В теории множеств , расширитель представляет собой система ультрафильтров , которая представляет собой элементарное вложение наблюдает большие кардинальные свойства. Непринципиальный ультрафильтр - это самый простой вариант расширителя.
(Κ, λ) -расширение можно определить как элементарное вложение некоторой модели M ZFC - (ZFC минус аксиома множества степеней ), имеющей критическую точку κ ε M , и которая отображает κ в ординал, по крайней мере, равный λ. Она также может быть определена как совокупность ультрафильтров, по одному для каждого п - кортеж , проведенной из Х.
Формальное определение расширителя
Пусть κ и λ - кардиналы с κ≤λ. Затем набор называется (κ, λ) -расширением, если выполняются следующие свойства:
- каждый E a является κ-полным неглавным ультрафильтром на [κ] <ω и, более того,
- хотя бы один E a не является κ + -полным,
- для каждого , хотя бы один E a содержит множество.
- (Когерентность) E a когерентны (так что сверхмощи Ult ( V , E a ) образуют направленную систему).
- (Нормальность) Если f таково, что, то для некоторых .
- (Обоснованность) Предельная сверхмощность Ult ( V , E ) хорошо обоснована (где Ult ( V , E ) - прямой предел сверхмощностей Ult ( V , E a )).
Под согласованностью подразумевается, что если a и b конечные подмножества λ такие, что b является надмножеством a , то если X является элементом ультрафильтра E b и выбирается правильный способ спроецировать X вниз до набора последовательностей длины | a |, то X является элементом E a . Более формально для, где , а также , Где т ≤ п и J ≤ т в я J попарно различны и не более п , определим проекцию.
Тогда E a и E b когерентны, если
- .
Определение расширителя из элементарного вложения
Учитывая элементарное вложение j: V → M, которое отображает теоретико-множественный универсум V в транзитивную внутреннюю модель M с критической точкой κ и кардиналом λ, κ≤λ≤ j (κ), определяется следующим образом:
Затем можно показать, что E обладает всеми свойствами, указанными выше в определении, и, следовательно, является (κ, λ) -расширением.
Рекомендации
- Канамори, Акихиро (2003). Высшая бесконечность: большие кардиналы в теории множеств с самого начала (2-е изд.). Springer. ISBN 3-540-00384-3.
- Jech, Томас (2002). Теория множеств (3-е изд.). Springer. ISBN 3-540-44085-2.