меньше α. Таким образом , существует один набор V _α для каждого порядкового числа а. V _α может быть определено трансфинитной рекурсией следующим образом:

• Пусть V ₀ будет пустым множеством :

  ${\ displaystyle V_ {0}: = \ varnothing.}$

• Для любого порядкового числа р, пусть V _{β + 1} будет множество мощности из V _β :

  ${\ displaystyle V _ {\ beta +1}: = {\ mathcal {P}} (V _ {\ beta}).}$

• Для любого предельного ординала λ пусть V _λ будет объединением всех V -этапов на данный момент:

  ${\ displaystyle V _ {\ lambda}: = \ bigcup _ {\ beta <\ lambda} V _ {\ beta}.}$

Важнейшим фактом этого определения является то, что в языке ZFC существует единственная формула φ (α, x ), которая определяет «множество x находится в V _α ».

Множества V _α называются ступенями или рангами .

Начальный сегмент вселенной фон Неймана. Порядковое умножение противоположно нашему обычному соглашению; см. Порядковая арифметика .

Класс V определяется как объединение всех V -этапов:

${\ Displaystyle V: = \ bigcup _ {\ alpha} V _ {\ alpha}.}$

Эквивалентные наборы определений

${\ Displaystyle V _ {\ alpha}: = \ bigcup _ {\ beta <\ alpha} {\ mathcal {P}} (V _ {\ beta})}$

для каждого порядкового а, где это Powerset из .${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} (X) \!}$${\ displaystyle X}$

Ранг множества S - это наименьшее значение α, такое что Другой способ вычисления ранга:${\ Displaystyle S \ substeq V _ {\ alpha} \ ,.}$

${\ displaystyle \ operatorname {rank} (S) = \ bigcup \ {\ operatorname {rank} (z) +1 \ mid z \ in S \}}$.

Конечная и малая ступени иерархии [ править ]

Первые пять стадий фон Неймана с V ₀ по V ₄ можно визуализировать следующим образом. (Пустое поле представляет собой пустой набор. Поле, содержащее только пустое поле, представляет набор, содержащий только пустой набор, и так далее.)

Эта последовательность демонстрирует тетрациональный рост. Набор V ₅ содержит 2 ¹⁶ = 65536 элементов; набор V ₆ содержит 2 ⁶⁵⁵³⁶ элементов, что значительно превышает количество атомов в известной вселенной ; и для любого натурального n множество V _n содержит 2 ↑↑ n элементов, используя обозначение Кнута со стрелкой вверх . Таким образом, конечные этапы кумулятивной иерархии не могут быть явно записаны после этапа 5. Множество V _ω имеет ту же мощность, что и ω. Множество V _{ω + 1} имеет ту же мощность, что и множество действительных чисел.

Приложения и интерпретации [ править ]

Приложения V как модели для теорий множеств [ править ]

Если ω - множество натуральных чисел , то V _ω - это множество наследственно конечных множеств , которое является моделью теории множеств без аксиомы бесконечности . ^{[2] [3]}

V _{ω + ω} - это вселенная «обычной математики» и модель теории множеств Цермело . ^[4] Простым аргументом в пользу адекватности V _{ω + ω} является наблюдение, что V _{ω + 1} подходит для целых чисел, в то время как V _{ω + 2} подходит для действительных чисел, и можно построить большую часть другой нормальной математики. как отношения различного типа из этих множеств, не требующие аксиомы замены для выхода за пределы V _{ω + ω} .

Если κ - недоступный кардинал , то V _κ является моделью самой теории множеств Цермело – Френкеля (ZFC), а V _{κ + 1} - моделью теории множеств Морса – Келли . ^{[5] [6]} (Обратите внимание, что каждая модель ZFC также является моделью ZF, и каждая модель ZF также является моделью Z.)

Интерпретация V как «множество всех множеств» [ править ]

V не является « набором всех наборов » по двум причинам. Во-первых, это не набор; хотя каждый отдельный этап V _α является набором, их объединение V является собственным классом . Во-вторых, множества в V - это только хорошо обоснованные множества. Аксиома основания (или регулярности) требует , чтобы каждое множество быть хорошо обоснованы и , следовательно, V , и , таким образом , в ZFC каждое множество в V . Но другие системы аксиом могут опускать аксиому об основании или заменять ее сильным отрицанием (примером является аксиома против основания Акцеля ). Эти необоснованные теории множеств обычно не используются, но их все еще можно изучать.

Третье возражение против интерпретации «множества всех множеств» состоит в том, что не все множества обязательно являются «чистыми множествами», которые построены из пустого множества с использованием степенных множеств и объединений. Цермело предложил в 1908 году включение урэлементов , из которых он построил трансфинитную рекурсивную иерархию в 1930 году. ^[7] Такие уэлементы широко используются в теории моделей , особенно в моделях Френкеля-Мостовского. ^[8]

V и аксиома регулярности [ править ]

Формулу V = ⋃ _α V _α часто считают теоремой, а не определением. ^{[9] [10]} Ройтман утверждает (без ссылок), что осознание того, что аксиома регулярности эквивалентна равенству множества ZF множеств кумулятивной иерархии, принадлежит фон Нейману. ^[11]

Экзистенциальный статус V [ править ]

Поскольку класс V можно рассматривать как арену для большей части математики, важно установить, что он в некотором смысле «существует». Поскольку существование - сложная концепция, обычно вопрос о существовании заменяется вопросом о согласованности, то есть о том, свободна ли концепция от противоречий. Основным препятствием являются теоремы Гёделя о неполноте , которые фактически подразумевают невозможность доказательства непротиворечивости теории множеств ZF в самой теории множеств ZF, при условии, что она на самом деле непротиворечива. ^[12]

Целостность вселенной фон Неймана в основном зависит от целостности порядковых чисел , которые действуют как параметр ранга в конструкции, и целостности трансфинитной индукции , с помощью которой строятся как порядковые числа, так и вселенная фон Неймана. Можно сказать, что целостность построения порядкового числа опирается на работы фон Неймана 1923 и 1928 годов. ^[13] Можно сказать, что целостность конструкции V с помощью трансфинитной индукции была установлена ​​в статье Цермело 1930 года. ^[7]

История [ править ]

Кумулятивная иерархия типов, также известная как вселенная фон Неймана, как утверждает Грегори Х. Мур (1982), неточно приписывается фон Нейману . ^[14] Первая публикация вселенной фон Неймана была опубликована Эрнстом Цермело в 1930 году. ^[7]

Существование и единственность общего трансфинитного рекурсивного определения множеств было продемонстрировано в 1928 году фон Нейманом как для теории множеств Цермело-Френкеля ^{[15], так} и для собственной теории множеств Неймана (которая позже превратилась в теорию множеств NBG ). ^[16] Ни в одной из этих статей он не применил свой трансфинитный рекурсивный метод для построения вселенной всех множеств. В презентациях вселенной фон Неймана Бернейс ^[9] и Мендельсон ^[10] отдают должное фон Нейману за метод построения трансфинитной индукции, хотя и не за его применение к построению вселенной обычных множеств.

Обозначение V не является данью имени фон Неймана. Он был использован Пеано для обозначения вселенной множеств в 1889 году, буква V обозначает «Verum», которую он использовал как логический символ, так и для обозначения класса всех индивидов. ^[17] Пеано обозначение V был принят также Whitehead и Russell для класса всех множеств в 1910 г. ^[18] V обозначение (для класса всех множеств) не было использован фоном Нейман в его 1920 - ых газетах о порядковых номерах и трансфинитная индукция. Пол Коэн ^[19] явно приписывает свое использование буквы V (для обозначения класса всех множеств) статье Гёделя 1940 года ^[20].хотя Гёдель, скорее всего, получил обозначения из более ранних источников, таких как Уайтхед и Рассел. ^[18]

Философские перспективы [ править ]

Есть два подхода к пониманию отношения вселенной V фон Неймана к ZFC (наряду со многими вариациями каждого подхода и оттенками между ними). Грубо говоря, формалисты будут склонны рассматривать V как нечто вытекающее из аксиом ZFC (например, ZFC доказывает, что каждое множество находится в V). С другой стороны, реалисты с большей вероятностью будут рассматривать иерархию фон Неймана как нечто непосредственно доступное для интуиции, а аксиомы ZFC - как предложения, истинность которых в V мы можем дать прямые интуитивные аргументы на естественном языке. Возможная средняя позиция состоит в том, что ментальная картина иерархии фон Неймана дает аксиомам ZFC мотивацию (так что они не являются произвольными), но не обязательно описывает объекты с реальным существованием.

См. Также [ править ]

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Бернейс, Пол (1991) [1958]. Аксиоматическая теория множеств . Dover Publications. ISBN 0-486-66637-9.
• Коэн, Пол Джозеф (2008) [1966]. Теория множеств и гипотеза континуума . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-46921-8.
• Гёдель, Курт (1931). "Уверенные формальные основы математики и правильной системы, I". Monatshefte für Mathematik und Physik . 38 : 173–198.
• Гёдель, Курт (1940). Согласованность аксиомы выбора и обобщенной гипотезы континуума с аксиомами теории множеств . Анналы математических исследований. 3 . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета.
• Говард, Пол; Рубин, Жан Э. (1998). Последствия аксиомы выбора . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. С.  175–221 . ISBN 9780821809778.
• Jech, Томас (2003). Теория множеств: издание третьего тысячелетия, переработанное и расширенное . Springer. ISBN 3-540-44085-2.
• Кунен, Кеннет (1980). Теория множеств: введение в доказательства независимости . Эльзевир. ISBN 0-444-86839-9.
• Манин, Юрий И. (2010) [1977]. Курс математической логики для математиков . Тексты для выпускников по математике. 53 . Перевод Н. Коблица (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. С. 89–96. DOI : 10.1007 / 978-1-4419-0615-1 . ISBN 978-144-190-6144.
• Мендельсон, Эллиотт (1964). Введение в математическую логику . Ван Ностранд Рейнхольд.
• Мириманов, Дмитрий (1917). "Антиномии Рассела и Бурали-Форти и проблема фундаментальной теории ансамблей". L'Enseignement Mathématique . 19 : 37–52.
• Мур, Грегори Х (2013) [1982]. Избранная аксиома Цермело: ее происхождение, развитие и влияние . Dover Publications. ISBN 978-0-486-48841-7.
• Пеано, Джузеппе (1889). Принципы арифметики: новая методика объяснения . Fratres Bocca.
• Ройтман, Джудит (2011) [1990]. Введение в современную теорию множеств . Университет Содружества Вирджинии . ISBN 978-0-9824062-4-3.
• Рубин, Жан Э. (1967). Теория множеств для математика . Сан-Франциско: Холден-Дэй. ASIN  B0006BQH7S .
• Смуллян, Раймонд М .; Фиттинг, Мелвин (2010) [пересмотренное и исправленное переиздание работы, первоначально опубликованной в 1996 году издательством Oxford University Press, Нью-Йорк]. Теория множеств и проблема континуума . Дувр. ISBN 978-0-486-47484-7.
• фон Нейман, Джон (1923). "Zur Einführung der transfiniten Zahlen" . Acta litt. Акад. Sc. Сегед X . 1 : 199–208.. Английский перевод: Ван Хейеноорт, Жан (1967), «О введении трансфинитных чисел», От Фреге до Гёделя: Справочник по математической логике, 1879-1931 , Harvard University Press, стр. 346-354
• фон Нейман, Джон (1928a). "Die Axiomatisierung der Mengenlehre" . Mathematische Zeitschrift . 27 : 669–752. DOI : 10.1007 / bf01171122 .
• фон Нейман, Джон (1928b). "Uber die Definition durch transfinite Induktion und verwandte Fragen der allgemeinen Mengenlehre". Mathematische Annalen . 99 : 373–391. DOI : 10.1007 / bf01459102 .
• Уайтхед, Альфред Норт ; Рассел, Бертран (2009) [1910]. Principia Mathematica . Том первый. Купеческие книги. ISBN 978-1-60386-182-3.
• Цермело, Эрнст (1930). "Über Grenzzahlen und Mengenbereiche: Neue Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre". Fundamenta Mathematicae . 16 : 29–47.