Проективная плоскость

Эти параллельные линии пересекаются в точке схода «на бесконечности». В проективном плане это действительно так.

В математике , А проективная плоскость является геометрической структурой , которая расширяет понятие плоскости . В обычной евклидовой плоскости две прямые обычно пересекаются в одной точке, но есть некоторые пары прямых (а именно, параллельные прямые), которые не пересекаются. Проективную плоскость можно рассматривать как обычную плоскость, снабженную дополнительными «бесконечно удаленными точками», где пересекаются параллельные линии. Таким образом, любые две различные прямые на проективной плоскости пересекаются в одной и только одной точке.

Художники эпохи Возрождения , развивая технику рисования в перспективе , заложили основу этой математической темы. Типичным примером является реальная проективная плоскость , также известная как расширенная евклидова плоскость . ^[1] Этот пример, в несколько ином виде, важен в алгебраической геометрии , топологии и проективной геометрии, где он может по-разному обозначаться PG (2, R ) , RP ² или P ₂ ( R ) среди других обозначений. Есть много других проективных планов, как бесконечных, например,комплексная проективная плоскость и конечная, например, плоскость Фано .

Проективная плоскость - это 2-мерное проективное пространство , но не все проективные плоскости могут быть вложены в 3-мерные проективные пространства. Такая вложимость является следствием свойства, известного как теорема Дезарга , не присущего всем проективным плоскостям.

Определение [ править ]

Проективная плоскость состоит из набора строк , набора точек , а также соотношения между точками и линиями , называемой частотой , обладающей следующими свойствами: ^[2]

Второе условие означает отсутствие параллельных прямых . Последнее условие исключает так называемые вырожденные случаи (см. Ниже ). Термин «инцидент» используется, чтобы подчеркнуть симметричный характер отношений между точками и линиями. Таким образом, выражение «точка Р падает с линией л » используется вместо либо « Р находится на л » или « ℓ проходит через Р ».

Примеры [ править ]

Расширенная евклидова плоскость [ править ]

Чтобы превратить обычную евклидову плоскость в проективную плоскость, выполните следующие действия:

1. Каждому параллельному классу линий (максимальный набор взаимно параллельных линий) свяжите одну новую точку. Этот момент следует рассматривать как инцидент с каждой линией в своем классе. Добавленные новые точки отличаются друг от друга. Эти новые точки называются бесконечно удаленными точками .
2. Добавьте новую линию, которая считается инцидентной со всеми бесконечно удаленными точками (и никакими другими точками). Эта линия называется в линию на бесконечности .

Расширенная структура является проективной плоскостью и называется расширенной евклидовой плоскостью или реальной проективной плоскостью . Описанный выше процесс, используемый для его получения, называется «проективным завершением» или проективизацией . Эта плоскость также может быть построена, начиная с R ^3, рассматриваемого как векторное пространство, см. § Построение векторного пространства ниже.

Проективный самолет Моултона [ править ]

Точки плоскости Моултона - это точки евклидовой плоскости с обычными координатами. Чтобы создать плоскость Моултона из евклидовой плоскости, некоторые линии переопределяются. То есть некоторые из их наборов точек будут изменены, но другие линии останутся без изменений. Переопределите все линии с отрицательным наклоном так, чтобы они выглядели как «изогнутые» линии, что означает, что эти линии сохраняют свои точки с отрицательными координатами x , но остальные их точки заменяются точками линии с тем же перехватом y но в два раза больше крутизны, если их координата x положительна.

Плоскость Моултона имеет параллельные классы прямых и является аффинной плоскостью . Его можно проективизировать, как в предыдущем примере, чтобы получить проективную плоскость Моултона . Теорема Дезарга не является действительной теоремой ни на плоскости Моултона, ни на проективной плоскости Моултона.

Конечный пример [ править ]

В этом примере всего тринадцать точек и тринадцать строк. Обозначим точки P ₁ , ..., P ₁₃ и прямые m ₁ , ..., m ₁₃ . Отношение инцидентности (какие точки на каких линиях) может быть задано следующей матрицей инцидентности . Строки помечаются точками, а столбцы - линиями. 1 в строке i и столбце j означает, что точка P _i находится на линии m _j , а 0 (который мы здесь представляем пустой ячейкой для удобства чтения) означает, что они не инцидентны. Матрица имеет нормальную форму Пейдж-Векслера.

	м 1	м 2	м 3	м 4	м 5	м 6	м 7	м 8	м 9	м 10	м 11	м 12	м 13
П 1	1	1	1	1
П 2	1				1	1	1
P 3	1							1	1	1
Стр. 4	1										1	1	1
Стр. 5		1			1			1			1
Стр. 6		1				1			1			1
Стр. 7		1					1			1			1
Стр. 8			1		1				1				1
Стр. 9			1			1				1	1
Стр 10			1				1	1				1
Стр. 11				1	1					1		1
Стр. 12				1		1		1					1
Стр. 13				1			1		1		1

Чтобы проверить условия, которые делают это проективной плоскостью, заметьте, что каждые две строки имеют ровно один общий столбец, в котором появляются единицы (каждая пара различных точек находится ровно на одной общей строке), и что каждые два столбца имеют ровно одну общую строку, в которой Появляются единицы (каждая пара различных линий пересекается ровно в одной точке). Среди многих возможностей точки P ₁ , P ₄ , P ₅ и P ₈ , например, будут удовлетворять третьему условию. Этот пример известен как проективная плоскость третьего порядка .

Построение векторного пространства [ править ]

Хотя может показаться, что бесконечно удаленная линия расширенной реальной плоскости имеет другую природу, чем другие линии этой проективной плоскости, это не так. Другая конструкция той же проективной плоскости показывает, что ни одна линия не может быть отделена (по геометрическим причинам) от другой. В этой конструкции каждая «точка» реальной проективной плоскости является одномерным подпространством ( геометрической линией), проходящим через начало координат в 3-мерном векторном пространстве, а «линия» в проективной плоскости возникает из ( геометрической ) плоскость через начало координат в 3-м пространстве. Эту идею можно обобщить и уточнить следующим образом. ^[3]

Пусть K любое деление кольцо (skewfield). Пусть K ³ обозначает набор всех троек x = ( x ₀ , x ₁ , x ₂ ) элементов K ( декартово произведение, рассматриваемое как векторное пространство ). Для любого ненулевого x в K ³ минимальное подпространство K ^3, содержащее x (которое может быть визуализировано как все векторы на прямой, проходящей через начало координат), является подмножеством

${\ displaystyle \ {kx: k \ in K \}}$

из K ³ . Аналогично, пусть x и y являются линейно независимыми элементами K ³ , что означает, что kx + my = 0 влечет, что k = m = 0 . Минимальное подпространство в K ^3, содержащее x и y (которое может быть визуализировано как все векторы на плоскости, проходящей через начало координат), является подмножеством

${\ displaystyle \ {kx + my: k, m \ in K \}}$

из K ³ . Это 2-мерное подпространство содержит различные одномерные подпространства до начала координат, которые могут быть получены путем фиксации k и m и взятия кратных результирующего вектора. При выборе разных значений k и m с одинаковым соотношением будет получена одна и та же линия.

Проективная плоскость над K , обозначаемой PG (2, K ) или K P ² , имеет множество точек , состоящие из всех 1-мерных подпространств в K ³ . Подмножество L точек PG (2, K ) представляет собой линию в PG (2, K ) , если существует 2-мерное подпространство K ³ , множество 1-мерных подпространств в точности л .

Проверка того, что эта конструкция дает проективную плоскость, обычно остается упражнением по линейной алгебре.

Альтернативный (алгебраический) взгляд на эту конструкцию следующий. Точки этой проективной плоскости являются классами эквивалентности множества K ³ ∖ {(0, 0, 0)} по модулю отношения эквивалентности

x ~ kx для всех k в K ^× .

Прямые на проективной плоскости определяются точно так же, как указано выше.

Координаты ( x ₀ , x ₁ , x ₂ ) точки в PG (2, K ) называются однородными координатами . Каждая тройка ( x ₀ , x ₁ , x ₂ ) представляет четко определенную точку в PG (2, K ), за исключением тройки (0, 0, 0), которая не представляет точки. Однако каждая точка в PG (2, K ) представлена ​​множеством троек.

Если K - топологическое пространство , то K P ² наследует топологию через топологию произведения , подпространства и фактор- топологий.

Классические примеры [ править ]

Вещественная проективная плоскость RP ² , возникает тогда , когда К берется , чтобы быть действительными числами , R . Как замкнутое неориентируемое вещественное 2- многообразие , оно служит фундаментальным примером в топологии. ^[4]

В этой конструкции рассмотрим единичную сферу с центром в начале координат в R ³ . Каждая из линий R ³ в этой конструкции пересекает сферу в двух противоположных точках. Поскольку линия R ³ представляет точку RP ² , мы получим ту же модель RP ² , идентифицируя противоположные точки сферы. Линии RP ² будут большими кругами сферы после этого определения точек противоположностей. Это описание дает стандартную модель эллиптической геометрии .

Комплексный проективная плоскость СР - ² , возникает тогда , когда К берется в комплексных числах , С . Это замкнутое комплексное 2-многообразие и, следовательно, замкнутое ориентируемое вещественное 4-многообразие. Это и проективные плоскости над другими полями (известные как папповские плоскости ) служат фундаментальными примерами в алгебраической геометрии . ^[5]

Кватернионно- проективная плоскость HP ² также представляет самостоятельный интерес. ^{[ необходима цитата ]}

Плоскости конечного поля [ править ]

По теореме Веддерберна конечное тело должно быть коммутативным и, следовательно, быть полем. Таким образом, конечные примеры этой конструкции известны как «плоскости поля». Если взять K за конечное поле из q = p ⁿ элементов с простым p, получится проективная плоскость из q ² + q + 1 точек. Плоскости поля обычно обозначаются PG (2, q ), где PG обозначает проективную геометрию, «2» - размерность, а q - порядок.плоскости (на единицу меньше количества точек на любой прямой). Плоскость Фано, обсуждаемая ниже, обозначается PG (2,2). Третий пример выше является проективной плоскости PG (2,3).

Плоскость Фано является проективной плоскостью , возникающей из поля двух элементов. Это наименьшая проективная плоскость, состоящая всего из семи точек и семи линий. На рисунке справа семь точек показаны в виде маленьких черных шариков, а семь линий показаны в виде шести отрезков и круга. Однако можно было бы эквивалентно рассматривать шары как «линии», а отрезки и окружность - как «точки» - это пример двойственности в проективной плоскости: если линии и точки меняются местами, результат все равно остается проективная плоскость (см. ниже ). Перестановка семи точек, которая переносит коллинеарные точки (точки на одной линии) в коллинеарные точки, называется коллинеацией илисимметрия плоскости. Коллинеации геометрии образуют группу относительно композиции, и для плоскости Фано эта группа (PΓL (3,2) = PGL (3,2)) имеет 168 элементов.

Теорема Дезарга и дезарговы плоскости [ править ]

Теорема Дезарг является общеобязательной в проективной плоскости тогда и только тогда , когда самолет может быть построен из трехмерного векторного пространства над skewfield как выше . ^[6] Эти самолеты называются Desarguesian , в честь Жирара Дезарга . Реальный (или сложная) проективная плоскость и проективная плоскость порядка 3 данных выше примеры дезарговых проективных плоскостей. Проективные плоскости, которые не могут быть построены таким образом, называются недезарговыми плоскостями , и приведенная выше плоскость Моултона является примером одной из них. PG (2, K) обозначение зарезервировано для дезарговских плоскостей. Когда K является полем , это очень распространенный случай, они также известны как плоскости поля, и если поле является конечным полем, их можно назвать плоскостями Галуа .

Подпланы [ править ]

Подплан проективной плоскости представляет собой подмножество точек плоскости , которые сами образуют проективную плоскость с теми же инцидентностью отношениями.

( Bruck 1955 ) доказывает следующую теорему. Пусть Π конечная проективная плоскость порядка N с соответствующим подпланом П ₀ порядком М . Тогда либо N = M ² или N ≥ М ² + М .

Когда N - квадрат, подплоскости порядка √ N называются подплосками Бэра . Каждая точка плоскости лежит на линии подплоскости Бэра, и каждая линия плоскости содержит точку подплоскости Бэра.

В конечных дезарговых плоскостях PG (2, p ⁿ ) подплоскости имеют порядки, которые являются порядками подполей конечного поля GF ( p ⁿ ), то есть p ^i, где i - делитель n . Однако в недезарговских плоскостях теорема Брука дает единственную информацию о порядках подпланов. Случай равенства в неравенстве этой теоремы не известен. Независимо от того, существует ли подплоскость порядка M в плоскости порядка N с M ² + M = Nэто открытый вопрос. Если бы такие подплоскости существовали, были бы проективные плоскости составного (непростого) порядка.

Подпланы Фано [ править ]

Фано подплан является подплан изоморфна PG (2,2), уникальный проективная плоскость порядка 2.

Если вы рассматриваете четырехугольник (набор из 4 точек, не имеющих трех коллинеарных) в этой плоскости, точки определяют шесть линий плоскости. Остальные три точки (называемые диагональными точками четырехугольника) - это точки, где встречаются прямые, не пересекающиеся в одной точке четырехугольника. Седьмая линия состоит из всех диагональных точек (обычно нарисованных в виде круга или полукруга).

В конечных дезарговых плоскостях PG (2, q ) подплоскости Фано существуют тогда и только тогда, когда q четно (то есть степень двойки). Ситуация в недезарговских самолетах неурегулирована. Они могли существовать в любом недезарговом плане порядка выше 6, и действительно, они были обнаружены во всех недезарговых планах, в которых их искали (как в нечетном, так и в четном порядке).

Открытый вопрос: каждая ли недезаргова плоскость содержит подплоскость Фано?

Теорема, касающаяся подплоскостей Фано из ( Gleason 1956 ):

Если каждый четырехугольник в конечной проективной плоскости имеет коллинеарные диагональные точки, то плоскость дезаргова (четного порядка).

Аффинные плоскости [ править ]

Проективизация евклидовой плоскости произвела действительную проективную плоскость. Обратная операция - начиная с проективной плоскости, удаляем одну линию и все точки, соприкасающиеся с этой прямой - дает аффинную плоскость .

Определение [ править ]

Более формально аффинная плоскость состоит из набора прямых и набора точек , а также отношения между точками и прямыми, называемого инцидентностью , имеющего следующие свойства:

Второе условие означает наличие параллельных линий и известно как аксиома Playfair . Выражение «не соответствует» в этом условии является сокращением для «не существует точки, инцидентной обеим линиям».

Евклидова плоскость и плоскость Моултона являются примерами бесконечных аффинных плоскостей. Конечная проективная плоскость создаст конечную аффинную плоскость, когда одна из ее прямых и точки на ней будут удалены. Порядок конечной аффинной плоскости является число точек на любой из его линий (это будет такое же количество , как и порядок проективной плоскости , из которой он выходит). Аффинные плоскости, которые возникают из проективных плоскостей PG (2, q ), обозначаются AG (2, q ).

Существует проективная плоскость порядка N , если и только если существует аффинная плоскость порядка N . Когда есть только одна аффинная плоскость порядка N, есть только одна проективная плоскость порядка N , но обратное неверно. Аффинные плоскости, образованные удалением различных прямых проективной плоскости, будут изоморфными тогда и только тогда, когда удаленные прямые находятся на одной орбите группы коллинеаций проективной плоскости. Эти утверждения верны и для бесконечных проективных плоскостей.

Построение проективных плоскостей из аффинных плоскостей [ править ]

Аффинная плоскость K ² над K вкладывается в K P ² через карту, переводящую аффинные (неоднородные) координаты в однородные координаты,

${\ displaystyle (x_ {1}, x_ {2}) \ mapsto (1, x_ {1}, x_ {2}).}$

Дополнением к изображению является множество точек вида (0, x ₁ , x ₂ ). С точки зрения только что данного вложения эти точки являются бесконечно удаленными . Они составляют линию в K P ^2, а именно линию, выходящую из плоскости

${\displaystyle \{k(0,0,1)+m(0,1,0):k,m\in K\}}$

в K ³ - называемая линия на бесконечности . Бесконечные точки - это «лишние» точки, где параллельные прямые пересекаются при построении расширенной реальной плоскости; точка (0, x ₁ , x ₂ ) - это место пересечения всех линий наклона x ₂ / x ₁ . Рассмотрим, например, две строки

${\displaystyle u=\{(x,0):x\in K\}}$

${\displaystyle y=\{(x,1):x\in K\}}$

в аффинной плоскости K ² . Эти линии имеют наклон 0 и не пересекаются. Их можно рассматривать как подмножества K P ² посредством вложения выше, но эти подмножества не являются прямыми в K P ² . Добавьте точку (0, 1, 0) к каждому подмножеству; то есть пусть

${\displaystyle {\bar {u}}=\{(1,x,0):x\in K\}\cup \{(0,1,0)\}}$

${\displaystyle {\bar {y}}=\{(1,x,1):x\in K\}\cup \{(0,1,0)\}}$

Это строки в K P ² ; ū возникает из самолета

${\displaystyle \{k(1,0,0)+m(0,1,0):k,m\in K\}}$

в K ³ , а ȳ возникает из плоскости

${\displaystyle {k(1,0,1)+m(0,1,0):k,m\in K}.}$

Проективные прямые ū и ȳ пересекаются в точках (0, 1, 0). Фактически, все прямые в K ² наклона 0, когда проецируются таким образом, пересекаются в (0, 1, 0) в K P ² .

Приведенное выше вложение K ² в K P ² не единственно. Каждое вложение порождает собственное понятие точек на бесконечности. Например, вложение

${\displaystyle (x_{1},x_{2})\to (x_{2},1,x_{1}),}$

имеет в качестве дополнения те точки вида ( x ₀ , 0, x ₂ ), которые затем рассматриваются как бесконечно удаленные точки.

Когда аффинная плоскость не имеет формы K ² с телом K , она все еще может быть вложена в проективную плоскость, но конструкция, использованная выше, не работает. Обычно используемый метод выполнения вложения в этом случае включает расширение набора аффинных координат и работу в более общей «алгебре».

Обобщенные координаты [ править ]

Можно построить координатное «кольцо» - так называемое плоское тернарное кольцо (а не настоящее кольцо), соответствующее любой проективной плоскости. Плоское тройное кольцо не обязательно должно быть полем или телом, и есть много проективных плоскостей, которые не построены из тела. Они называются недезарговскими проективными плоскостями и являются активной областью исследований. Кэли плоскость ( ОП ² ), проективная плоскость над октонионами , является одним из них , потому что октонионы не образуют кольцо с разделением. ^[3]

Наоборот, по планарному тернарному кольцу (R, T) можно построить проективную плоскость (см. Ниже). Отношения не один к одному. Проективной плоскости можно сопоставить несколько неизоморфных плоских тернарных колец. Тернарный оператор T может быть использован для создания двух бинарных операторов на множестве R:

a + b = T (a, 1, b) и

a • b = T (a, b, 0).

Тернарный оператор является линейным, если T (x, m, k) = x • m + k. Когда набор координат проективной плоскости фактически образует кольцо, линейный тернарный оператор может быть определен таким образом, используя операции с кольцом справа, чтобы создать плоское троичное кольцо.

Оказывается, что алгебраические свойства этого плоского тройного координатного кольца соответствуют геометрическим свойствам инцидентности плоскости. Например, теорема Дезарга соответствует координатному кольцу, полученному из телесного кольца , а теорема Паппа соответствует тому, что это кольцо получается из коммутативного поля. Проективная плоскость, универсально удовлетворяющая теореме Паппа, называется папповой плоскостью . Альтернативные , не обязательно ассоциативные , алгебры с делением, такие как октонионы, соответствуют плоскостям Муфанг .

Нет известного чисто геометрического доказательства чисто геометрического утверждения о том, что из теоремы Дезарга следует теорема Паппа в конечной проективной плоскости (конечные дезарговы плоскости являются папповыми). (Обратное верно для любой проективной плоскости и геометрически доказуемо, но конечность важна в этом утверждении, поскольку существуют бесконечные дезарговы плоскости, не являющиеся папповскими.) В наиболее распространенном доказательстве используются координаты в телах и теорема Веддерберна о конечных телах. должен быть коммутативным; Бамберг и Пенттила (2015) приводят доказательство, использующее только более «элементарные» алгебраические факты о телах.

Чтобы описать конечную проективную плоскость порядка N (≥ 2), используя неоднородные координаты и плоское тернарное кольцо:

Обозначим одну точку ( ∞ ).

Обозначьте N точек, ( r ), где r = 0, ..., ( N  - 1).

Обозначьте N ² точек, ( r , c ), где r , c = 0, ..., ( N  - 1).

По этим точкам постройте следующие линии:

Одна строка [ ∞ ] = {( ∞ ), (0), ..., ( N  - 1)}

N строк [ c ] = {( ∞ ), ( c , 0), ..., ( c , N  - 1)}, где c = 0, ..., ( N  - 1)

N ² прямых [ r , c ] = {( r ) и точки ( x , T ( x , r , c ))}, где x , r , c = 0, ..., ( N  - 1) и T - тернарный оператор плоского тернарного кольца.

Например, для N = 2 мы можем использовать символы {0,1}, связанные с конечным полем порядка 2. Тернарная операция, определенная как T (x, m, k) = xm + k, с операциями справа, умножение и сложение в поле дает следующее:

Одна линия [ ∞ ] = {( ∞ ), (0), (1)},

2 строки [ c ] = {( ∞ ), ( c , 0), ( c , 1): c = 0, 1},

[0] = {( ∞ ), (0,0), (0,1)}

[1] = {( ∞ ), (1,0), (1,1)}

4 строки [ r , c ]: ( r ) и точки ( i , ir + c ), где i = 0, 1: r , c = 0, 1.

[0,0]: {(0), (0,0), (1,0)}

[0,1]: {(0), (0,1), (1,1)}

[1,0]: {(1), (0,0), (1,1)}

[1,1]: {(1), (0,1), (1,0)}

Вырожденные самолеты [ править ]

Вырожденные плоскости не удовлетворяют третьему условию в определении проективной плоскости. Они не являются достаточно сложными структурно, чтобы быть интересными сами по себе, но время от времени они возникают как частные случаи в общих аргументах. Согласно ( Albert & Sandler, 1968 ), существует семь видов вырожденных плоскостей . Они есть:

1. пустой набор;
2. одна точка, без линий;
3. одна линия, без очков;
4. единственная точка, набор линий, точка инцидентна всем линиям;
5. одна линия, набор точек, все точки соприкасаются с линией;
6. точка P, инцидентная прямой m, произвольный набор прямых, инцидентных P, и произвольный набор точек, инцидентных прямой m;
7. точка P, не инцидентная прямой m, произвольный (может быть пустым) набор прямых, инцидентных P, и все точки пересечения этих прямых с m.

Эти семь случаев не являются независимыми, четвертый и пятый можно рассматривать как частные случаи шестого, а второй и третий - частные случаи четвертого и пятого соответственно. Частный случай седьмой плоскости без дополнительных линий можно рассматривать как восьмую плоскость. Таким образом, все случаи могут быть организованы в два семейства вырожденных плоскостей следующим образом (это представление предназначено для конечных вырожденных плоскостей, но может быть естественным образом расширено до бесконечности):

1) Для любого количества точек P ₁ , ..., P _n и прямых L ₁ , ..., L _m ,

L ₁ = { P ₁ , P ₂ , ..., P _n }

L ₂ = { P ₁ }

L ₃ = { P ₁ }

...

L _m = { P ₁ }

2) Для любого количества точек P ₁ , ..., P _n и прямых L ₁ , ..., L _n , (такое же количество точек, как и прямых)

L ₁ = { P ₂ , P ₃ , ..., P _n }

L ₂ = { P ₁ , P ₂ }

L ₃ = { P ₁ , P ₃ }

...

L _n = { P ₁ , P _n }

Коллинеации [ править ]

Коллинеация проективной плоскости является биективное отображение плоскости на себя, переводящее точки на точки и линии для линий, пресервы падения, а это означает , что если σ биекция и точка P находится на прямой т, то P ^σ на м ^σ . ^[7]

Если σ является коллинеация проективной плоскости, точка Р с Р = P ^σ называется фиксированной точкой из сг , а линия т с т = т ^σ называется фиксированной линии из  сг . Точки на фиксированной прямой не обязательно должны быть фиксированными, их изображения под σ просто должны лежать на этой прямой. Набор фиксированных точек и фиксированных линий коллинеации образуют замкнутую конфигурацию , которая представляет собой систему точек и линий, удовлетворяющих первым двум, но не обязательно третьему условию в определении.проективной плоскости. Таким образом, неподвижная точка и фиксированная линейная структура для любой коллинеации либо сами по себе образуют проективную плоскость, либо вырожденную плоскость . Коллинеации, фиксированная структура которых образует плоскость, называются плоскими коллинеациями .

Гомография [ править ]

Гомография (или проективное преобразование ) из PG (2, К ) является коллинеацией этого типа проективной плоскости , которая представляет собой линейное преобразование основного векторного пространства. Используя однородные координаты, они могут быть представлены обратимыми матрицами 3 × 3 над K, которые действуют на точки PG (2, K ) посредством y = M x ^T , где x и y - точки в K ³ (векторах), а M - обратима 3 × 3 матрица над K . ^[8]Две матрицы представляют собой одно и то же проективное преобразование, если одна из них является постоянным кратным другой. Таким образом, группа проективных преобразований является фактором общей линейной группы по скалярным матрицам, называемым проективной линейной группой .

Другой тип коллинеация PG (2, K ) индуцируется любой автоморфизм из K , которые называются автоморфными коллинеации . Если α - автоморфизм K , то коллинеация, задаваемая формулой (x ₀ , x ₁ , x ₂ ) → (x ₀ ^α , x ₁ ^α , x ₂ ^α ), является автоморфной коллинеацией. Основная теорема проективной геометрии говорит , что все коллинеации PG (2, K ) представляют собой композиция homographies и автоморфных коллинеации. Автоморфные коллинеации - это плоские коллинеации.

Плоская двойственность [ править ]

Проективная плоскость аксиоматически определяется как структура инцидентности в терминах набора P точек, набора L прямых и отношения инцидентности I, которое определяет, какие точки лежат на каких линиях. Поскольку P и L - только множества, их роли можно поменять местами и определить плоскую дуальную структуру .

Меняя местами «точки» и «линии» в

C = ( P , L , I )

получаем двойственную структуру

С * = ( L , P , I *),

где I * есть обратная зависимость от I .

В проективной плоскости утверждение, включающее точки, линии и инцидентность между ними, которое получается из другого такого утверждения путем замены слов «точка» и «линия» и внесения любых необходимых грамматических корректировок, называется плоским двойственным утверждением первого утверждения. . Плоское двойственное утверждение: «Две точки находятся на единственной прямой». "Две линии встречаются в уникальной точке". Формирование плоского двойственного высказывания называется дуализирующим высказыванием.

Если утверждение верно в проективной плоскости C, то плоскость, двойственная к этому утверждению, должна быть истинной в дуальной плоскости C *. Это следует из того, что дуализация каждого утверждения в доказательстве «в C» дает утверждение доказательства «в C *».

В проективной плоскости C можно показать, что существует четыре прямые, ни одна из которых не может быть параллельной. Дуализация этой теоремы и первых двух аксиом в определении проективной плоскости показывает, что плоская дуальная структура C * также является проективной плоскостью, называемой дуальной плоскостью к C.

Если C и C * изоморфны, то C называется самодуальным . Проективные плоскости PG (2, K ) для любого тела K самодвойственны. Однако есть недезарговские планы, которые не являются самодвойственными, например, планы Холла, и некоторые из них, такие как планы Хьюза .

Принцип Plane Двойственность говорит , что дуализирующий любой теорему самодуального проективной плоскость С дает еще одну теорему действующей в С.

Корреляции [ править ]

Двойственность является отображение проективной плоскости С = ( Р , L , I) , к его двойной плоскости С * = ( L , P , I *) (см выше ) , который сохраняет частоту. То есть двойственность σ будет отображать точки в прямые, а прямые в точки ( P ^σ = L и L ^σ = P ) таким образом, что если точка Q находится на прямой m (обозначается Q I m ), то Q ^σ Я * м ^σ ⇔ м ^σI Q ^σ . Двойственность, являющаяся изоморфизмом, называется корреляцией . ^[9] Если корреляция существует, то проективная плоскость C самодуальна.

В частном случае, когда проективная плоскость имеет тип PG (2, K ) , где K - тело, двойственность называется взаимностью . ^[10] Эти планы всегда самодвойственны. По основной теореме проективной геометрии взаимность представляет собой композицию из автоморфной функции из K и омографии . Если задействованный автоморфизм является тождеством, то взаимность называется проективной корреляцией .

Корреляция второго порядка ( инволюция ) называется полярностью . Если корреляция φ не является полярностью, тогда φ ² является нетривиальной коллинеацией.

Конечные проективные плоскости [ править ]

Можно показать, что проективная плоскость имеет то же количество прямых, что и точек (бесконечных или конечных). Таким образом, для каждой конечной проективной плоскости существует целое число N ≥ 2 такое, что плоскость имеет

N ² + N + 1 балл,

N ² + N + 1 строк,

N + 1 балл на каждой строке, и

N + 1 линия через каждую точку.

Число N называется порядком проективной плоскости.

Проективная плоскость порядка 2 называется плоскостью Фано . См. Также статью о конечной геометрии .

Используя конструкцию векторного пространства с конечными полями, существует проективная плоскость порядка N = p ⁿ для каждой степени простого p ⁿ . Фактически, для всех известных конечных проективных плоскостей порядок N является степенью простого числа.

Существование конечных проективных плоскостей других порядков - открытый вопрос. Только общее ограничение известно на порядок является теорема Брука-Райзера-Чоула , что если порядок N является конгруэнтны 1 или 2 мод 4, она должна быть сумма двух квадратов. Это исключает N = 6. Следующий случай N = 10 был исключен массивными компьютерными вычислениями. Больше ничего не известно; в частности, остается открытым вопрос о том, существует ли конечная проективная плоскость порядка N = 12.

Другая давняя открытая проблема заключается в том, существуют ли конечные проективные плоскости простого порядка, которые не являются конечными плоскостями поля (эквивалентно, существует ли недезаргова проективная плоскость простого порядка).

Проективная плоскость порядка N - это система Штейнера S (2, N  + 1, N ²  +  N  + 1) (см. Систему Штейнера ). Наоборот, можно доказать, что все системы Штейнера этого вида (λ = 2) являются проективными плоскостями.

Число взаимно ортогональных латинских квадратов порядка N не превосходит N - 1. N - 1 существует , если и только если существует проективная плоскость порядка N .

Хотя классификация всех проективных плоскостей далека от завершения, известны результаты для небольших порядков:

• 2: все изоморфны PG (2,2)
• 3: все изоморфны PG (2,3)
• 4: все изоморфны PG (2,4)
• 5: все изоморфны PG (2,5)
• 6: невозможно , так как порядка проективной плоскости, доказанной переночуй , который показал , что Euler «s тридцать шесть офицеров проблема не имеет решения. Однако связь между этими проблемами не была известна, пока Бозе не доказал это в 1938 году ^[11].
• 7: все изоморфны PG (2,7)
• 8: все изоморфны PG (2,8)
• 9: PG (2,9) и еще три различных (неизоморфных) недезарговых плоскости . (Все описано в ( Room & Kirkpatrick 1971 )).
• 10: невозможно в порядке проективной плоскости, что доказано тяжелым компьютерным расчетом. ^[12]
• 11: как минимум PG (2,11), другие неизвестны, но возможны.
• 12: предполагается, что это невозможно как порядок проективной плоскости.

Проективные плоскости в многомерных проективных пространствах [ править ]

Проективные плоскости можно рассматривать как проективные геометрии «геометрического» измерения два. ^[13] Многомерные проективные геометрии могут быть определены в терминах отношений инцидентности аналогично определению проективной плоскости. Они оказываются «более ручными», чем проективные плоскости, поскольку дополнительные степени свободы позволяют геометрически доказать теорему Дезарга в геометрии более высоких измерений. Это означает, что координатное «кольцо», связанное с геометрией, должно быть телом (телом) K , а проективная геометрия изоморфна геометрии, построенной из векторного пространства K ^{d +1} , то есть PG ( d , K). Как и в приведенной ранее конструкции, точки d -мерного проективного пространства PG ( d , K ) - это прямые, проходящие через начало координат в K ^{d + 1,} а прямая в PG ( d , K ) соответствует плоскости, проходящей через начало координат в K ^{d + 1} . Фактически, каждый i-мерный объект в PG ( d , K ), где i < d , является ( i  + 1) -мерным (алгебраическим) векторным подпространством в K ^{d + 1}(«проходит через начало»). Проективные пространства, в свою очередь, обобщаются на грассмановы пространства .

Можно показать, что если теорема Дезарга верна в проективном пространстве размерности больше двух, то она также должна выполняться во всех плоскостях, содержащихся в этом пространстве. Поскольку существуют проективные плоскости, в которых теорема Дезарга не работает ( недезарговы плоскости ), эти плоскости не могут быть вложены в проективное пространство более высокой размерности. Только плоскости из конструкции векторного пространства PG (2, K ) могут появляться в проективных пространствах более высокой размерности. Некоторые дисциплины в математике ограничивают значение проективной плоскости только этим типом проективной плоскости, поскольку в противном случае общие утверждения о проективных пространствах всегда должны были бы упоминать исключения, когда геометрическая размерность равна двум. ^[14]

См. Также [ править ]

• Блочная конструкция - это обобщение конечной проективной плоскости.
• Комбинаторный дизайн
• Структура заболеваемости
• Обобщенный многоугольник
• Проективная геометрия
• Недезарговский план
• Гладкая проективная плоскость
• Трансверсали в конечных проективных плоскостях
• Усеченная проективная плоскость - проективная плоскость с удаленной одной вершиной.
• VC размерность конечной проективной плоскости

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Альберт, А. Адриан ; Сандлер, Рубен (1968), Введение в конечные проективные плоскости , Нью-Йорк: Холт, Райнхарт и Уинстон
• Баэз, Джон К. (2002), «Октонионы» , Bull. Амер. Математика. Soc. , 39 : 145–205, arXiv : math / 0105155 , doi : 10.1090 / S0273-0979-01-00934-X
• Бамберг, Джон; Пенттила, Тим (2015), «Завершение доказательства Сегре малой теоремы Веддерберна» (PDF) , Бюллетень Лондонского математического общества , 47 : 483–492, doi : 10.1112 / blms / bdv021
• Бредон, Глен Э. (1993), Топология и геометрия , Springer-Verlag, ISBN 0-387-97926-3
• Брук, RH (1955), "Разностные множества в конечной группе", Пер. Амер. Математика. Soc. , 78 : 464-481, DOI : 10,1090 / s0002-9947-1955-0069791-3
• Bruck, RH ; Bose, RC (1964), «Построение плоскостей трансляции из проективных пространств» (PDF) , J. Algebra , 1 : 85–102, DOI : 10.1016 / 0021-8693 (64) 90010-9
• Касс, Рей (2006), Проективная геометрия: Введение , Oxford: Oxford University Press, ISBN 0-19-929886-6
• Дембовски, Питер (1968), Конечные геометрии , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , Band 44, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 3-540-61786-8, MR  0233275
• Глисон, Эндрю М. (1956), "Конечные Фано самолеты", Американский журнал математики , 78 : 797-807, DOI : 10,2307 / 2372469 , MR  0082684
• Холл, Маршалл (1943), "Проективные плоскости", Труды Американского математического общества , Американского математического общества, 54 (2): 229-277, DOI : 10,2307 / 1990331 , ISSN  0002-9947 , JSTOR  1990331 , MR  0008892
• Hughes, D .; Пайпер, Ф. (1973), Проективные плоскости , Springer-Verlag, ISBN 0-387-90044-6
• Kárteszi, F. (1976), Введение в конечную геометрию , Амстердам: Северная Голландия, ISBN 0-7204-2832-7
• Lam, Климент WH (1991), "В поисках конечной проективной плоскости порядка 10" , American Mathematical Monthly , 98 (4): 305-318, DOI : 10,2307 / 2323798
• Линднер, Чарльз К. и Кристофер А. Роджер (редакторы) Теория дизайна , CRC-Press; 1 издание (31 октября 1997 г.). ISBN 0-8493-3986-3 . 
• Люнебург, Хайнц (1980), самолеты перевода , Берлин: Springer Verlag, ISBN 0-387-09614-0
• Мултон, Forest Ray (1902), "Простая недезарговых планиметрии", Труды Американского математического общества , 3 (2): 192-195, DOI : 10,2307 / 1986419 , ISSN  0002-9947 , JSTOR  1986419
• Комната, ТГ ; Киркпатрик, ПБ (1971), Миникватернионная геометрия , Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN 0-521-07926-8
• Шафаревич, И. Р. (1994), Основная алгебраическая геометрия , Springer-Verlag, ISBN 0-387-54812-2
• Стивенсон, Фредерик В. (1972), Проективные самолеты , Сан-Франциско: WH Freeman and Company, ISBN 0-7167-0443-9

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы, связанные с проективной плоскостью .

• Г. Эрик Мурхаус, Проективные плоскости малого порядка , (2003)
• Гл. Вейбель: Обзор недезарговских самолетов
• Вайсштейн, Эрик В. «Проективная плоскость» . MathWorld .
• «Проективная плоскость» в PlanetMath .