В теории множеств , разделе математики , сильно компактный кардинал - это определенный вид большого кардинала .
Кардинал κ сильно компактен тогда и только тогда, когда каждый κ-полный фильтр может быть расширен до κ-полного ультрафильтра.
Сильно компактные кардиналы изначально были определены в терминах бесконечной логики , в которой логическим операторам разрешено принимать бесконечно много операндов. Логика регулярного кардинала κ определяется требованием, чтобы количество операндов для каждого оператора было меньше κ; то κ сильно компактно, если его логика удовлетворяет аналогу свойства компактности финитарной логики. В частности, утверждение, которое следует из некоторого другого набора утверждений, также должно вытекать из некоторой подгруппы, имеющей мощность меньше κ.
Свойство сильной компактности можно ослабить, если потребовать выполнения этого свойства компактности только в том случае, если исходный набор утверждений имеет мощность ниже некоторого кардинала λ; тогда мы можем говорить о λ-компактности. Кардинал слабо компактен тогда и только тогда, когда он κ-компактен; это было первоначальное определение этой концепции.
Сильная компактность подразумевает измеримость и подразумевается сверхкомпактностью . Учитывая, что соответствующие кардиналы существуют, ZFC согласуется либо с тем, что первый измеримый кардинал является сильно компактным, либо что первый сильно компактный кардинал является сверхкомпактным; Однако оба эти утверждения не могут быть правдой. Измеримый предел сильно компактных кардиналов сильно компактен, но наименьший такой предел не сверхкомпактен.
Прочность консистенции сильной компактности строго выше, чем у кардинала Woodin . Некоторые теоретики множеств предполагают, что существование сильно компактного кардинала равно совместимо с существованием суперкомпактного кардинала. Однако доказательство маловероятно, пока не будет разработана каноническая теория внутренней модели для суперкомпактных кардиналов.
Расширяемость - это аналог сильной компактности второго порядка.
См. Также [ править ]
Ссылки [ править ]
- Дрейк, FR (1974). Теория множеств: Введение в большие кардиналы (Исследования по логике и основам математики; Т. 76) . ISBN Elsevier Science Ltd. 0-444-10535-2.
 | Эта статья по теории множеств незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее . |
