Факторное пространство (топология)

Иллюстрация построения топологической сферы как фактор-пространства диска путем склеивания в одну точку точек (отмеченных синим цветом) границы диска.

В топологии и смежных областях математики , то фактор - пространство из топологического пространства при заданной эквивалентности является новым топологическим пространством , построенное на наделении фактормножества исходного топологического пространства с топологией фактора , то есть, с лучшей топологией , что делает непрерывное каноническое отображение проекции (функция , которая отображает точки их классы эквивалентности ). Другими словами, подмножество фактор-пространства открыто тогда и только тогда, когда его прообраз при канонической проекции карта открывается в исходном топологическом пространстве.

Интуитивно говоря, точки каждого класса эквивалентности идентифицируются или «склеиваются вместе» для формирования нового топологического пространства. Например, определение точек сферы , принадлежащих одному диаметру, дает проективную плоскость как фактор-пространство.

Определение [ править ]

Пусть $(X, т X)$ быть топологическое пространство , и пусть $~$ быть отношение эквивалентности на $X$ . Множество фактора , $Y = X / \$ есть множество классов эквивалентности элементов $X$ . Как обычно, класс эквивалентности $x \in X$ обозначается $[x]$ .

Фактор - пространство под $\$ является фактормножество $Y$ оснащен факторной топологией , то есть топология которых открытых множества являются подмножествами $U \subseteq Y$ такого , что открыто в $X$ . То есть, ${\ Displaystyle \ {х \ в X: [х] \ в U \}}$

{\ displaystyle \ tau _ {Y} = \ left \ {U \ substeq Y: \ {x \ in X: [x] \ in U \} \ in \ tau _ {X} \ right \}.}

Эквивалентно, открытые множества фактор-топологии - это подмножества $Y,$ которые имеют открытый прообраз при сюръективном отображении $x \to [x]$ .

Фактор-топология - это финальная топология фактор-множества по отношению к отображению $x \to [x]$ .

Факторная карта [ править ]

Карта является фактор-картой (иногда называемой идентификационной картой ), если она сюръективна , а подмножество U в Y открыто тогда и только тогда, когда открыто. Эквивалентно, это фактор-карта, если она включена и снабжена окончательной топологией по отношению к . ${\ displaystyle f: X \ to Y}$ ${\ displaystyle f ^ {- 1} (U)}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle f}$

Учитывая отношение эквивалентности на , каноническое отображение является фактор-отображением. ${\ displaystyle \ sim}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle q: X \ to X / {\ sim}}$

Примеры [ править ]

Склеивание . Топологи говорят о склейке точек. Если X - топологическое пространство, склейка точек x и y в X означает рассмотрение фактор-пространства, полученного из отношения эквивалентности a ~ b тогда и только тогда, когда a = b или a = x , b = y (или a = y , b = х ).
Рассмотрим единичный квадрат $I 2 = [0,1] \times [0,1]$ и отношение эквивалентности ~, порожденное требованием, чтобы все граничные точки были эквивалентны, тем самым отождествляя все граничные точки с одним классом эквивалентности. Тогда $я 2 / ~$ является гомеоморфно к сфере $S 2$ .

Например, гомеоморфен кругу .

{\ Displaystyle [0,1] / \ {0,1 \}}

{\ Displaystyle S ^ {1}}

Прилегающее пространство .более общем, предположимчто X является пространством иявляется подпространство в X . Можно отнести все точки в A к одному классу эквивалентности и оставить точки вне A эквивалентными только самим себе. Полученный факторпространство обозначаются Й /. 2-сферато гомеоморфно замкнутому кругу с его границы определены в одной точке:. ${\ Displaystyle D ^ {2} / \ partial {D ^ {2}}}$
Рассмотрим множество R из вещественных чисел с обычной топологией, и писать х ~ у , если и только если х - у является целым числом . Тогда фактор - пространство Х / \ является гомеоморфным к единичной окружности S ¹ через гомеоморфизм , который посылает класс эквивалентности х ехра (2π IX ).
Обобщение предыдущего примера состоит в следующем: Пусть топологическая группа G действует непрерывно на пространстве X . Можно сформировать отношение эквивалентности на X , сказав, что точки эквивалентны тогда и только тогда, когда они лежат на одной орбите . Фактор - пространство под этой связи называется пространством орбит , обозначаемый X / G . В предыдущем примере G = Z действует на R переводом. Пространство орбит R / Z гомеоморфно S ¹ .

Примечание : обозначение R / Z несколько неоднозначно. Если понимать Z как группу, действующую на R посредством сложения, то фактор - это окружность. Однако, если Z рассматривается как подпространство в R , то фактор представляет собой счетно бесконечный букет окружностей, соединенных в одной точке.

Свойства [ править ]

Факторные отображения q : X → Y характеризуются среди сюръективных отображений следующим свойством: если Z - любое топологическое пространство и f : Y → Z - любая функция, то f непрерывно тогда и только тогда, когда f ∘ q непрерывно.

Фактор-пространство X / ~ вместе с фактор-отображением q : X → X / ~ характеризуется следующим универсальным свойством : если g : X → Z - непрерывное отображение, такое что из a ~ b следует g ( a ) = g ( b ) для всех a и b в X , то существует единственное непрерывное отображение f : X / ~ → Z такое, что g= f ∘ q . Мы говорим, что g опускается до частного .

Следовательно, непрерывные отображения, определенные на X / ~, являются в точности теми отображениями, которые возникают из непрерывных отображений, определенных на X, которые соблюдают отношение эквивалентности (в том смысле, что они отправляют эквивалентные элементы в одно и то же изображение). Этот критерий обильно используется при изучении факторпространств.

Учитывая непрерывную сюръекцию q : X → Y, полезно иметь критерии, по которым можно определить, является ли q фактор-картой. Двумя достаточными критериями являются то, что q должно быть открыто или закрыто . Обратите внимание, что этих условий достаточно , но не обязательно . Легко построить примеры факторных отображений, которые не являются ни открытыми, ни закрытыми. Для топологических групп фактор-карта открыта.

Совместимость с другими топологическими понятиями [ править ]

Разделение
- В общем, фактор-пространства плохо себя ведут по отношению к аксиомам разделения. Свойства разделения X не должны быть унаследованы Х / \, а Х / \ может иметь свойство разделения не разделяет X .
- Х / \ является Т1 пространством тогда и только тогда , когда каждый класс эквивалентности \ замкнуто в X .
- Если фактор карта открыта , то X / ~ является хаусдорфовым тогда и только тогда , когда ~ замкнутое подмножество пространства продукта X × X .
Связность
- Если пространство связано или путь связан , то все его факторпространства тоже.
- Факторное пространство односвязного или стягиваемого пространства не обязательно разделяет эти свойства.
Компактность
- Если пространство компактно, то все его фактор-пространства тоже.
- Факторпространство локально компактного пространства не обязательно должно быть локально компактным.
Измерение
- Топологическая размерность факторно пространства может быть больше (равно как и меньше) , чем размер исходного пространства; кривые заполнения пространства дают такие примеры.

См. Также [ править ]

Топология [ править ]

Несвязное объединение (топология)
Конечная топология - лучшая топология, делающая некоторые функции непрерывными
Конус отображения (топология)
Пространство продукта
Подпространство (топология)
Топологическое пространство - Математическая структура с понятием близости.
Покрытие пространства

Алгебра [ править ]

Конус отображения (гомологическая алгебра) - инструмент в гомологической алгебре
Факторная категория
Факторная группа
Факторное пространство (линейная алгебра)

Ссылки [ править ]

Уиллард, Стивен (1970). Общая топология . Ридинг, Массачусетс: Эддисон-Уэсли . ISBN 0-486-43479-6.