Обратное отношение

В математике , то обратное отношение , или транспонирование , из бинарного отношения является отношением , которое происходит , когда порядок элементов включается в соотношении. Например, отношение «дочерний элемент», обратное отношению «родительский элемент». Формально, если $X$ и $Y$ - множества и $L \subseteq X \times Y$ - отношение от $X$ к $Y$ , то $L T$ - это отношение, определенное таким образом, что $y L T x$ тогда и только тогда, когда $x L y$ . В набор-строитель нотации , $L T = {(y, x) \in Y \times X | (x, y) \in L$ }.

Обозначения аналогичны обозначениям для обратной функции . Хотя многие функции не имеют обратного, каждое отношение имеет уникальное обратное. Унарная операция , которая отображает отношение к обратной связи является инволюция , поэтому она индуцирует структуру полугруппы с инволюцией на бинарных отношений на множестве, или, в более общем плане , индуцирует категорию кинжала на категорию отношений , как описано ниже . В качестве унарной операции взятие обратного (иногда называемого преобразованием или транспонированием)) коммутирует с порядковыми операциями исчисления отношений, то есть коммутирует с объединением, пересечением и дополнением.

Обратное отношение также называется отношением транспонирования - последнее ввиду его сходства с транспонированием матрицы. ^[1] Он также называется противоположное или двойного исходного соотношения, ^[2] или инверсный исходного соотношения, ^[3]^[4]^[5] или возвратно - поступательное L ° соотношения L . ^[6]

Другие обозначения для обратной связи включают в себя $L C, L -1, L ~$ , , $л$ $°$ , или $L$ $\lor$ . ${\ displaystyle {\ breve {L}}}$

Примеры [ править ]

Для обычных (возможно, строгих или частичных) отношений порядка обратным является наивно ожидаемый «противоположный» порядок, например, ${\leq ^{\mathsf {T}}}={\geq },\quad {<^{\mathsf {T}}}={>}.$

Отношение может быть представлено логической матрицей, такой как

{\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&1&0&1\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}.

Тогда обратное отношение представлено своей транспонированной матрицей :

{\begin{pmatrix}1&0&0&0\\1&1&0&0\\1&0&1&0\\1&1&0&1\end{pmatrix}}.

Обратные отношения родства называются: « A - дочерний элемент B » имеет обратное « B - родительский элемент A ». « Является племянником или племянницей из B » имеет обратное « В это дядя или тетя из А ». Отношение « является родственным из B » является его собственным обратным, так как это симметричное отношение.

В теории множеств, один предполагает вселенские U дискурса, и фундаментальное отношение множества членов х ∈ А когда является подмножеством U . Мощности набор всех подмножеств U является областью в обратную сторону ${\ni }={\in ^{\mathsf {T}}}.$

Свойства [ править ]

В моноиде бинарных эндореляций на множестве (где бинарная операция над отношениями является композицией отношений ) обратное отношение не удовлетворяет определению обратного из теории групп, т. Е. Если L - произвольное отношение на X , то выполняется не равно тождественному отношению на X в целом. Обратное соотношение удовлетворяет (более слабым) аксиомам полугруппы с инволюцией : и . ^[7] $L\circ L^{\mathsf {T}}$ $\left(L^{\mathsf {T}}\right)^{\mathsf {T}}=L$ $\left(L\circ R\right)^{\mathsf {T}}=R^{\mathsf {T}}\circ L^{\mathsf {T}}$

Поскольку обычно можно рассматривать отношения между различными наборами (которые образуют категорию, а не моноид, а именно категорию отношений Rel ), в этом контексте обратное отношение соответствует аксиомам категории кинжала (иначе говоря, категории с инволюцией). ^[7] Отношение, равное его обратному, является симметричным отношением ; на языке кинжальных категорий он самосопряжен .

Более того, полугруппа эндореляций на множестве также является частично упорядоченной структурой (с включением отношений как множеств) и фактически инволютивным квантом . Точно так же, категория разнородных отношений , Rel также упорядоченная категория. ^[7]

В исчислении отношений , преобразование (унарная операция взятия обратного отношения) коммутирует с другими бинарными операциями объединения и пересечения. Преобразование также коммутирует с унарной операцией дополнения, а также с взятием супремы и инфимы. Преобразование также совместимо с упорядочением отношений по включению. ^[1]

Если отношение является рефлексивным , иррефлексивным , симметричным , антисимметричным , асимметричным , транзитивным , полным , трихотомическим , частичным , полным порядком , строгим слабым порядком , полным предварительным порядком (слабым порядком) или отношением эквивалентности , его обратное отношение тоже.

Перевернутые [ править ]

Если I представляет отношение идентичности, то отношение R может иметь обратное, как показано ниже:

Отношение R называется обратимым справа, если существует отношение X с , и обратимым слева, если существует Y с . Тогда X и Y называются правым и левым обратными R соответственно. Отношения, обратимые справа и слева, называются обратимыми . Для обратимых однородных отношений все правые и левые обратные совпадают; используется понятие обратного R – ¹ . Тогда R ^-1 = R ^T имеет место. ^[1]^:⁷⁹

R\circ X=I

Y\circ R=I

Обратное отношение функции [ править ]

Функция является обратим тогда и только тогда , когда его обратное отношение является функцией, в этом случае обратное соотношение обратная функция.

Обратное отношение функции - это отношение, определяемое . $f:X\to Y$ $f^{-1}\subseteq Y\times X$ $\operatorname {graph} \,f^{-1}=\left\{(y,x)\in Y\times X\mid y=f(x)\right\}$

Это не обязательно является функцией: Необходимым условием является то , что е будет инъективны , поскольку еще является многозначным . Это условие является достаточным для того , чтобы быть частичной функцией , и очевидно , что то есть функция (всего) тогда и только тогда , когда F является сюръективным . В этом случае, например , если е является взаимно однозначным , можно назвать обратную функцию от е . $f^{-1}$ $f^{-1}$ $f^{-1}$ $f^{-1}$

Например, у функции есть обратная функция . $f(x)=2x+2$ $f^{-1}(x)={\frac {x}{2}}-1$

Однако функция имеет обратное отношение , которое не является функцией, поскольку она многозначна. $g(x)=x^{2}$ $g^{-1}(x)=\pm x^{\frac {1}{2}}$

См. Также [ править ]

Биекция
Транспонировать график

Ссылки [ править ]

^ a b c Гюнтер Шмидт; Томас Стрёляйн (1993). Отношения и графы: дискретная математика для компьютерных ученых . Springer Berlin Heidelberg. стр. 9 -10. ISBN 978-3-642-77970-1.
^ Селестина Котти Ферреро; Джованни Ферреро (2002). Неаррингс: некоторые разработки, связанные с полугруппами и группами . Kluwer Academic Publishers. п. 3. ISBN 978-1-4613-0267-4.
↑ Дэниел Дж. Веллеман (2006). Как это доказать: структурированный подход . Издательство Кембриджского университета. п. 173. ISBN. 978-1-139-45097-3.
^ Шломо Штернберг; Линн Лумис (2014). Расширенный расчет . Мировая научная издательская компания. п. 9. ISBN 978-9814583930.
^ Розен, Кеннет Х. (2017). Справочник по дискретной и комбинаторной математике . Розен, Кеннет Х., Шиер, Дуглас Р., Годдард, Уэйн. (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида. п. 43. ISBN 978-1-315-15648-4. OCLC 994604351 .
^ Питер Дж. Фрейд и Андре Сседров (1990) Категории, Аллегории, стр. 79, Северная Голландия ISBN 0-444-70368-3
^ a b c Иоахим Ламбек (2001). «Отношения Старое и Новое». В Еве Орловской ; Анджей Салас (ред.). Реляционные методы для приложений компьютерных наук . Springer Science & Business Media. С. 135–146. ISBN 978-3-7908-1365-4.

Халмос, Пол Р. (1974), Теория наивных множеств , стр. 40 , ISBN 978-0-387-90092-6

[R&G-1] Гюнтер Шмидт; Томас Стрёляйн (1993). Отношения и графы: дискретная математика для компьютерных ученых . Springer Berlin Heidelberg. стр. 9 -10. ISBN 978-3-642-77970-1.

[2] Селестина Котти Ферреро; Джованни Ферреро (2002). Неаррингс: некоторые разработки, связанные с полугруппами и группами . Kluwer Academic Publishers. п. 3. ISBN 978-1-4613-0267-4.

[3] Дэниел Дж. Веллеман (2006). Как это доказать: структурированный подход . Издательство Кембриджского университета. п. 173. ISBN. 978-1-139-45097-3.

[S&S-4] Шломо Штернберг; Линн Лумис (2014). Расширенный расчет . Мировая научная издательская компания. п. 9. ISBN 978-9814583930.

[5] Розен, Кеннет Х. (2017). Справочник по дискретной и комбинаторной математике . Розен, Кеннет Х., Шиер, Дуглас Р., Годдард, Уэйн. (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида. п. 43. ISBN 978-1-315-15648-4. OCLC 994604351 .

[6] Питер Дж. Фрейд и Андре Сседров (1990) Категории, Аллегории, стр. 79, Северная Голландия ISBN 0-444-70368-3

[Lambek2001-7] Иоахим Ламбек (2001). «Отношения Старое и Новое». В Еве Орловской ; Анджей Салас (ред.). Реляционные методы для приложений компьютерных наук . Springer Science & Business Media. С. 135–146. ISBN 978-3-7908-1365-4.

[1]