В теории категорий , разделе математики , закрытая категория - это особый вид категории .
В локально малой категории , то внешний рупор ( х , у ) отображает пару объектов к набору из морфизмов . Итак, в категории наборов это объект самой категории. Точно так же в закрытой категории (объект) морфизмов от одного объекта к другому можно рассматривать как лежащие внутри категории. Это внутренний hom [ x , y ].
Каждая замкнутая категория имеет функтор забывчивости по отношению к категории множеств, который, в частности, переводит внутренний hom во внешний.
Определение
Закрытая категория может быть определена как категория с так называемым внутренним функтором Hom
с левыми стрелками Йонеды
естественно в а также и неестественно в, и неподвижный объект из с естественным изоморфизмом
и неестественное преобразование
- ,
все удовлетворяют определенным условиям согласованности.
Примеры
- Декартовы закрытые категории - это закрытые категории. В частности, любой топос закрыт. Канонический пример - категория множеств .
- Компактные закрытые категории - это закрытые категории. Каноническим примером является категория FdVect с конечномерными векторными пространствами как объектами и линейными отображениями как морфизмами.
- В более общем смысле любая моноидальная замкнутая категория является замкнутой категорией. В этом случае объект - моноидальная единица.
Рекомендации
- Эйленберг, С. & Келли, Г. М. Замкнутые категории Труды конференции по категориальной алгебре. ( Ла Хойя , 1965) Спрингер . 1966. С. 421–562.
- Закрытая категория в nLab