Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Relop
Rel напротив Rel op .

В математике , то категория Rel имеет класс множеств как объекты и бинарные отношения как морфизмы .

Морфизмом (или стрелка) R  : → B в этой категории есть отношение между множествами A и B , так что R ⊆ A × B .

Композиция двух отношений R : A → B и S : B → C задается

( , С ) ∈ S O R ⇔ для некоторого б ∈ B , ( , б ) ∈ R и ( б , с ) ∈ S . [1]

Rel также называют «категорией соответствий множеств». [2]

Свойства [ править ]

Категория Rel имеет категорию множеств Set как (широкую) подкатегорию , где стрелка f  : X → Y в Set соответствует отношению F ⊆ X × Y, определенному формулой ( x , y ) ∈ F ⇔ f ( x ) = у . [3] [4]

Морфизм в Rel есть отношение, и соответствующий морфизм в противоположной категории до Rel имеет стрелку вспять, так что это обратное соотношение . Таким образом, Rel содержит свою противоположность и самодуальна . [5]

Инволюция представлена взятие обратного соотношения обеспечивает кинжал , чтобы сделать Rel крестик категории .

Категория имеет два функторы в себя данные по Хом функторе : A бинарное отношение R ⊆ A × B и ее транспонирование R T ⊆ B × может состоять либо в виде RR T или R T R . Первые результаты композиции в однородном отношении на А , а второй на B . Поскольку образы этих hom-функторов лежат в самом Rel , в этом случае hom является внутренним hom-функтором . Со своим внутренним функтором hom, Rel - это закрытая категория и, более того, категория компактного кинжала .

Категория Rel может быть получена из категории Set как категория Клейсли для монады , функтор которой соответствует множеству степеней , интерпретируемой как ковариантный функтор.

Возможно, на первый взгляд немного удивительным является тот факт, что произведение в Rel определяется дизъюнктным объединением [5] : 181 (а не декартовым произведением, как в Set ), как и копроизведение .

Rel является моноидально замкнутым , причем как моноидальное произведение A ⊗ B, так и внутреннее hom A ⇒ B задаются декартовым произведением множеств.

Категория Rel была прототип алгебраической структуры называется аллегория по Питеру Дж Freyd и Андре Scedrov в 1990 году [6] Начиная с регулярной категорией и функтором F : → B , они отмечают свойства индуцированного функтора (Rel А, В ) → Отн ( FA, FB ). Например, он сохраняет композицию, преобразование и пересечение. Такие свойства затем используются для создания аксиом для аллегории.

Отношения как объекты [ править ]

Дэвид Райдхард и Род Берстолл считают, что объект Rel имеет однородные отношения. Например, представляет собой набор и R ⊆ × является бинарное отношение на А . Морфизмы этой категории - это функции между множествами, сохраняющие отношение: скажем, S ⊆ B × B - второе отношение, а f : A → B - такая функция, что тогда f - морфизм. [7]

Ту же идею выдвигают Адамек, Херрлих и Штрекер, где они обозначают объекты ( A, R ) и ( B, S ), множество и отношение. [8]

Ссылки [ править ]

  1. Перейти ↑ Mac Lane, S. (1988). Категории для рабочего математика (1-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 26. ISBN 0-387-90035-7.
  2. ^ Pareigis, Бодо (1970). Категории и функторы . Чистая и прикладная математика. 39 . Академическая пресса . п. 6. ISBN 978-0-12-545150-5.
  3. ^ Эта категория называется Set Rel by Rydeheard и Burstall.
  4. ^ Джордж Бергман (1998), Приглашение к общей алгебре и универсальным конструкциям , §7.2 RelSet , Издательство Генри Хельсона , Беркли. ISBN 0-9655211-4-1 . 
  5. ^ a b Майкл Барр и Чарльз Уэллс (1998) Теория категорий для компьютерных ученых. Архивировано 4 марта 2016 г. в Wayback Machine , стр. 83, из Университета Макгилла.
  6. ^ Питер Дж. Фрейд и Андре Сседров (1990) Категории, Аллегории , страницы 79, 196, Северная Голландия ISBN 0-444-70368-3 
  7. ^ Дэвид Райдхард и Род Берстолл (1988) Теория вычислительных категорий , стр. 54, Prentice-Hall ISBN 978-0131627369 
  8. ^ Юрий Адамек, Хорст Херрлих и Джордж Э. Стрекер (2004) [1990] Абстрактные и конкретные категории , раздел 3.3, пример 2 (d) стр. 22, из исследовательской группы KatMAT в Бременском университете
  • Фрэнсис Борсо (1994). Справочник категориальной алгебры: Том 2, Категории и структуры . Издательство Кембриджского университета . п. 115. ISBN 978-0-521-44179-7.