Точка схода

Точка схода видна в дальнем конце этой железной дороги.

Точка схода - это точка на плоскости изображения перспективного чертежа, где двумерные перспективные проекции (или рисунки) взаимно параллельных линий в трехмерном пространстве кажутся сходящимися. Когда набор параллельных линий перпендикулярен к картинной плоскости , конструкция известна как одна точки зрения, а их исчезновение точки соответствует Окулус , или «точке глаз», из которого изображение следует рассматривать для правильной геометрии перспективной. ^[1] Традиционные линейные рисунки используют объекты с одним-тремя наборами параллелей, определяя от одной до трех точек схода.

Графическая проекция
Часть серии по

Планарный Параллельная проекция Ортографическая проекция Многоканальная проекция Аксонометрическая проекция Изометрическая проекция Косая проекция Перспективная проекция Криволинейная перспектива Обратная перспектива
Взгляды 2.5D С высоты птичьего полета Поперечное сечение Рисунок в разрезе Чертеж в разобранном виде Объектив рыбий глаз Панорама Взгляд червяка Зум-объектив
Темы 3D проекция Анаморфоз Аксонометрия Компьютерная графика Системы автоматизированного проектирования Начертательная геометрия Инженерный чертеж Проекция карты Картинный самолет Планы (чертежи) Проекция (линейная алгебра) Плоскость проекции Проективная геометрия Стереоскопия Технический рисунок Истинная длина Точка схода Графика видеоигр Просмотр усеченного конуса
v т е

Векторные обозначения [ править ]

2D-конструкция перспективного обзора, показывающая формирование точки схода.

Точка схода также может называться «точкой направления», поскольку линии, имеющие один и тот же вектор направления, скажем, D , будут иметь одинаковую точку схода. Математически, пусть $q \equiv (x, y, f)$ - точка, лежащая на плоскости изображения, где $f$ - фокусное расстояние (камеры, связанной с изображением), и пусть $v q \equiv (Икс / час, у / час, ж / час)$ единичный вектор, связанный с $q$ , где $h = \sqrt x 2 + y 2 + f 2$ . Если мы рассмотрим прямую линию в пространстве $S$ с единичным вектором $n s \equiv (n x, n y, n z)$ и его точкой схода $v s$ , единичный вектор, связанный с $v s$ , равен $n s$ , предполагая, что обе точки направлены в сторону плоскость изображения. ^[2]

Когда плоскость изображения параллельна двум осям мировых координат, линии, параллельные оси, которая пересекается этой плоскостью изображения, будут иметь изображения, которые встречаются в одной точке схода. Линии, параллельные двум другим осям, не образуют точек схода, поскольку они параллельны плоскости изображения. Это одноточечная перспектива. Точно так же, когда плоскость изображения пересекает две оси мировых координат, линии, параллельные этим плоскостям, встречаются, образуя две точки схода в плоскости изображения. Это называется двухточечной перспективой. В трехточечной перспективе плоскость изображения пересекает оси $x$ , $y$ и $z,$ поэтому линии, параллельные этим осям, пересекаются, в результате чего образуются три разные точки схода.

Теорема [ править ]

Теорема о точке схода - основная теорема в науке о перспективе. Он говорит, что изображение в картинной плоскости $π$ прямой $L$ в пространстве, не параллельной картинке, определяется ее пересечением с $π$ и точкой схода. Некоторые авторы использовали фразу «изображение линии включает точку схода». Гвидобальдо дель Монте дал несколько проверок, и Хамфри Диттон назвал результат «главным и великим предложением». ^[3] Брук Тейлорнаписал первую книгу на английском языке о перспективе в 1714 году, в которой был введен термин «точка схода» и был первым, кто полностью объяснил геометрию многоточечной перспективы, а историк Кирсти Андерсен собрал эти наблюдения. ^[1]^{: 244-6} Она отмечает, с точки зрения проективной геометрии , точка схода является изображение точки на бесконечности , связанной с $L$ , так как визирования из $O$ через точку схода параллельно $L$ .

Линия схода [ править ]

Как точка схода начинается на прямой, так и линия схода начинается в плоскости $α$ , не параллельной картинке $π$ . Учитывая точку глаза $O$ и плоскость $β,$ параллельную $α$ и лежащую на $O$ , линия схода $α$ равна $β \cap π$ . Например, когда $α$ - плоскость земли, а $β$ - плоскость горизонта, тогда линия схода $α$ является линией горизонта $β \cap π$ . Андерсон отмечает: «Возникает только одна особая сходящаяся линия, часто называемая« горизонтом ».^[1]^{: 249, 503–6}

Проще говоря, линия схода некоторой плоскости, скажем, $α$ , получается пересечением плоскости изображения с другой плоскостью, скажем $β$ , параллельной интересующей плоскости ( $α$ ), проходящей через центр камеры. Для различных наборов прямых, параллельных этой плоскости $α$ , их соответствующие точки схода будут лежать на этой линии схода. Линия горизонта - это теоретическая линия, которая представляет уровень глаз наблюдателя. Если объект находится ниже линии горизонта, его исчезающие линии наклоняются к линии горизонта. Если объект находится наверху, они наклоняются вниз. Все сходящиеся линии заканчиваются на линии горизонта.

Свойства точек схода [ править ]

1. Проекции двух наборов параллельных прямых, лежащих в некоторой плоскости $π A, по-$ видимому, сходятся, т.е. точка схода, связанная с этой парой, на линии горизонта или линия схода $H,$ образованная пересечением плоскости изображения с плоскостью, параллельной плоскости $π A$ и проходящий через отверстие. Доказательство. Рассмотрим базовую плоскость $π$ , так как $y = c,$ которая для простоты ортогональна плоскости изображения. Также рассмотрим прямую $L$ , лежащую в плоскости $π$ , которая определяется уравнением $ax + bz = d$ . Используя перспективные проекции точечных отверстий, точка на $L,$ проецируемая на плоскость изображения, будет иметь координаты, определяемые как,

x ' = f \cdot Икс / z = f \cdot d - bz / az

y ' = f \cdot у / z = f \cdot c / z

Это параметрическое представление изображения $L '$ линии $L$ с $z$ в качестве параметра. При $z \to -\infty$ он останавливается в точке $(x ', y ') = (- fb / а, 0)$ на оси $x '$ плоскости изображения. Это точка схода, соответствующая всем параллельным линиям с наклоном $- б / а$ в плоскости $π$ . Все точки схода, связанные с разными линиями с разными наклонами, принадлежащими плоскости $π,$ будут лежать на оси $x '$ , которая в данном случае является линией горизонта.

2. Пусть $A$ , $B$ и $C$ - три взаимно ортогональные прямые в пространстве и $v A \equiv (x A, y A, f)$ , $v B \equiv (x B, y B, f)$ , $v C \equiv (x C, y C, f)$ - три соответствующие точки исчезновения соответственно. Если нам известны координаты одной из этих точек, скажем, $v A$ , и направление прямой линии на плоскости изображения, которая проходит через вторую точку, скажем $v B$ , мы можем вычислить координаты как $v B, так$ и $v C$ ^[2]

3. Пусть $A$ , $B$ и $C$ - три взаимно ортогональные прямые в пространстве и $v A \equiv (x A, y A, f)$ , $v B \equiv (x B, y B, f)$ , $v C \equiv (x C, y C, f)$ - три соответствующие точки схода соответственно. Ортоцентр треугольника с вершинами в трех точках схода является пересечением оптической оси и плоскости изображения. ^[2]

Криволинейная и обратная перспектива [ править ]

Криволинейным в перспективе представляет собой чертеж , либо с 4 или 5 точек схода. В 5-точечной перспективе точки схода отображаются в круг с 4 точками схода в основных заголовках N, W, S, E и одной в начале круга.

Обратная перспектива представляет собой чертеж с исчезающей точки, которые расположены за пределами картины с иллюзией , что они «перед» картины.

Одноточечная перспективная проекция.
Одноточечная перспектива в фотографии
Двухточечная перспективная проекция.
Использование перспективы Пьетро Перуджино во фреске « Доставка ключей» в Сикстинской капелле (1481–1482 гг.) Помогло принести в Рим эпоху Возрождения .

Обнаружение точек схода [ править ]

Некоторые методы обнаружения точки схода используют линейные сегменты, обнаруженные на изображениях. Другие методы включают непосредственный учет градиентов интенсивности пикселей изображения.

На изображении присутствует значительно большое количество точек схода. Следовательно, цель состоит в том, чтобы обнаружить точки схода, соответствующие основным направлениям сцены. Обычно это достигается в два этапа. Первый шаг, называемый этапом накопления, как следует из названия, объединяет линейные сегменты в кластеры с предположением, что у кластера будет общая точка схода. Следующий шаг находит основные кластеры, присутствующие в сцене, и поэтому он называется шагом поиска.

На этапе накопления изображение отображается в ограниченное пространство, называемое пространством аккумулятора. Пространство аккумулятора разделено на блоки, называемые ячейками. Барнард ^[4] предположил, что это пространство представляет собой гауссову сферу с центром в оптическом центре камеры как пространство-аккумулятор. Сегмент линии на изображении соответствует большому кругу на этой сфере, а точка схода на изображении отображается в точку. Гауссова сфера имеет аккумуляторные ячейки, которые увеличиваются, когда через них проходит большой круг, то есть на изображении отрезок прямой пересекает точку схода. С тех пор было внесено несколько модификаций, но одним из наиболее эффективных методов было использование преобразования Хафа., отображая параметры отрезка прямой в ограниченное пространство. Каскадные преобразования Хафа были применены для нескольких точек схода.

Процесс сопоставления изображения с ограниченными пространствами приводит к потере фактических расстояний между отрезками линии и точками.

На шаге поиска находится аккумуляторная ячейка, через которую проходит максимальное количество отрезков линии. За этим следует удаление этих сегментов линии, и шаг поиска повторяется до тех пор, пока это количество не опустится ниже определенного порога. Поскольку теперь доступно больше вычислительных мощностей, можно найти точки, соответствующие двум или трем взаимно ортогональным направлениям.

Применение точек схода [ править ]

Использование перекрестных отношений в проекционной геометрии для измерения реальных размеров объектов, изображенных в перспективной проекции . A, B, C, D и V - точки на изображении, их расстояние указано в пикселях; A ', B', C 'и D' находятся в реальном мире, их разделение в метрах.

В (1) ширина переулка W вычисляется на основе известной ширины соседних магазинов.
В (2) ширина только одного магазина необходима, потому что видна точка схода V.

Калибровка камеры: точки схода изображения содержат важную информацию для калибровки камеры. Были введены различные методы калибровки с использованием свойств точек схода для нахождения внутренних и внешних параметров калибровки. ^[5]
Трехмерная реконструкция : искусственная среда имеет две основные характеристики: несколько линий в сцене параллельны и ряд имеющихся краев ортогональны. Точки схода помогают лучше понять окружающую среду. Используя наборы параллельных линий на плоскости, можно рассчитать ориентацию плоскости с использованием точек схода. Торре ^[6] и Коэльо ^[7]провел обширное исследование использования точек схода для реализации полной системы. Предполагая, что окружающая среда состоит из объектов, имеющих только параллельные или перпендикулярные стороны, также называемых Lego-land, используя точки схода, построенные на одном изображении сцены, они восстановили трехмерную геометрию сцены. Подобные идеи также используются в области робототехники, в основном в навигации и автономных транспортных средствах, а также в областях, связанных с обнаружением объектов .

См. Также [ править ]

Графическая проекция

Ссылки [ править ]

^ a b c Кирсти Андерсен (2007) Геометрия искусства , стр. xxx, Springer, ISBN 0-387-25961-9
^ a b c Б. Каприл, В. Торре [1] "Использование точек схода для калибровки камеры", Международный журнал компьютерного зрения, том 4, выпуск 2, стр. 127-139, март 1990 г.
^ Х. Диттон (1712) Трактат о перспективе , стр. 45
↑ ST Barnard «Interpreting Perspective Images», Искусственный интеллект 21, 1983, стр. 435 - 462
^ Д. Либовиц и А. Зиссерман "Метрическая коррекция для перспективных изображений самолетов", IEEE Conf. Компьютерное зрение и распознавание образов, июнь 1998 г., Санта-Барбара, Калифорния, стр. 482-488.
^ RT Коллинз, и Р. Вайс «Расчет точки схода как статистический вывод на единичной сфере» Труды ICCV3, декабрь 1990 г.
^ С. Коэльо, М. Straforani, М. Campani «Использование Геометрическая правил и априорного знания для понимания интерьерных сцен» Труды BMVC90, p.229-234 Оксфорд, сентябрь 1990.

Внешние ссылки [ править ]

Обнаружение точки схода с помощью трех различных предложенных алгоритмов
Обнаружение точки схода для изображений и видео с использованием открытого резюме
Учебник, охватывающий множество примеров линейной перспективы
Тригонометрический расчет точек схода Краткое объяснение логики на простом примере

[KA-1] Кирсти Андерсен (2007) Геометрия искусства , стр. xxx, Springer, ISBN 0-387-25961-9

[Using_Vanishing_Points-2] Б. Каприл, В. Торре [1] "Использование точек схода для калибровки камеры", Международный журнал компьютерного зрения, том 4, выпуск 2, стр. 127-139, март 1990 г.

[3] Х. Диттон (1712) Трактат о перспективе , стр. 45

[4] ST Barnard «Interpreting Perspective Images», Искусственный интеллект 21, 1983, стр. 435 - 462

[Metric_Rectification-5] Д. Либовиц и А. Зиссерман "Метрическая коррекция для перспективных изображений самолетов", IEEE Conf. Компьютерное зрение и распознавание образов, июнь 1998 г., Санта-Барбара, Калифорния, стр. 482-488.

[6] RT Коллинз, и Р. Вайс «Расчет точки схода как статистический вывод на единичной сфере» Труды ICCV3, декабрь 1990 г.

[7] С. Коэльо, М. Straforani, М. Campani «Использование Геометрическая правил и априорного знания для понимания интерьерных сцен» Труды BMVC90, p.229-234 Оксфорд, сентябрь 1990.

[1]