Кардинальное число κ субкомпактно тогда и только тогда, когда для каждого A ⊂ H ( κ + ) существует нетривиальное элементарное вложение j : ( H ( µ + ), B ) → ( H ( κ + ), A ) (где H ( κ + ) — множество всех множеств мощности, наследственно меньшей, чем κ + ) с критической точкой µ и j ( µ ) = κ .
Аналогично, κ является квазикомпактным кардиналом тогда и только тогда, когда для каждого A ⊂ H ( κ + ) существует нетривиальное элементарное вложение j : ( H ( κ + ), A ) → ( H ( µ + ), B ) с критическая точка κ и j ( κ ) знак равно μ .
Каждый квазикомпактный кардинал субкомпактен. Квазикомпактность является усилением субкомпактности в том смысле, что она проецирует большие кардинальные свойства вверх. Отношения аналогичны отношениям между расширяемыми и суперкомпактными кардиналами . Квазикомпактность можно рассматривать как усиленную или выделенную жирным шрифтом версию 1-расширяемости. Существование субкомпактных кардиналов влечет существование многих 1-продолжаемых кардиналов, а значит, и многих сверхсильных кардиналов . Существование 2 κ -суперкомпактного кардинала κ влечет существование многих квазикомпактных кардиналов.
Субкомпактные кардиналы заслуживают внимания как наименьшие кардиналы, подразумевающие нарушение принципа квадрата . Если κ субкомпактно, то принцип квадратов не работает в κ. Канонические внутренние модели на уровне субкомпактных кардиналов удовлетворяют принципу квадратов во всех случаях, кроме субкомпактных кардиналов. (Существование таких моделей еще не доказано, но в любом случае принцип квадратов можно применить для более слабых кардиналов.)
Квазикомпактность — одно из самых сильных больших кардинальных свойств, которое можно наблюдать в современных внутренних моделях, в которых не используются длинные удлинители. Для текущих внутренних моделей включенные элементарные вложения определяются их влиянием на P ( κ ) (вычисленным на этапе включения вложения), где κ — критическая точка. Это не позволяет им наблюдать даже κ + сильно компактный кардинал κ .