В математике , то аксиома булеана является одной из аксиом Цермело-Френкеля в аксиоматической теории множеств .
На формальном языке аксиом Цермело – Френкеля аксиома гласит:
где y - набор степеней x ,.
По-английски это говорит:
- При любом множество х , есть множество такое, что для любого набора z это множество z является членом тогда и только тогда, когда каждый элемент z также является элементом x .
Короче: за каждый комплект, есть набор состоящий именно из подмножеств .
Обратите внимание на отношение подмножестване используется в формальном определении, поскольку подмножество не является примитивным отношением в формальной теории множеств; скорее, подмножество определяется с точки зрения членства в наборе ,. По аксиоме протяженности множество уникален.
Аксиома степенного множества появляется в большинстве аксиоматизаций теории множеств. Обычно это считается бесспорным, хотя конструктивная теория множеств предпочитает более слабую версию, чтобы разрешить опасения по поводу предсказуемости .
Последствия
Аксиома Power Set позволяет просто определить декартово произведение двух множеств. а также :
Заметь
и, например, рассматривая модель, использующую упорядоченную пару Куратовского ,
и, таким образом, декартово произведение - это множество, поскольку
Можно определить декартово произведение любого конечного набора множеств рекурсивно:
Заметим, что существование декартова произведения может быть доказано без использования аксиомы степенного множества, как в случае теории множеств Крипке – Платека .
Рекомендации
- Пол Халмос , Наивная теория множеств . Принстон, Нью-Джерси: D. Van Nostrand Company, 1960. Перепечатано Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (издание Springer-Verlag).
- Jech, Thomas, 2003. Теория множеств: издание третьего тысячелетия, переработанное и расширенное . Springer. ISBN 3-540-44085-2 .
- Кунен, Кеннет, 1980. Теория множеств: введение в доказательства независимости . Эльзевир. ISBN 0-444-86839-9 .
Эта статья включает материал из Axiom of power, установленного на PlanetMath , который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .