Hom функтор

В математике , в частности , в теории категорий , Hom-множества , т.е. множество морфизмов между объектами, приводит к важным функторам в категорию множеств . Эти функторы называются гом-функторами и имеют множество приложений в теории категорий и других разделах математики.

Формальное определение [ править ]

Пусть C - локально малая категория (т. Е. Категория, для которой hom-классы на самом деле являются множествами, а не собственными классами ).

Для всех объектов A и B в C мы определяем два функтора категории множеств следующим образом:

Hom ( A , -): C → Установить

Hom (-, B ): C → Установить

Это ковариантный функтор, определяемый следующим образом:

Hom ( A , -) отображает каждый объект X в C в множество морфизмов Hom ( A , X )
Hom ( A , -) отображает каждый морфизм f : X → Y в функцию
Hom ( A , f ): Hom ( A , X ) → Hom ( A , Y ), заданное формулой
${\ displaystyle g \ mapsto f \ circ g}$ для каждого g из Hom ( A , X ).

Это контравариантный функтор, задаваемый следующим образом:

Hom (-, B ) отображает каждый объект X в C в множество морфизмов Hom ( X , B )
Hom (-, B ) отображает каждый морфизм h : X → Y в функцию
Hom ( h , B ): Hom ( Y , B ) → Hom ( X , B ), задаваемый формулой
${\ displaystyle g \ mapsto g \ circ h}$ для каждого g из Hom ( Y , B ).

Функтор Нот (-, В ) также называется функтор точек объектной B .

Обратите внимание, что фиксация первого аргумента Hom естественным образом порождает ковариантный функтор, а фиксация второго аргумента естественным образом дает контравариантный функтор. Это артефакт того, как нужно составлять морфизмы.

Пара функторов Hom ( A , -) и Hom (-, B ) связаны естественным образом . Для любой пары морфизмов f : B → B ′ и h : A ′ → A коммутирует следующая диаграмма :

Оба пути отправляют g : A → B в f ∘ g ∘ h : A ′ → B ′.

Коммутативность приведенной выше диаграммы означает, что Hom (-, -) является бифунктором из C × C в Set, который контравариантен по первому аргументу и ковариантен по второму. Эквивалентно можно сказать, что Hom (-, -) - ковариантный бифунктор

Hom (-, -): C ^op × C → Установить

где C ^оп является противоположностью категории до C . Обозначение Hom _C (-, -) иногда используется для Hom (-, -), чтобы подчеркнуть категорию, образующую область.

Лемма Йонеды [ править ]

Ссылаясь на указанную выше коммутативную диаграмму, можно заметить, что каждый морфизм

h : A ′ → A

рождает естественную трансформацию

Hom ( h , -): Hom ( A , -) → Hom ( A , -).

и каждый морфизм

f : B → B ′

рождает естественную трансформацию

Hom (-, f ): Hom (-, B ) → Hom (-, B ′)

Из леммы Йонеды следует, что каждое естественное преобразование между функторами Hom имеет такой вид. Другими словами, функторы Hom приводят к полному и точному вложению категории C в категорию функторов Set ^{C ^op} (ковариантную или контравариантную в зависимости от того, какой функтор Hom используется).

Внутренний функтор Hom [ править ]

Некоторые категории могут иметь функтор, который ведет себя как функтор Hom, но принимает значения в самой категории C , а не в Set . Такой функтор называется внутренним функтором Hom и часто записывается как

{\ displaystyle \ left [- \ - \ right]: C ^ {\ text {op}} \ times C \ to C}

чтобы подчеркнуть его продуктовую природу, или как

{\ displaystyle \ Rightarrow: C ^ {\ text {op}} \ times C \ to C}

чтобы подчеркнуть его функциональную природу, а иногда просто в нижнем регистре:

{\ displaystyle \ operatorname {hom} (-, -): C ^ {\ text {op}} \ times C \ to C.}

Примеры см. В категории отношений .

Категории, обладающие внутренним функтором Hom, называются закрытыми категориями . У одного есть это

{\ displaystyle \ operatorname {Hom} (I, \ operatorname {hom} (-, -)) \ simeq \ operatorname {Hom} (-, -)}

,

где I - единичный объект закрытой категории. В случае замкнутой моноидальной категории это распространяется на понятие карринга , а именно, что

{\ displaystyle \ operatorname {Hom} (X, Y \ Rightarrow Z) \ simeq \ operatorname {Hom} (X \ otimes Y, Z)}

где - бифунктор , функтор внутреннего произведения, определяющий моноидальную категорию . Изоморфизм является естественным в обоих X и Z . Другими словами, в замкнутой моноидальной категории внутренний функтор Hom является сопряженным функтором к функтору внутреннего произведения. Объект называется внутренним Hom . Когда - декартово произведение , объект называется экспоненциальным объектом и часто записывается как . ${\ displaystyle \ otimes}$ ${\ displaystyle Y \ Rightarrow Z}$ ${\ displaystyle \ otimes}$ ${\ displaystyle \ times}$ ${\ displaystyle Y \ Rightarrow Z}$ ${\ Displaystyle Z ^ {Y}}$

Внутренние хомы, соединенные вместе, образуют язык, называемый внутренним языком категории. Самые известные из них - это просто типизированное лямбда-исчисление , которое является внутренним языком декартовых замкнутых категорий , и система линейных типов , которая является внутренним языком замкнутых симметричных моноидальных категорий .

Свойства [ править ]

Отметим, что функтор вида

Hom (-, A): C ^op → Установить

это предпучка ; аналогично Hom (A, -) - перепучок.

Функтор F : C → Set, который естественно изоморфен Hom (A, -) для некоторого A в C , называется представимым функтором (или представимым копропучком); аналогично контравариантный функтор, эквивалентный Hom (-, A), можно было бы назвать corepresentable.

Обратите внимание, что Hom (-, -): C ^op × C → Set является профунктором и, в частности, профунктором идентичности . ${\ displaystyle \ operatorname {id} _ {C} \ двоеточие C \ nrightarrow C}$

Функтор внутреннего hom сохраняет пределы ; то есть отправляет лимиты в лимиты, а лимиты , то есть копределы , в лимиты . В определенном смысле это можно рассматривать как определение предела или копредела. ${\ displaystyle \ operatorname {hom} (X, -): от C \ до C}$ ${\ displaystyle \ operatorname {hom} (-, X): C ^ {\ text {op}} \ to C}$ $C^{\text{op}}$ $C$

Другие свойства [ править ]

Если является абелевой категорией и является объектом А , то Hom ( , -) ковариантный левый точный функтор из А в категории Ab из абелевых групп . Это точно , если и только если является проективным . ^[1]

Пусть R будет кольцо и M левый R - модуль . Функтор Хомы _Р ( М , -): Mod - R → Ab правильно присоединенный к тензорному произведению функтора - _R M: Ab → Mod - R . $\otimes$

См. Также [ править ]

Ext функтор
Категория функторов
Представимый функтор

Заметки [ править ]

^ Якобсон (2009), стр. 149, Предложение 3.9.

Ссылки [ править ]

Мак-Лейн, Сондерс (сентябрь 1998 г.). Категории для рабочего математика (второе изд.). Springer. ISBN 0-387-98403-8.
Голдблатт, Роберт (2006) [1984]. Топои, Категориальный анализ логики (пересмотренная ред.). Dover Publications . ISBN 978-0-486-45026-1. Проверено 25 ноября 2009 .
Джейкобсон, Натан (2009). Базовая алгебра . 2 (2-е изд.). Дувр. ISBN 978-0-486-47187-7.

Внешние ссылки [ править ]

Функтор hom в nLab
Внутренний Hom в nLab

[1] Якобсон (2009), стр. 149, Предложение 3.9.