Самолет (геометрия)

Уравнение плоскости в нормальной форме

В математике , А плоскость является плоской, двух- мерной поверхностью , которая простирается бесконечно далеко. Самолет представляет собой двумерный аналог из точки (нулевых размеров), A линии (одно измерения) и трехмерное пространство . Плоскости могут возникать как подпространства некоторого многомерного пространства, например, с одной из стен комнаты, бесконечно протяженной, или они могут наслаждаться независимым существованием самостоятельно, как в условиях евклидовой геометрии .

При работе исключительно в двумерном евклидовом пространстве , определенный артикль используется, поэтому самолет относится ко всему пространству. Многие фундаментальные задачи в математике, геометрии , тригонометрии , теории графов и построении графиков выполняются в двухмерном пространстве или, другими словами, на плоскости.

Евклидова геометрия [ править ]

Евклид изложил первую великую веху математической мысли - аксиоматическую трактовку геометрии. ^[1] Он выбрал небольшое ядро ​​неопределенных терминов (называемых общими понятиями ) и постулатов (или аксиом ), которые затем использовал для доказательства различных геометрических утверждений. Хотя плану в его современном понимании нет прямого определения нигде в Элементах , его можно рассматривать как часть общих понятий. ^[2] Евклид никогда не использовал числа для измерения длины, угла или площади. Таким образом, евклидова плоскость не совсем то же, что декартова плоскость.

Плоскость - это линейчатая поверхность .

Представление [ править ]

Этот раздел касается исключительно плоскостей, встроенных в три измерения: в частности, в R 3 .

Определение по содержащимся точкам и линиям [ править ]

В евклидовом пространстве любого числа измерений плоскость однозначно определяется любым из следующих условий:

• Три неколлинеарных точки (точки не на одной линии).
• Линия и точка не на этой линии.
• Две отчетливые, но пересекающиеся линии.
• Две четкие, но параллельные линии.

Свойства [ править ]

Следующие утверждения верны в трехмерном евклидовом пространстве, но не в более высоких измерениях, хотя у них есть аналоги в более высоких измерениях:

• Две разные плоскости либо параллельны, либо пересекаются по линии .
• Прямая либо параллельна плоскости, пересекает ее в одной точке, либо содержится в плоскости.
• Две различные прямые, перпендикулярные одной плоскости, должны быть параллельны друг другу.
• Две разные плоскости, перпендикулярные одной линии, должны быть параллельны друг другу.

Точечно – нормальная форма и общий вид уравнения плоскости [ править ]

Аналогично тому, как линии в двумерном пространстве описываются с использованием формы точечного наклона для их уравнений, плоскости в трехмерном пространстве имеют естественное описание с помощью точки на плоскости и вектора, ортогонального к ней ( вектор нормали ), чтобы указать его "наклон".

В частности, пусть r ₀ будет вектором положения некоторой точки P ₀ = ( x ₀ , y ₀ , z ₀ ) , и пусть n = ( a , b , c ) будет ненулевым вектором. Плоскость, определяемая точкой P ₀ и вектором n, состоит из таких точек P с вектором положения r , что вектор, проведенный из P ₀ в P , перпендикулярен n.. Вспоминая, что два вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю, отсюда следует, что искомую плоскость можно описать как множество всех точек r таких, что

${\ displaystyle {\ boldsymbol {n}} \ cdot ({\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {0}) = 0.}$

Точка здесь означает скалярное произведение .
В расширенном виде это становится

${\ displaystyle a (x-x_ {0}) + b (y-y_ {0}) + c (z-z_ {0}) = 0,}$

что является точечно-нормальной формой уравнения плоскости. ^[3] Это просто линейное уравнение

${\ displaystyle ax + by + cz + d = 0,}$

куда

${\ displaystyle d = - (ax_ {0} + by_ {0} + cz_ {0})}$,

который является расширенной формой ${\displaystyle -{\boldsymbol {n}}\cdot {\boldsymbol {r}}_{0}.}$

В математике принято выражать нормаль как единичный вектор , но приведенный выше аргумент справедлив для вектора нормали любой ненулевой длины.

И наоборот, легко показать, что если a , b , c и d - константы, а a , b и c не все равны нулю, то график уравнения

${\displaystyle ax+by+cz+d=0,}$

плоскость, имеющая в качестве нормали вектор n = ( a , b , c ) . ^[4] Это знакомое уравнение для плоскости называется общей формой уравнения плоскости. ^[5]

Так, например, уравнение регрессии вида y = d + ax + cz (с b = −1 ) устанавливает плоскость наилучшего соответствия в трехмерном пространстве, когда есть две объясняющие переменные.

Описание плоскости с точкой и двумя лежащими на ней векторами [ править ]

В качестве альтернативы, плоскость может быть описана параметрически как совокупность всех точек вида

${\displaystyle {\boldsymbol {r}}={\boldsymbol {r}}_{0}+s{\boldsymbol {v}}+t{\boldsymbol {w}},}$

где s и t пробегают все действительные числа, v и w задаются линейно независимыми векторами, определяющими плоскость, а r ₀ - вектор, представляющий положение произвольной (но фиксированной) точки на плоскости. Векторы v и w можно визуализировать как векторы, начинающиеся с r ₀ и направленные в разных направлениях вдоль плоскости. Векторы v и w могут быть перпендикулярны , но не могут быть параллельны.

Описание плоскости через три точки [ править ]

Пусть p ₁ = (x ₁ , y ₁ , z ₁ ) , p ₂ = (x ₂ , y ₂ , z ₂ ) и p ₃ = (x ₃ , y ₃ , z ₃ ) неколлинеарные точки.

Метод 1 [ править ]

Плоскость, проходящая через точки p ₁ , p ₂ и p _3, может быть описана как совокупность всех точек (x, y, z), которые удовлетворяют следующим определяющим уравнениям:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}x-x_{1}&y-y_{1}&z-z_{1}\\x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\x_{3}-x_{1}&y_{3}-y_{1}&z_{3}-z_{1}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}x-x_{1}&y-y_{1}&z-z_{1}\\x-x_{2}&y-y_{2}&z-z_{2}\\x-x_{3}&y-y_{3}&z-z_{3}\end{vmatrix}}=0.}$

Метод 2 [ править ]

Чтобы описать плоскость уравнением вида , решите следующую систему уравнений:${\displaystyle ax+by+cz+d=0}$

${\displaystyle \,ax_{1}+by_{1}+cz_{1}+d=0}$

${\displaystyle \,ax_{2}+by_{2}+cz_{2}+d=0}$

${\displaystyle \,ax_{3}+by_{3}+cz_{3}+d=0.}$

Эта система может быть решена с помощью правила Крамера и основных матричных манипуляций. Позволять

${\displaystyle D={\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&z_{1}\\x_{2}&y_{2}&z_{2}\\x_{3}&y_{3}&z_{3}\end{vmatrix}}}$.

Если D не равно нулю (то есть для плоскостей, не проходящих через начало координат), значения для a , b и c могут быть вычислены следующим образом:

${\displaystyle a={\frac {-d}{D}}{\begin{vmatrix}1&y_{1}&z_{1}\\1&y_{2}&z_{2}\\1&y_{3}&z_{3}\end{vmatrix}}}$

${\displaystyle b={\frac {-d}{D}}{\begin{vmatrix}x_{1}&1&z_{1}\\x_{2}&1&z_{2}\\x_{3}&1&z_{3}\end{vmatrix}}}$

${\displaystyle c={\frac {-d}{D}}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}.}$

Эти уравнения параметрически по d . Приняв d равным любому ненулевому числу и подставив его в эти уравнения, мы получим один набор решений.

Метод 3 [ править ]

Эта плоскость также может быть описана вышеописанным предписанием « точка и вектор нормали ». Подходящий вектор нормали дается перекрестным произведением

${\displaystyle {\boldsymbol {n}}=({\boldsymbol {p}}_{2}-{\boldsymbol {p}}_{1})\times ({\boldsymbol {p}}_{3}-{\boldsymbol {p}}_{1}),}$

и точка r ₀ может быть принята как любая из заданных точек p ₁ , p ₂ или p ₃ ^[6] (или любая другая точка на плоскости).

Операции [ править ]

Расстояние от точки до плоскости [ править ]

Для плоскости и точки, не обязательно лежащей на плоскости, кратчайшее расстояние от до плоскости равно${\displaystyle \Pi :ax+by+cz+d=0}$${\displaystyle {\boldsymbol {p}}_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})}$${\displaystyle {\boldsymbol {p}}_{1}}$

${\displaystyle D={\frac {\left|ax_{1}+by_{1}+cz_{1}+d\right|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}.}$

Отсюда следует, что лежит в плоскости тогда и только тогда, когда D = 0 .${\displaystyle {\boldsymbol {p}}_{1}}$

Если имеется в виду, что a , b и c нормализованы ^[7], тогда уравнение принимает вид${\displaystyle {\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}=1}$

${\displaystyle D=\ |ax_{1}+by_{1}+cz_{1}+d|.}$

Другой вектор форма для уравнения плоскости, известной как Hesse нормальной форма зависит от параметра D . Это форма: ^[5]

${\displaystyle {\boldsymbol {n}}\cdot {\boldsymbol {r}}-D_{0}=0,}$

где - единичный вектор нормали к плоскости, вектор положения точки плоскости и D ₀ - расстояние плоскости от начала координат.${\displaystyle {\boldsymbol {n}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {r}}}$

Общая формула для более высоких измерений может быть быстро получена с использованием векторной записи . Пусть гиперплоскость есть уравнение , где является нормальным вектором и является положение вектора в точке гиперплоскости . Мы желаем перпендикулярного расстояния до точки . Гиперплоскость также может быть представлена скалярным уравнением для констант . Аналогично, соответствующий может быть представлен как . Нам нужна скалярная проекция вектора в направлении . Отмечая, что (как${\displaystyle {\boldsymbol {n}}\cdot ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{0})=0}$${\displaystyle {\boldsymbol {n}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{0}=(x_{10},x_{20},\dots ,x_{N0})}$${\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{1}=(x_{11},x_{21},\dots ,x_{N1})}$${\displaystyle \textstyle \sum _{i=1}^{N}a_{i}x_{i}=-a_{0}}$${\displaystyle \{a_{i}\}}$${\displaystyle {\boldsymbol {n}}}$${\displaystyle (a_{1},a_{2},\dots ,a_{N})}$${\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{1}-{\boldsymbol {r}}_{0}}$${\displaystyle {\boldsymbol {n}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {n}}\cdot {\boldsymbol {r}}_{0}={\boldsymbol {r}}_{0}\cdot {\boldsymbol {n}}=-a_{0}}$${\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{0}}$удовлетворяет уравнению гиперплоскости ) имеем

${\displaystyle {\begin{aligned}D&={\frac {|({\boldsymbol {r}}_{1}-{\boldsymbol {r}}_{0})\cdot {\boldsymbol {n}}|}{|{\boldsymbol {n}}|}}\\&={\frac {|{\boldsymbol {r}}_{1}\cdot {\boldsymbol {n}}-{\boldsymbol {r}}_{0}\cdot {\boldsymbol {n}}|}{|{\boldsymbol {n}}|}}\\&={\frac {|{\boldsymbol {r}}_{1}\cdot {\boldsymbol {n}}+a_{0}|}{|{\boldsymbol {n}}|}}\\&={\frac {|a_{1}x_{11}+a_{2}x_{21}+\dots +a_{N}x_{N1}+a_{0}|}{\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\dots +a_{N}^{2}}}}\end{aligned}}}$.

Пересечение прямой и плоскости [ править ]

В аналитической геометрии пересечение прямой и плоскости в трехмерном пространстве может быть пустым множеством , точкой или линией.

Линия пересечения двух плоскостей [ править ]

Было предложено разделить этот раздел на другую статью под названием « Пересечение плоскостей» . ( Обсудить ) (июль 2020)

Линия пересечения между двумя плоскостями и где нормализованы, определяется как${\displaystyle \Pi _{1}:{\boldsymbol {n}}_{1}\cdot {\boldsymbol {r}}=h_{1}}$${\displaystyle \Pi _{2}:{\boldsymbol {n}}_{2}\cdot {\boldsymbol {r}}=h_{2}}$${\displaystyle {\boldsymbol {n}}_{i}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {r}}=(c_{1}{\boldsymbol {n}}_{1}+c_{2}{\boldsymbol {n}}_{2})+\lambda ({\boldsymbol {n}}_{1}\times {\boldsymbol {n}}_{2})}$

куда

${\displaystyle c_{1}={\frac {h_{1}-h_{2}({\boldsymbol {n}}_{1}\cdot {\boldsymbol {n}}_{2})}{1-({\boldsymbol {n}}_{1}\cdot {\boldsymbol {n}}_{2})^{2}}}}$

${\displaystyle c_{2}={\frac {h_{2}-h_{1}({\boldsymbol {n}}_{1}\cdot {\boldsymbol {n}}_{2})}{1-({\boldsymbol {n}}_{1}\cdot {\boldsymbol {n}}_{2})^{2}}}.}$

Это можно найти, заметив, что линия должна быть перпендикулярна обеим нормальным плоскостям и, следовательно, параллельна их перекрестному произведению (это перекрестное произведение равно нулю, если и только если плоскости параллельны и, следовательно, не пересекаются или полностью совпадают).${\displaystyle {\boldsymbol {n}}_{1}\times {\boldsymbol {n}}_{2}}$

Остальная часть выражения достигается путем нахождения произвольной точки на линии. Для этого учтите, что любую точку в пространстве можно записать как , так как это основа . Мы хотим найти точку, которая находится на обеих плоскостях (то есть на их пересечении), поэтому вставьте это уравнение в каждое из уравнений плоскостей, чтобы получить два одновременных уравнения, которые можно решить для и .${\displaystyle {\boldsymbol {r}}=c_{1}{\boldsymbol {n}}_{1}+c_{2}{\boldsymbol {n}}_{2}+\lambda ({\boldsymbol {n}}_{1}\times {\boldsymbol {n}}_{2})}$${\displaystyle \{{\boldsymbol {n}}_{1},{\boldsymbol {n}}_{2},({\boldsymbol {n}}_{1}\times {\boldsymbol {n}}_{2})\}}$${\displaystyle c_{1}}$${\displaystyle c_{2}}$

Если далее предположить , что и являются ортонормированный , то ближайшая точка на линии пересечения в начале координат . Если это не так, необходимо использовать более сложную процедуру. ^[8]${\displaystyle {\boldsymbol {n}}_{1}}$${\displaystyle {\boldsymbol {n}}_{2}}$${\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{0}=h_{1}{\boldsymbol {n}}_{1}+h_{2}{\boldsymbol {n}}_{2}}$

Двугранный угол [ править ]

Для двух пересекающихся плоскостей, описываемых и , двугранный угол между ними определяется как угол между их нормальными направлениями:${\displaystyle \Pi _{1}:a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_{1}=0}$${\displaystyle \Pi _{2}:a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_{2}=0}$${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \cos \alpha ={\frac {{\hat {n}}_{1}\cdot {\hat {n}}_{2}}{|{\hat {n}}_{1}||{\hat {n}}_{2}|}}={\frac {a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}+c_{1}c_{2}}{{\sqrt {a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2}}}{\sqrt {a_{2}^{2}+b_{2}^{2}+c_{2}^{2}}}}}.}$

Самолеты в различных областях математики [ править ]

В дополнение к своей знакомой геометрической структуре с изоморфизмами, которые являются изометриями по отношению к обычному внутреннему продукту, плоскость может рассматриваться на различных других уровнях абстракции . Каждому уровню абстракции соответствует определенная категория .

В одном крайнем случае все геометрические и метрические концепции могут быть отброшены, чтобы покинуть топологическую плоскость, которую можно рассматривать как идеализированный гомотопически тривиальный бесконечный резиновый лист, который сохраняет понятие близости, но не имеет расстояний. В топологической плоскости есть понятие линейного пути, но нет понятия прямой линии. Топологическая плоскость или ее эквивалент открытый диск - это основная топологическая окрестность, используемая для построения поверхностей (или 2-многообразий), классифицируемых по топологии малой размерности . Все изоморфизмы топологической плоскости являются непрерывными биекциями . Топологическая плоскость - естественный контекст для раздела теории графов.который имеет дело с плоскими графами , и такие результаты, как теорема о четырех цветах .

Плоскость также можно рассматривать как аффинное пространство , изоморфизмы которого являются комбинациями сдвигов и неособых линейных отображений. С этой точки зрения расстояний нет, но сохраняются коллинеарность и соотношения расстояний на любой прямой.

Дифференциальная геометрия рассматривает плоскость как двумерное реальное многообразие , топологическую плоскость, которая имеет дифференциальную структуру . Опять же, в этом случае нет понятия расстояния, но теперь есть понятие гладкости отображений, например дифференцируемый или гладкий путь (в зависимости от типа применяемой дифференциальной структуры). Изоморфизмы в этом случае являются биекциями с выбранной степенью дифференцируемости.

В противоположном направлении абстракции мы можем применить совместимую структуру поля к геометрической плоскости, что приведет к созданию комплексной плоскости и основной области комплексного анализа . Комплексное поле имеет только два изоморфизма, которые оставляют вещественную прямую фиксированной: тождество и сопряжение .

Так же, как и в реальном случае, плоскость также может рассматриваться как простейшее одномерное (над комплексными числами) комплексное многообразие , иногда называемое комплексной линией. Однако эта точка зрения резко контрастирует со случаем плоскости как двумерного вещественного многообразия. Все изоморфизмы являются конформными биекциями комплексной плоскости, но единственные возможности - это отображения, которые соответствуют композиции умножения на комплексное число и перевода.

Кроме того, евклидова геометрия (которая везде имеет нулевую кривизну ) - не единственная геометрия, которую может иметь плоскость. Плоскости может быть придана сферическая геометрия с помощью стереографической проекции . Это можно представить как размещение сферы на плоскости (как мяч на полу), удаление верхней точки и проецирование сферы на плоскость из этой точки). Это одна из проекций, которые можно использовать для построения плоской карты части поверхности Земли. Полученная геометрия имеет постоянную положительную кривизну.

В качестве альтернативы плоскости также можно присвоить метрику, которая придает ей постоянную отрицательную кривизну, определяющую гиперболическую плоскость . Последняя возможность находит применение в специальной теории относительности в упрощенном случае, когда есть два пространственных измерения и одно временное измерение. (Гиперболическая плоскость - это времениподобная гиперповерхность в трехмерном пространстве Минковского .)

Топологические и дифференциально-геометрические понятия [ править ]

Одноточечная компактификация плоскости гомеоморфно сфере (см стереографическую проекцию ); открытый диск гомеоморфен сфере без «северного полюса»; добавление этой точки завершает (компактную) сферу. Результатом этой компактификации является многообразие, называемое сферой Римана или комплексной проективной прямой . Проекция с евклидовой плоскости на сферу без точки - это диффеоморфизм и даже конформное отображение .

Сама плоскость гомеоморфна (и диффеоморфна) открытому диску . Для гиперболической плоскости такой диффеоморфизм конформен, а для евклидовой плоскости - нет.

См. Также [ править ]

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Антон, Ховард (1994), Элементарная линейная алгебра (7-е изд.), John Wiley & Sons, ISBN 0-471-58742-7
• Ив, Ховард (1963), Обзор геометрии , I , Бостон: Allyn and Bacon, Inc.

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы, связанные с евклидовыми самолетами .

• "Плоскость" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Самолет» . MathWorld .
• «Упрощение арифметики и плоской геометрии» - это арабский манускрипт 15 века, служащий учебным пособием по плоской геометрии и арифметике.