Начертательная геометрия

Эта статья поднимает множество проблем. Пожалуйста, помогите улучшить его или обсудите эти проблемы на странице обсуждения . ( Узнайте, как и когда удалить эти сообщения-шаблоны ) Эта статья может быть слишком технической для понимания большинства читателей . Пожалуйста, помогите улучшить его, чтобы он был понятен неспециалистам , не удаляя технических деталей. ( Январь 2017 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Начертательная геометрия»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( февраль 2011 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Пример четырех разных 2D-представлений одного и того же 3D-объекта

Тот же объект, нарисованный с шести сторон

Описательная геометрия - это ветвь геометрии, которая позволяет представлять трехмерные объекты в двух измерениях с помощью определенного набора процедур. Полученные в результате техники важны для инженерии , архитектуры , дизайна и искусства . ^[1] Теоретической основой начертательной геометрии являются плоские геометрические проекции . Самой ранней известной публикацией по этой технике была «Underweysung der Messung mit dem Zirckel und Richtscheyt», опубликованная в Linien, Нюрнберг: 1525, Альбрехтом Дюрером . Итальянский архитектор Гуарино Гуаринибыл также пионером проективной и описательной геометрии, как видно из его  Placita Philosophica (1665), Euclides Adauctus (1671) и Architettura Civile (1686 - не опубликовано до 1737 года), предваряя работы Гаспара Монжа (1746–1818) Кому обычно приписывают изобретение начертательной геометрии. ^{[2] [3]} Гаспара Монжа обычно считают «отцом начертательной геометрии» из-за его достижений в решении геометрических задач. Его первые открытия были сделаны в 1765 году, когда он работал чертежником военных укреплений, хотя его результаты были опубликованы позже. ^[4]

Протоколы Монжа позволяют рисовать воображаемый объект таким образом, чтобы его можно было смоделировать в трех измерениях. Все геометрические аспекты воображаемого объекта учитываются в истинном размере / масштабе и форме, и их можно отобразить так, как это видно из любой точки пространства. Все изображения представлены на двухмерной поверхности.

Начертательная геометрия использует технику создания изображений, когда воображаемые параллельные проекторы исходят из воображаемого объекта и пересекают воображаемую плоскость проекции под прямым углом. Суммарные точки пересечений создают желаемое изображение.

Протоколы [ править ]

• Спроецируйте два изображения объекта во взаимно перпендикулярные произвольные направления. Каждый вид изображения вмещает три измерения пространства, два измерения отображаются в виде полноразмерных взаимно перпендикулярных осей и одно в виде невидимой (точечной) оси, уходящей в пространство изображения (глубина). Каждое из двух соседних изображений представляет собой полноразмерный вид одного из трех измерений пространства.
• Любое из этих изображений может служить отправной точкой для третьего проецируемого вида. Третий вид может начинать четвертую проекцию, причем до бесконечности. Каждая из этих последовательных проекций представляет собой окольный поворот на 90 ° в пространстве, чтобы рассмотреть объект с другого направления.
• Каждая новая проекция использует размер в полном масштабе, который отображается как размер точки на предыдущем виде. Чтобы получить полноразмерный вид этого измерения и разместить его в новом виде, необходимо игнорировать предыдущий вид и перейти ко второму предыдущему виду, где это измерение отображается в полном масштабе.
• Каждый новый вид может быть создан путем проецирования в любое из бесконечного числа направлений, перпендикулярных предыдущему направлению проецирования. (Представьте себе множество направлений спиц колеса телеги, каждое из которых перпендикулярно направлению оси.) Результатом является обход объекта с поворотом на 90 ° и наблюдение объекта с каждого шага. Каждый новый вид добавляется как дополнительный вид к отображению компоновки ортогональной проекции и появляется в «развертке модели стеклянного ящика».

Помимо ортогональных, шести стандартных основных видов (спереди; справа; слева; сверху; снизу; сзади) описательная геометрия стремится дать четыре основных вида решения: истинная длина линии (то есть в полном размере, без ракурса) , точечный вид (вид с торца) линии, истинная форма плоскости (т. е. полный размер в масштабе или без ракурса) и вид плоскости с краю (т. е. вид плоскости с линией обзора перпендикулярно линии визирования, связанной с линией взгляда, для получения истинной формы самолета). Они часто служат для определения направления проекции для последующего просмотра. Благодаря процессу обходного шага на 90 °, проецирование в любом направлении с точки зрения линии дает ее истинную длину.Посмотреть; проецирование в направлении, параллельном виду линии истинной длины, дает его вид точки, проецирование вида точки любой линии на плоскости дает вид края плоскости; проецирование в направлении, перпендикулярном краю плоскости, даст вид истинной формы (в масштабе). Эти различные представления могут быть использованы для решения инженерных проблем, связанных с принципами твердотельной геометрии.

Эвристика [ править ]

Изучение начертательной геометрии имеет эвристическую ценность. Он развивает способности к визуализации и пространственному анализу, а также интуитивную способность распознавать направление взгляда для наилучшего представления геометрической задачи для решения. Типичные примеры:

Лучшее направление для просмотра [ править ]

• Две наклонные линии (возможно, трубы) в общих положениях для определения местоположения их кратчайшего соединителя (общий перпендикуляр)
• Две наклонные линии (трубы) в общих положениях так, чтобы их самый короткий соединитель был виден в полном масштабе
• Две наклонные линии в общих положениях, такие как самый короткий соединитель, параллельный заданной плоскости, видны в полном масштабе (например, для определения положения и размера самого короткого соединителя на постоянном расстоянии от излучающей поверхности)
• Плоская поверхность, на которой перпендикулярно просверленное отверстие видно в полном масштабе, как если бы вы смотрели через отверстие (например, для проверки зазоров с другими просверленными отверстиями)
• Плоскость, равноудаленная от двух наклонных линий в общих положениях (скажем, для подтверждения безопасного радиационного расстояния?)
• Кратчайшее расстояние от точки до плоскости (скажем, чтобы найти наиболее экономичное положение для крепления)
• Линия пересечения двух поверхностей, включая криволинейные (скажем, для наиболее экономичного определения размеров секций?)
• Истинный размер угла между двумя плоскостями

Стандарт для представления видов компьютерного моделирования, аналогичных ортогональным последовательным проекциям, еще не принят. Один из кандидатов в таковые представлен на иллюстрациях ниже. Изображения на иллюстрациях созданы с использованием трехмерной инженерной компьютерной графики.

Трехмерное компьютерное моделирование создает виртуальное пространство «за трубкой», так сказать, и может производить любой вид модели с любого направления в этом виртуальном пространстве. Это делает это без необходимости в смежных орфографических представлениях и, следовательно, может показаться, что обходной пошаговый протокол описательной геометрии устарел. Однако, поскольку начертательная геометрия - это наука о законном или допустимом отображении трехмерного или более пространственного пространства на плоской плоскости, это незаменимое исследование для расширения возможностей компьютерного моделирования.

Примеры [ править ]

Нахождение кратчайшего соединителя между двумя заданными наклонными линиями PR и SU [ править ]

С учетом координат X, Y и Z точек P, R, S и U проекции 1 и 2 нарисованы в масштабе в плоскостях XY и XZ соответственно.

Чтобы получить истинный вид (длина в проекции равна длине в трехмерном пространстве) одной из линий: SU в этом примере проекция 3 нарисована с линией шарнира H _2,3, параллельной S ₂ U ₂ . Чтобы получить вид SU с торца, проведена проекция 4 с линией шарнира H _3,4, перпендикулярной S ₃ U ₃ . Перпендикулярное расстояние d дает кратчайшее расстояние между PR и SU.

Чтобы получить точки Q и T на этих линиях, дающие это кратчайшее расстояние, проекция 5 строится с линией шарнира H _4,5, параллельной P ₄ R ₄ , что делает оба вида P ₅ R ₅ и S ₅ U ₅ истинными вид со стороны - истинный вид). Проецируя пересечение этих линий, Q ₅ и T ₅ обратно в проекцию 1 (пурпурные линии и метки), можно считывать их координаты по осям X, Y и Z.

Общие решения [ править ]

Общие решения - это класс решений в начертательной геометрии, который содержит все возможные решения проблемы. Общее решение представлено одним трехмерным объектом, обычно конусом, направления элементов которого являются желаемым направлением обзора (проекцией) для любого из бесконечного числа видов решения.

Например: чтобы найти общее решение, при котором появляются две косые линии разной длины в общих положениях (скажем, ракеты в полете?):

• Равной длины
• Равной длины и параллельности
• Равной длины и перпендикулярно (например, для идеального прицеливания хотя бы одного)
• Равно длинам указанного соотношения
• другие.

В примерах общее решение для каждого желаемого характеристического решения представляет собой конус, каждый элемент которого дает одно из бесконечного числа представлений решения. Когда две или более характеристики, скажем, перечисленные выше, желательны (и для которых существует решение), проецирование в направлении любого из двух элементов пересечения (один элемент, если конусы касаются) между двумя конусами дает желаемое вид решения. Если конусы не пересекаются, решения не существует. Приведенные ниже примеры аннотированы, чтобы показать наглядные геометрические принципы, используемые в решениях. TL = истинная длина; EV = вид с края.

Рис. 1-3 ниже демонстрируют (1) начертательную геометрию, общие решения и (2) одновременно потенциальный стандарт для представления таких решений в ортогональных, многовидовых форматах макета.

В потенциальном стандарте используются два смежных стандартных ортогональных вида (здесь спереди и сверху) со стандартной «линией сгиба» между ними. Поскольку в стандартных двухэтапных последовательностях, чтобы получить представление решения (можно сразу перейти к представлению решения), нет необходимости `` обходить '' объект на 90 °, этот более короткий протокол учитывается для в макете. Там, где одношаговый протокол заменяет двухэтапный протокол, используются линии «двойного сворачивания». Другими словами, когда кто-то пересекает двойные линии, он совершает не обходной поворот на 90 °, а неортонаправленный поворот непосредственно к виду решения. Поскольку большинство пакетов инженерной компьютерной графики автоматически генерирует шесть основных видов модели стеклянного ящика, а также изометрический вид,эти представления иногда добавляются из эвристического любопытства.

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по начертательной геометрии .