В теории категорий , одном из разделов математики , естественное преобразование обеспечивает способ преобразования одного функтора в другой при соблюдении внутренней структуры (т. Е. Композиции морфизмов ) задействованных категорий . Следовательно, естественное преобразование можно рассматривать как «морфизм функторов». Действительно, эту интуицию можно формализовать для определения так называемых категорий функторов . После категорий и функторов естественные преобразования являются одним из самых фундаментальных понятий теории категорий и, следовательно, появляются в большинстве ее приложений.
Определение
Если а также являются функторами между категориями а также , то естественное преобразование из к семейство морфизмов, удовлетворяющее двум требованиям.
- Естественное преобразование должно ассоциироваться с каждым объектом в , морфизм между объектами . Морфизмназывается компонент из в .
- Компоненты должны быть такими, чтобы для каждого морфизма в у нас есть:
Последнее уравнение удобно выразить коммутативной диаграммой
Если оба а также являются контравариантным , вертикальные стрелки в этой диаграмме меняются местами. Если это естественное преобразование из к , мы также пишем или же . Это также выражается выражением семейства морфизмовявляется естественным в.
Если для каждого объекта в , морфизм является изоморфизмом в, тогда считается естественный изоморфизм (или иногдаестественная эквивалентностьилиизоморфизм функторов). Два функтора а также называются естественно изоморфными или просто изоморфными, если существует естественный изоморфизм из к .
Infranatural преобразования из к это просто семейство морфизмов , для всех в . Таким образом, естественное преобразование - это сверхъестественное преобразование, для которого для каждого морфизма . Naturalizer из, нац, Является самой большой подкатегории из содержащий все объекты на котором ограничивается естественным преобразованием.
Примеры
Противоположная группа
Заявления, такие как
- «Каждая группа естественно изоморфна своей противоположной группе »
изобилуют современной математикой. Приведем теперь точный смысл этого утверждения, а также его доказательство. Рассмотрим категориювсех групп с гомоморфизмами групп как морфизмами. Если группа, определим ее противоположную группу следующим образом: тот же набор, что и , а операция определяется . Все умножения втаким образом «переворачиваются». Формирование противоположной группы становится (ковариантным) функтором из к если мы определим для любого гомоморфизма групп . Обратите внимание, что действительно является гомоморфизмом групп из к :
Содержание приведенного выше утверждения:
- "Функтор тождества естественно изоморфен противоположному функтору "
Чтобы доказать это, нам нужно предоставить изоморфизмы для каждой группы , такие что диаграмма выше коммутирует. Набор. Формулы а также покажи это является гомоморфизмом групп с обратным . Чтобы доказать естественность, начнем с гомоморфизма групп и показать , т.е. для всех в . Это правда, так как и каждый гомоморфизм групп обладает свойством .
Абелианизация
Учитывая группу , мы можем определить его абелианизацию . Позволять обозначим отображение проекции на смежные классы . Этот гомоморфизм «естественен в", т.е. он определяет естественное преобразование, которое мы сейчас проверим. Пусть быть группой. Для любого гомоморфизмау нас есть это содержится в ядре , потому что любой гомоморфизм в абелеву группу убивает коммутаторную подгруппу. потом факторы через в виде для единственного гомоморфизма . Это делает функтор и естественное преобразование, но не естественный изоморфизм, от тождественного функтора к .
Гомоморфизм Гуревича
Функторы и естественные преобразования изобилуют алгебраической топологией , примером которой служат гомоморфизмы Гуревича . Для любого точечного топологического пространства и положительное целое число существует гомоморфизм группы
от -я гомотопическая группа из к -я группа гомологии из. Оба а также - функторы из категории Top * точечных топологических пространств в категорию групп Grp , а это естественное преобразование из к .
Детерминант
Даны коммутативные кольца а также с гомоморфизмом колец , соответствующие группы обратимых матрицы а также наследуют гомоморфизм, который мы обозначим через , полученные при применении к каждому элементу матрицы. По аналогии, ограничивается гомоморфизмом групп , где обозначает группу единиц из. По факту, а также - функторы из категории коммутативных колец к . Детерминант на группе, обозначаемый , является групповым гомоморфизмом
что естественно в : поскольку определитель определяется одной и той же формулой для каждого кольца, держит. Это делает определитель естественным преобразованием из к .
Двойной двойник векторного пространства
Если является полем , то для любого векторного пространства над у нас есть "естественное" инъективное линейное отображение из векторного пространства в его двойное двойное . Эти отображения являются «естественными» в следующем смысле: двойная двойственная операция является функтором, а карты являются компонентами естественного преобразования тождественного функтора в двойной двойственный функтор.
Конечное исчисление
Для каждой абелевой группы , набор функций от целых чисел до базового набора образует абелеву группу при поточечном сложении. (Здесьстандартный забывчивый функтор .) Учитывая морфизм , карта дано левым сочинением с элементами первой сам является гомоморфизмом абелевых групп; таким образом мы получаем функтор. Оператор конечных разностей взяв каждую функцию к это карта из себе, а коллекция таких отображений дает естественное преобразование .
Тензорное присоединение
Рассмотрим категориюабелевых групп и гомоморфизмов групп. Для всех абелевых групп, а также у нас есть групповой изоморфизм
- .
Эти изоморфизмы «естественны» в том смысле, что они определяют естественное преобразование между двумя задействованными функторами. . (Здесь «оп» является противоположностью категории из, не путать с тривиальным противоположным групповым функтором на !)
Формально это тензор-гом присоединение и архетипический пример пары сопряженных функторов . Естественные преобразования часто возникают вместе с присоединенными функторами, и действительно, присоединенные функторы определяются некоторым естественным изоморфизмом. Кроме того, каждая пара сопряженных функторов оснащена двумя естественными преобразованиями (обычно не изоморфизмами), называемыми единицей и коит .
Неестественный изоморфизм
Понятие естественного преобразования категорично и утверждает (неформально), что конкретное отображение между функторами может быть выполнено последовательно по всей категории. Неформально конкретное отображение (особенно изоморфизм) между отдельными объектами (не целыми категориями) называется «естественным изоморфизмом», подразумевая, что оно фактически определено для всей категории и определяет естественное преобразование функторов; Формализация этой интуиции была мотивирующим фактором в развитии теории категорий. И наоборот, конкретное отображение между отдельными объектами можно назвать неестественным изоморфизмом (или «этот изоморфизм неестественный »), если отображение не может быть расширено до естественного преобразования на всей категории. Учитывая объект функтор (считая для простоты тождественным первый функтор) и изоморфизм доказательство неестественности легче всего показать, задав автоморфизм который не коммутирует с этим изоморфизмом (так ). Более того, если кто-то хочет доказать, что а также не являются естественно изоморфными, без ссылки на конкретный изоморфизм, это требует показать, что для любого изоморфизма, существует некоторое с которыми он не ездит; в некоторых случаях одиночный автоморфизм работает для всех кандидатов изоморфизмов в то время как в других случаях нужно показать, как построить другой для каждого изоморфизма. Карты категории играют решающую роль - любое сверхъестественное преобразование является естественным, если, например, единственными картами являются карты идентичности.
Это похоже (но более категорично) на концепции теории групп или теории модулей, где данное разложение объекта в прямую сумму «неестественно» или, скорее, «не уникально», поскольку существуют автоморфизмы, не сохраняющие прямую разложение суммы - см. Структурную теорему для конечно порожденных модулей над областью главных идеалов § Единственность, например.
Некоторые авторы выделяют условные обозначения, используя для естественного изоморфизма и для неестественного изоморфизма, сохраняя на равенство (обычно равенство отображений).
Пример: фундаментальная группа тора
В качестве примера различия между функциональным утверждением и отдельными объектами рассмотрим гомотопические группы пространства-произведения, в частности фундаментальную группу тора.
В гомотопических группах пространства продукта, естественно , продукт гомотопических групп компонентов, с изоморфизмом, заданным проекцией на два фактора, в основном потому, что отображения в пространство продукта - это в точности произведения отображений в компоненты - это функториальное утверждение.
Однако тор (который абстрактно является произведением двух окружностей) имеет фундаментальную группу, изоморфную, но расщепление это не естественно. Обратите внимание на использование, , а также : [а]
Этот абстрактный изоморфизм с произведением не является естественным, поскольку некоторые изоморфизмы не сохраняют продукт: самогомеоморфизм (рассматривается как факторное пространство ) предоставлено (геометрически поворот Дена вокруг одной из образующих кривых) действует как эта матрица на(это в общей линейной группе обратимых целочисленных матриц), который не сохраняет разложение как произведение, потому что он не диагональный. Однако, если дать тор как произведение- эквивалентно, учитывая разбиение пространства - тогда расщепление группы следует из общего утверждения, сделанного ранее. В категориальном выражении соответствующая категория (сохраняющая структуру пространства продукта) - это «карты пространств продукта, а именно пара отображений между соответствующими компонентами».
Естественность - это категориальное понятие, и оно требует очень точного определения того, какие именно данные даны - тор как пространство, которое оказывается продуктом (в категории пространств и непрерывных отображений), отличается от тора, представленного как продукт (в категория произведений двух пространств и непрерывных отображений между соответствующими компонентами).
Пример: двойственное конечномерное векторное пространство
Каждое конечномерное векторное пространство изоморфно своему сопряженному пространству, но между этими двумя пространствами может быть много различных изоморфизмов. В общем случае нет естественного изоморфизма между конечномерным векторным пространством и его двойственным пространством. [1] Однако связанные категории (с дополнительной структурой и ограничениями на отображение) действительно имеют естественный изоморфизм, как описано ниже.
Двойственное пространство конечномерного векторного пространства снова является конечномерным векторным пространством той же размерности, и они, таким образом, изоморфны, поскольку размерность является единственным инвариантом конечномерных векторных пространств над данным полем. Однако при отсутствии дополнительных ограничений (таких как требование, чтобы отображения сохраняли выбранный базис), отображение пространства в его двойственное не является уникальным, и, таким образом, такой изоморфизм требует выбора и «неестественен». В категории конечномерных векторных пространств и линейных отображений можно определить инфестественный изоморфизм от векторных пространств к их двойственным, выбрав изоморфизм для каждого пространства (скажем, выбрав базис для каждого векторного пространства и взяв соответствующий изоморфизм), но это не будет определять естественную трансформацию. Интуитивно это происходит потому, что для этого требовался выбор, строго потому, что любой такой выбор изоморфизмов не коммутирует, скажем, с нулевым отображением; см. ( MacLane & Birkhoff 1999 , §VI.4) для подробного обсуждения.
Начиная с конечномерных векторных пространств (как объектов) и тождественных и двойственных функторов, можно определить естественный изоморфизм, но для этого необходимо сначала добавить дополнительную структуру, а затем ограничить отображение «всех линейных карт» на «линейные карты, которые соблюдают это состав". Явно для каждого векторного пространства требуется, чтобы оно поставлялось с данными изоморфизма к его двойственному,. Другими словами, в качестве объектов возьмем векторные пространства с невырожденной билинейной формой . Это определяет сверхъестественный изоморфизм (изоморфизм для каждого объекта). Затем можно ограничить карты только этими картами. которые коммутируют с изоморфизмами: или, другими словами, сохранить билинейную форму: . (Эти отображения определяют натурализатор изоморфизмов.) Результирующая категория с объектами конечномерных векторных пространств с невырожденной билинейной формой и отображает линейные преобразования, которые уважают билинейную форму, по построению имеют естественный изоморфизм от единицы к двойственной форме. (каждое пространство имеет изоморфизм к своему двойственному, и карты в категории должны коммутировать). С этой точки зрения эта конструкция (добавление преобразований для каждого объекта, ограничение отображений для коммутации с ними) является полностью общей и не зависит от каких-либо конкретных свойств векторных пространств.
В этой категории (конечномерные векторные пространства с невырожденной билинейной формой, отображение линейных преобразований, которые уважают билинейную форму) двойственное отображение между векторными пространствами может быть идентифицировано как транспонирование . Часто из соображений геометрического интереса это специализировано для подкатегории, требуя, чтобы невырожденные билинейные формы обладали дополнительными свойствами, такими как симметричность ( ортогональные матрицы ), симметричность и положительно определенная ( внутреннее пространство продукта ), симметричная полуторалинейная ( эрмитовы пространства ), кососимметричное и вполне изотропное ( симплектическое векторное пространство ) и т. д. - во всех этих категориях векторное пространство естественно отождествляется со своим двойственным невырожденной билинейной формой.
Операции с естественными преобразованиями
Если а также являются естественными преобразованиями между функторами , то мы можем составить их, чтобы получить естественное преобразование . Делается это покомпонентно:. Эта «вертикальная композиция» естественного преобразования ассоциативна, имеет тождество и позволяет рассматривать совокупность всех функторов.как категория (см. ниже в разделе « Категории функторов» ).
У природных преобразований тоже есть «горизонтальная композиция». Если является естественным преобразованием между функторами а также является естественным преобразованием между функторами , то композиция функторов допускает композицию естественных преобразований . Эта операция также ассоциативна с тождеством, и тождество совпадает с таковым для вертикальной композиции. Эти две операции связаны тождеством, которое заменяет вертикальную композицию горизонтальной композицией.
Если является естественным преобразованием между функторами , а также - еще один функтор, то мы можем сформировать естественное преобразование определяя
Если с другой стороны - функтор, естественное преобразование определяется
Категории функторов
Если это любая категория и - малая категория , мы можем сформировать категорию функторов имея в качестве объектов все функторы из к и как морфизмы - естественные преобразования между этими функторами. Это образует категорию, поскольку для любого функтора есть естественная трансформация личности (который присваивает каждому объекту морфизм идентичности на ) и композиция двух естественных преобразований («вертикальная композиция» выше) снова является естественным преобразованием.
В изоморфизмы вв точности естественные изоморфизмы. То есть естественное преображение является естественным изоморфизмом тогда и только тогда, когда существует естественное преобразование такой, что а также .
Категория функторов особенно полезно, если возникает из ориентированного графа . Например, если- категория ориентированного графа • → • , то имеет в качестве объектов морфизмы , и морфизм между а также в пара морфизмов а также в такой, что «квадрат коммутирует», т. е. .
В более общем плане можно построить 2 категории чей
- 0-ячейки (объекты) - это маленькие категории,
- 1-ячейки (стрелки) между двумя объектами а также являются функторами из к ,
- 2-клетки между двумя 1-клетками (функторы) а также являются естественными преобразованиями из к .
Горизонтальная и вертикальная композиции - это композиции между естественными трансформациями, описанными ранее. Категория функторов тогда будет просто hom-категорией в этой категории (не говоря уже о малости).
Еще примеры
Каждый предел и копредел представляют собой пример простого естественного преобразования, поскольку конус представляет собой естественное преобразование с диагональным функтором в качестве области определения. В самом деле, если пределы и копределы определены непосредственно в терминах их универсального свойства , они являются универсальными морфизмами в категории функторов.
Лемма Йонеды
Если объект локальной малой категории , то присвоение определяет ковариантный функтор . Этот функтор называется представимым (в более общем смысле представимым функтором является любой функтор, естественно изоморфный этому функтору при соответствующем выборе). Естественные преобразования представимого функтора в произвольный функторполностью известны и легко описываются; это содержание леммы Йонеды .
Исторические заметки
Говорят, что Сондерс Мак Лейн , один из основоположников теории категорий, заметил: «Я изобретал категории не для изучения функторов; я изобрел их для изучения естественных преобразований». [2] Как изучение групп не будет полным без изучения гомоморфизмов , так и изучение категорий не будет полным без изучения функторов . Причина комментария Мак Лейна в том, что изучение функторов само по себе не будет полным без изучения естественных преобразований.
Контекстом замечания Мак Лейна была аксиоматическая теория гомологии . Можно показать, что различные способы построения гомологий совпадают: например, в случае симплициального комплекса группы, определенные непосредственно, будут изоморфны группам сингулярной теории. Что не может быть легко выражено без языка естественных преобразований, так это то, как группы гомологий совместимы с морфизмами между объектами и как две эквивалентные теории гомологий имеют не только одни и те же группы гомологий, но и одинаковые морфизмы между этими группами.
Смотрите также
- Неестественная трансформация
- Универсальная собственность
- Теория высших категорий
Заметки
- ^ Z n можно определить как n -кратное произведение Z или как произведение Z n - 1 и Z , которые являются слегка разными наборами (хотя их можно естественным образом идентифицировать, что будет обозначено как ≅). Здесь мы зафиксировали определение, и в любом случае они совпадают при n = 2.
Рекомендации
- ^ ( MacLane & Birkhoff 1999 , §VI.4)
- ^ ( Мак-Лейн 1998 , §I.4)
- Mac Lane, Saunders (1998), Категории для работающих математиков , Тексты для выпускников по математике 5 (2-е изд.), Springer-Verlag, p. 16, ISBN 0-387-98403-8
- Маклейн, Сондерс ; Биркгоф, Гарретт (1999), Алгебра (3-е изд.), AMS Chelsea Publishing, ISBN 0-8218-1646-2.
- Awodey, Стив (2010). Теория категорий . Оксфорд, Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. п. 156 . ISBN 978-0199237180.
- Лейн, Сондерс (1992). Пучки в геометрии и логике: первое введение в теорию топосов . Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 13 . ISBN 0387977104.
Внешние ссылки
- nLab , вики-проект по математике, физике и философии с упором на n -категориальную точку зрения
- Андре Жоял , CatLab , вики-проект, посвященный демонстрации категориальной математики
- Хиллман, Крис. «Категорический букварь». CiteSeerX 10.1.1.24.3264 : Отсутствующее или пустое
|url=
( справочное ) формальное введение в теорию категорий. - Дж. Адамек, Х. Херрлих, Г. Штеккер, Абстрактные и конкретные категории - радость кошек
- Стэнфордская энциклопедия философии : « Теория категорий » - Жан-Пьер Маркиз. Обширная библиография.
- Список научных конференций по теории категорий
- Баэз, Джон, 1996, « Сказка о n- категориях ». Неформальное введение в высшие категории.
- WildCats - это пакет теории категорий для Mathematica . Манипулирование и визуализация объектов, морфизмов , категорий, функторов , естественных преобразований, универсальных свойств .
- The catsters , YouTube-канал о теории категорий.
- Видеоархив записанных бесед, относящихся к категориям, логике и основам физики.
- Интерактивная веб-страница, которая генерирует примеры категориальных конструкций в категории конечных множеств.