В математике , элемент (или член ) одного набора является любой одной из различных объектов , которые принадлежат к этому набору.
Наборы [ править ]
Запись означает , что элементы множества А являются числа 1, 2, 3 и 4. Наборы элементов А , например , являются подмножествами из A .
Наборы сами по себе могут быть элементами. Например, рассмотрим набор . Элементами B не являются 1, 2, 3 и 4. Скорее, есть только три элемента B , а именно числа 1 и 2 и множество .
Элементы набора могут быть любыми. Например, это набор, элементами которого являются красный , зеленый и синий цвета .
Обозначения и терминология [ править ]
Отношение «является элементом», называемый также множество членов , обозначается символом «Е». Письмо
означает, что « x является элементом A ». [1] [2] Эквивалентные выражения: « x является членом A », « x принадлежит A », « x находится в A » и « x лежит в A ». Выражения « включает е » и « содержит й » также используется для обозначения членов набора, хотя некоторые авторы используют их для обозначения вместо « х является подмножеством в А ».[3] Логик Джордж Булоснастоятельно рекомендуется, чтобы «содержит» использовалось только для членства, а «включает» только для отношения подмножества. [4]
Для отношения ∈ обратное отношение ∈ T можно записать
- означает, что « A содержит или включает x ».
Отрицанием из множества членов обозначается символом «∉». Письмо
- означает, что « x не является элементом A ». [1]
Символ ∈ был впервые использован Джузеппе Пеано в его работе 1889 года « Принципы арифметики, новая методика экспозиции» . [5] Здесь он написал на странице X:
Signum ∈ Signumat est. Ita a ∈ b законный a est quoddam b; …
что значит
Символ ∈ средством является . Таким образом, a ∈ b читается как a - это a b; …
Сам символ представляет собой стилизованную строчную греческую букву эпсилон («ϵ»), первую букву слова ἐστί , что означает «есть». [5]
| Предварительный просмотр | ∈ | ∉ | ∋ | ∌ | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Юникод имя | ЭЛЕМЕНТ | НЕ ЭЛЕМЕНТ | СОДЕРЖИТ ЧЛЕНА | НЕ СОДЕРЖИТ ЧЛЕНА | ||||
| Кодировки | десятичный | шестнадцатеричный | десятичный | шестнадцатеричный | десятичный | шестнадцатеричный | десятичный | шестнадцатеричный |
| Юникод | 8712 | U + 2208 | 8713 | U + 2209 | 8715 | U + 220B | 8716 | U + 220C |
| UTF-8 | 226 136 136 | E2 88 88 | 226 136 137 | E2 88 89 | 226 136 139 | E2 88 8B | 226 136 140 | E2 88 8C |
| Ссылка на числовые символы | & # 8712; | & # x2208; | & # 8713; | & # x2209; | & # 8715; | & # x220B; | & # 8716; | & # x220C; |
| Ссылка на именованный символ | & Element ;, & in ;, & isin ;, & isinv; | & NotElement ;, & notin ;, & notinva; | & ni ;, & niv ;, & ReverseElement ;, & suchThat; | & notni ;, & notniva ;, & NotReverseElement; | ||||
| Латекс | \в | \не в | \ ni | \ not \ ni или \ notni | ||||
| Wolfram Mathematica | \[Элемент] | \ [NotElement] | \ [ReverseElement] | \ [NotReverseElement] | ||||
Количество множеств [ править ]
Количество элементов в конкретном наборе - это свойство, известное как мощность ; неформально это размер набора. [6] В приведенных выше примерах мощность множества A равна 4, в то время как мощность множества B и множества C равны 3. Бесконечное множество - это множество с бесконечным числом элементов, а конечное множество - это множество с конечным числом элементов. Приведенные выше примеры являются примерами конечных множеств. Примером бесконечного множества является множество натуральных чисел {1, 2, 3, 4, ...}.
Примеры [ править ]
Используя определенные выше наборы, а именно A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 2, {3, 4}} и C = {красный, зеленый, синий}, верны следующие утверждения:
- 2 ∈ A
- 5 ∉ А
- {3,4} ∈ B
- 3 ∉ В
- 4 ∉ В
- Желтый ∉ C
См. Также [ править ]
- Элемент идентичности
- Синглтон (математика)
Ссылки [ править ]
- ^ а б «Исчерпывающий список символов теории множеств» . Математическое хранилище . 2020-04-11 . Проверено 10 августа 2020 .
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Элемент» . mathworld.wolfram.com . Проверено 10 августа 2020 .
- ↑ Эрик Шехтер (1997). Справочник по анализу и его основам . Академическая пресса . ISBN 0-12-622760-8.п. 12
- ^ Джордж Булос (4 февраля 1992). 24.243 Классическая теория множеств (лекция) (выступление). Массачусетский технологический институт .
- ^ a b Кеннеди, ХК (июль 1973 г.). «Что Рассел узнал от Пеано» . Журнал формальной логики Нотр-Дам . Издательство Университета Дьюка. 14 (3): 367–372. DOI : 10.1305 / ndjfl / 1093891001 . Руководство по ремонту 0319684 .
- ^ "Наборы - Элементы | Блестящая вики по математике и науке" . brilliant.org . Проверено 10 августа 2020 .
Дальнейшее чтение [ править ]
- Халмос, Пол Р. (1974) [1960], Наивная теория множеств , Тексты для студентов по математике (издание в твердом переплете), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 0-387-90092-6 - «Наивный» означает, что это не аксиоматизировано полностью, не то, что это глупо или просто (трактовка Халмоса - тоже).
- Jech, Thomas (2002), "Теория множеств", Стэнфордская энциклопедия философии
- Суппес, Патрик (1972) [1960], Теория аксиоматических множеств , Нью-Йорк: Dover Publications, Inc., ISBN 0-486-61630-4 - И понятие множества (совокупности членов), членства или элементарной принадлежности, аксиома расширения, аксиома разделения и аксиома объединения (Суппес называет ее аксиомой суммы) необходимы для более глубокого понимания " установить элемент ".
