Параллельная проекция

Графическая проекция
Часть серии по

Планарный Параллельная проекция Ортографическая проекция Многоканальная проекция Аксонометрическая проекция Изометрическая проекция Косая проекция Перспективная проекция Криволинейная перспектива Обратная перспектива
Взгляды 2.5D С высоты птичьего полета Поперечное сечение Рисунок в разрезе Чертеж в разобранном виде Объектив рыбий глаз Панорама Взгляд червяка Зум-объектив
Темы 3D проекция Анаморфоз Аксонометрия Компьютерная графика Системы автоматизированного проектирования Начертательная геометрия Инженерный чертеж Проекция карты Картинный самолет Планы (чертежи) Проекция (линейная алгебра) Плоскость проекции Проективная геометрия Стереоскопия Технический рисунок Истинная длина Точка схода Графика видеоигр Просмотр усеченного конуса
v т е

Параллельная проекция является проекцией объекта в трехмерном пространстве на неподвижной плоскости , известной как плоскости проекции или плоскости изображения , где лучи , известные как линии визирования , или проекционных линий , являются параллельными друг другу. Это основной инструмент начертательной геометрии . Проекция называется ортогональной, если лучи перпендикулярны (ортогональны) плоскости изображения, и наклонной или наклонной, если это не так.

Обзор [ править ]

Терминология и обозначения параллельной проекции. Два синих параллельных линейных сегмента справа остаются параллельными при проецировании на плоскость изображения слева.

Параллельная проекция - это частный случай проекции в математике и графической проекции в техническом чертеже . Параллельные проекции можно рассматривать как предел центральной или перспективной проекции , в которой лучи проходят через фиксированную точку, называемую центром или точкой обзора , поскольку эта точка перемещается к бесконечности. Иными словами, параллельная проекция соответствует перспективной проекции с бесконечным фокусным расстоянием (расстояние между объективом и точкой фокусировки в фотографии ) или « зумом».". В параллельных проекциях линии, параллельные в трехмерном пространстве, остаются параллельными в двухмерном проецируемом изображении.

Перспективная проекция объекта часто считается более реалистичной, чем параллельная проекция, поскольку она больше похожа на человеческое зрение и фотографию . Однако параллельные проекции популярны в технических приложениях, так как параллельность линий и граней объекта сохраняется, и прямые измерения можно проводить с изображения. Среди параллельных проекций наиболее реалистичными являются ортогональные проекции, которые обычно используются инженерами. С другой стороны, определенные типы наклонных проекций (например, кавалерская проекция , военная проекция ) очень просты в реализации и используются для создания быстрых и неформальных изображений объектов.

Термин параллельная проекция используется в литературе для описания как самой процедуры (функция математического отображения), так и результирующего изображения, созданного процедурой .

Свойства [ править ]

Две параллельные проекции куба. В ортогональной проекции (слева) линии проекции перпендикулярны плоскости изображения (розовый). В наклонной проекции (справа) линии проекции расположены под углом к плоскости изображения.

Каждая параллельная проекция обладает следующими свойствами.

Он однозначно определяется своей плоскостью проекции Π и направлением (параллельных) линий проекции. Направление не должно быть параллельно плоскости проекции. ${\ displaystyle {\ vec {v}}}$
Любая точка пространства имеет уникальное изображение в плоскости проекции П , а точки П фиксированы.
Любая линия, не параллельная направлению , отображается на линию; любая линия, параллельная к , отображается в точку. ${\ displaystyle {\ vec {v}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {v}}}$
Параллельные линии отображаются на параллельных линиях или на паре точек (если они параллельны ). ${\ displaystyle {\ vec {v}}}$
Отношение длины двух отрезков на линии остается неизменной. В особом случае средние точки отображаются на средние точки.
Длина сегмента линии , параллельной плоскости проекции остается неизменной . Длина любого линейного сегмента сокращается, если проекция является ортогональной. ^{[ требуется разъяснение ]}
Любая окружность , лежащая в плоскости, параллельной плоскости проекции, отображается на окружность того же радиуса. Любой другой круг отображается на эллипс или отрезок (если направление параллельно плоскости круга). ${\ displaystyle {\ vec {v}}}$
Углы вообще не сохранились. Но прямые углы с одной линией, параллельной плоскости проекции, остаются неизменными.
Любой прямоугольник отображается на параллелограмм или отрезок прямой (если он параллелен плоскости прямоугольника). ${\ displaystyle {\ vec {v}}}$
Любая фигура в плоскости, параллельной плоскости изображения, конгруэнтна своему изображению.

Ортографическая проекция [ править ]

Параллельная проекция соответствует перспективной проекции с гипотетической точкой обзора; т. е. камера расположена на бесконечном расстоянии от объекта и имеет бесконечное фокусное расстояние, или «зум».

Различные прогнозы и как они создаются

Ортографическая проекция основана на принципах описательной геометрии и представляет собой тип параллельной проекции, в которой лучи проекции перпендикулярны плоскости проекции. Это тип проекции для рабочих чертежей .

Термин « ортогональный» иногда используется специально для изображений объектов, где главные оси или плоскости объекта параллельны плоскости проекции (или бумаге, на которой нарисована ортогональная или параллельная проекция). Однако также используется термин многовидовая проекция . В многоракурсных проекциях создается до шести изображений объекта, причем каждая плоскость проекции перпендикулярна одной из координатных осей. Подтипы многовидовых ортогональных проекций включают планы , фасады и разрезы .

Когда главные плоскости или оси объекта не параллельны плоскости проекции, а скорее наклонены в некоторой степени, чтобы показать несколько сторон объекта, это называется аксонометрической проекцией . ^[1] Аксонометрическая проекция (не путать с тесно связанным принципом аксонометрии , описанным в теореме Польке ) далее подразделяется на три группы: изометрическая , диметрическая и триметрическая проекция , в зависимости от точного угла, под которым изображение отклоняется от ортогональные. ^[2]^[3] Типичная (но не обязательная) характеристика аксонометрических изображений состоит в том, что одна ось пространства обычно отображается как вертикальная.

Косая проекция [ править ]

Сравнение нескольких типов графической проекции . Наличие одного или нескольких углов 90 ° обычно является хорошим признаком того, что перспектива наклонная .

В наклонной проекции параллельные лучи проекции не перпендикулярны плоскости обзора, а падают на плоскость проекции под углом, отличным от девяноста градусов. ^[2] Как в ортогональной, так и в наклонной проекции параллельные линии в пространстве кажутся параллельными на проецируемом изображении. Из-за своей простоты наклонная проекция используется исключительно в графических целях, а не для формальных рабочих чертежей. На наклонном графическом чертеже отображаемые углы между осями, а также коэффициенты ракурса (масштаб) являются произвольными. Создаваемое таким образом искажение обычно ослабляется путем выравнивания одной плоскости отображаемого объекта, чтобы она была параллельна плоскости проекции, тем самым создавая полноразмерное изображение истинной формы выбранной плоскости. К особым видам косых выступов относятся военные, кавалерская и кабинетная проекция . ^[4]

Аналитическое представление [ править ]

Если плоскость изображения задается уравнением, а направление проекции - , то линия проекции через точку параметризуется как ${\ displaystyle \ Pi: ~ {\ vec {n}} \ cdot {\ vec {x}} - d = 0}$ ${\ displaystyle {\ vec {v}}}$ ${\ displaystyle P: ~ {\ vec {p}}}$

{\ displaystyle g: ~ {\ vec {x}} = {\ vec {p}} + т {\ vec {v}}}

с .

{\ Displaystyle т \ в \ mathbb {R}}

Изображения из является пересечением линии с плоскостью ; он задается уравнением ${\ displaystyle P '}$ ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle \ Pi}$

P':~{\vec {p}}'={\vec {p}}+{\frac {d-{\vec {p}}\cdot {\vec {n}}}{{\vec {n}}\cdot {\vec {v}}}}\;{\vec {v}}\ .

В некоторых случаях эти формулы можно упростить.

(S1) Если можно выбрать векторы и так , что формула для изображения упрощается до ${\vec {n}}$ ${\vec {v}}$ ${\vec {n}}\cdot {\vec {v}}=1$

{\vec {p}}'={\vec {p}}+(d-{\vec {p}}\cdot {\vec {n}})\;{\vec {v}}\ .

(S2) В ортогональной проекции векторы и параллельны. В этом случае можно выбрать и получить ${\vec {n}}$ ${\vec {v}}$ ${\vec {v}}={\vec {n}},\;|{\vec {n}}|=1$

{\vec {p}}'={\vec {p}}+(d-{\vec {p}}\cdot {\vec {n}})\;{\vec {n}}\ .

(S3) Если можно выбрать векторы и так , что , и если плоскость изображения содержит начало координат, то есть и параллельная проекция является линейным отображением : ${\vec {n}}$ ${\vec {v}}$ ${\vec {n}}\cdot {\vec {v}}=1$ $d=0$

{\vec {p}}'={\vec {p}}-({\vec {p}}\cdot {\vec {n}})\;{\vec {v}}={\vec {p}}-({\vec {v}}\otimes {\vec {n}})~{\vec {p}}=(I_{3}-{\vec {v}}\otimes {\vec {n}})\;{\vec {p}}\ .

(Здесь это единичная матрица и внешнее произведение .) $I_{3}$ $\otimes$

Из этого аналитического представления параллельной проекции можно вывести большинство свойств, изложенных в предыдущих разделах.

См. Также [ править ]

Классификация параллельной проекции и некоторых 3D проекций

Проекция (линейная алгебра)

Ссылки [ править ]

План Шаума: начертательная геометрия , McGraw-Hill, (1 июня 1962 г.), ISBN 978-0070272903
Джозеф Малькевич (апрель 2003 г.), "Математика и искусство" , архив рубрик статей , Американское математическое общество
Ингрид Карлбом, Джозеф Пасиорек (декабрь 1978 г.), «Плоские геометрические проекции и трансформации просмотра», ACM Computing Surveys , 10 (4): 465–502, doi : 10,1145 / 356744.356750 , S2CID 708008

^ Митчелл, Уильям; Малкольм Маккалоу (1994). Цифровые дизайнерские медиа . Джон Уайли и сыновья. п. 169. ISBN. 0-471-28666-4.
^ a b Мэйнард, Патрик (2005). Особенности рисунка: разновидности графического выражения . Издательство Корнельского университета. п. 22. ISBN 0-8014-7280-6.
^ Макрейнольдс, Том; Дэвид Блайт (2005). Расширенное программирование графики с использованием openGL . Эльзевир. п. 502. ISBN. 1-55860-659-9.
^ Десаи, Апурва А. Компьютерная графика . PHI Learning Pvt. ООО п. 242. ISBN. 81-203-3524-4.

[1] Митчелл, Уильям; Малкольм Маккалоу (1994). Цифровые дизайнерские медиа . Джон Уайли и сыновья. п. 169. ISBN. 0-471-28666-4.

[maynard-2] Мэйнард, Патрик (2005). Особенности рисунка: разновидности графического выражения . Издательство Корнельского университета. п. 22. ISBN 0-8014-7280-6.

[mcreynolds-3] Макрейнольдс, Том; Дэвид Блайт (2005). Расширенное программирование графики с использованием openGL . Эльзевир. п. 502. ISBN. 1-55860-659-9.

[desai-4] Десаи, Апурва А. Компьютерная графика . PHI Learning Pvt. ООО п. 242. ISBN. 81-203-3524-4.

vтеВизуализация технической информации
Поля	Визуализация биологических данных Химическая визуализация Картирование преступности Визуализация данных Образовательная визуализация Визуализация потока Геовизуализация Визуализация информации Математическая визуализация Медицинская визуализация Молекулярная графика Визуализация продукта Научная визуализация Визуализация программного обеспечения Технический рисунок Дизайн пользовательского интерфейса Визуальная культура Визуализация объема
Типы изображений	Диаграмма Диаграмма Инженерный чертеж График функции Идеограмма карта Фотография Пиктограмма участок Диаграмма Санки Схема Формула скелета Статистическая графика Стол Технические чертежи Техническая иллюстрация
Люди	Жак Бертен Синтия Брюэр Стюарт Кард Шила Карпендейл Томас А. ДеФанти Borden Dent Майкл Френдли Джордж Фурнас Пэт Ханрахан Найджел Холмс Кристофер Р. Джонсон Гордон Киндлманн Август Кекуле Мануэль Лима Алан МакИчрен Джок Д. Маккинлей Майкл Мальц Брюс Х. Маккормик Мирия Мейер Чарльз Джозеф Минар Рудольф Модли Гаспар Монж Тамара Мунзнер Отто Нейрат Флоренс Найтингейл Ханспетер Пфистер Клиффорд А. Пиковер Екатерина Плезан Уильям Плейфэр Карл Вильгельм Польке Адольф Кетле Джордж Дж. Робертсон Артур Х. Робинсон Лоуренс Дж. Розенблюм Бен Шнейдерман Клаудио Сильва Фрейзер Стоддарт Эдвард Тафте Фернанда Виегас Аде Олуфеко Говард Уэйнер Мартин Ваттенберг Банг Вонг Мауро Мартино Мориц Стефанер
похожие темы	Картография Chartjunk Компьютерная графика в информатике Раскраска CPK Рисование графика Графический дизайн Графический органайзер Наука о изображениях Информационная графика Информационная наука Вводящий в заблуждение график Нейровизуализация Патентный рисунок Научное моделирование Пространственный анализ Визуальная аналитика Визуальное восприятие Объемная картография Объемный рендеринг Информационное искусство