В основах математики используется лемма о покрытии, чтобы доказать, что отсутствие некоторых больших кардиналов приводит к существованию канонической внутренней модели , называемой базовой моделью , то есть, в определенном смысле, максимальной и приближает структуру фон Неймана вселенной V . Лемма о покрытии утверждает, что при некотором конкретном антибольшом кардинальном предположении основная модель существует и является максимальной в том смысле, который зависит от выбранного большого кардинала. Первый такой результат был доказан Рональдом Дженсеном для конструктивной вселенной в предположении 0 #не существует, что теперь известно как теорема Дженсена о покрытии .
Пример
Например, если нет внутренней модели для измеримого кардинала , то базовая модель Додда-Дженсена, K DJ является базовой моделью и удовлетворяет свойству покрытия , то есть для каждого несчетного набора ординалов x существует y такое, что y ⊃ x , y имеет ту же мощность, что и x , и y ∈ K DJ . (Если 0 # не существует, то K DJ = L. )
Версии
Если базовая модель K существует (и не имеет кардиналов Вудена), то
- Если K не имеет ω 1 -эрдинальных кардиналов, то для конкретной счетной (в K) и определимой в K последовательности функций от ординалов к ординалам каждое замкнутое относительно этих функций множество ординалов является объединением счетного числа множеств в K .Если L = K, это просто примитивные рекурсивные функции.
- Если K не имеет измеримых кардиналов, то для любого несчетного множества x ординалов существует y ∈ K такое, что x ⊂ y и | x | = | у |.
- Если K имеет только один измеримый кардинал κ, то для любого несчетного множества ординалов x найдется y ∈ K [C] такой, что x ⊂ y и | x | = | у |. Здесь C либо пусто, либо Прикры общее над K (так что оно имеет порядковый тип ω и конфинально по κ) и единственно, за исключением конечного начального сегмента.
- Если у K нет недоступного предела измеримых кардиналов и нет собственного класса измеримых кардиналов, то существует максимальное и единственное (за исключением конечного набора ординалов) множество C (называемое системой неразличимых) для K такое, что для каждой последовательности S в K меры один множества, состоящие из одного множества для каждого измеримого кардинала, C минус ∪S конечно. Обратите внимание, что каждое κ \ C либо конечно, либо является общим для K в точке κ, за исключением элементов C ниже измеримого кардинала ниже κ. Для любого несчетного множества ординалов x существует y ∈ K [C] такое, что x ⊂ y и | x | = | у |.
- Для каждого несчетного множества x ординалов существует множество C неразличимых для полных расширителей на K такое, что существует y ∈ K [C], x ⊂ y и | x | = | у |.
- K правильно вычисляет последователей сингулярных и слабо компактных кардиналов ( свойство слабого покрытия ). Более того, если | κ | > ω 1 , то конфинальность ((κ + ) K ) ≥ | κ |.
Расширители и неразличимые вещества
Для основных моделей без перекрывающихся полных расширителей система неразличимых элементов хорошо изучена. Хотя (если K имеет недоступный предел измеримых кардиналов), система может зависеть от множества, которое необходимо покрыть, она хорошо определена и уникальна в более слабом смысле. Одним из применений покрытия является подсчет количества (последовательностей) неразличимых, что дает оптимальные нижние границы для различных неудач гипотезы о единичных кардиналах . Например, если K не имеет перекрывающихся полных расширителей, а κ - особый сильный предел и 2 κ = κ ++ , то κ имеет порядок Митчелла не менее κ ++ в K. И наоборот, несостоятельность сингулярной кардинальной гипотезы может быть полученным (в общем расширении) из κ с o (κ) = κ ++ .
Для основных моделей с перекрывающимися полными расширителями (то есть с кардинальным сильным до измеримого) системы неразличимых плохо изучены, а приложения (такие как слабое покрытие) имеют тенденцию избегать, а не анализировать неразличимые.
Дополнительные свойства
Если K существует, то каждый регулярный кардинал Йонссона является рамсеевским в K. Каждый особый кардинал, регулярный в K, измерим в K.
Кроме того, если базовая модель K (X) существует над множеством ординалов X, то она имеет описанные выше покрывающие свойства над X.
Рекомендации
- Митчелл, Уильям (2010), "Обшивка лемма", Справочник по теории множеств , Springer, С. 1497-1594,. DOI : 10.1007 / 978-1-4020-5764-9_19 , ISBN 978-1-4020-4843-2