Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Аксиома , постулат или предположение является утверждением , что берется верно , чтобы служить в качестве помещения или отправной точки для дальнейших рассуждений и аргументов. Слово происходит от греческого axíōma ( ἀξίωμα ) «то, что считается достойным или подходящим» или «то, что считает очевидным». [1] [2]

Этот термин имеет тонкие различия в определении при использовании в контексте разных областей исследования. Согласно определению классической философии , аксиома - это утверждение, которое настолько очевидно или хорошо установлено, что принимается без споров или вопросов. [3] В современной логике аксиома является предпосылкой или отправной точкой для рассуждений. [4]

В математике термин « аксиома» используется в двух связанных, но различных смыслах: «логические аксиомы» и «нелогические аксиомы» . Логические аксиомы обычно представляют собой утверждения, которые считаются истинными в рамках системы логики, которую они определяют, и часто отображаются в символической форме (например, ( A и B ) подразумевают A ), в то время как нелогические аксиомы (например, a + b = b + a ) фактически являются существенными утверждениями об элементах области конкретной математической теории (например, арифметики ).

В последнем смысле слова «аксиома», «постулат» и «допущение» могут использоваться как синонимы. В большинстве случаев нелогическая аксиома - это просто формальное логическое выражение, используемое в дедукции для построения математической теории, и может быть или не быть самоочевидным по своей природе (например, параллельный постулат в евклидовой геометрии ). [5] Аксиоматизировать систему знаний - значит показать, что ее утверждения могут быть выведены из небольшого, хорошо понятного набора предложений (аксиом), и может быть несколько способов аксиоматизировать данную математическую область.

Любая аксиома - это утверждение, которое служит отправной точкой, из которой логически выводятся другие утверждения. Имеет ли смысл (и если да, то что это значит), что аксиома «истинна», является предметом споров в философии математики . [6]

Этимология [ править ]

Слово аксиома происходит от греческого слова ἀξωμα ( axíōma ), отглагольного существительного от глагола ἀξιόειν ( axioein ), означающего «считать достойным», но также «требовать», что, в свою очередь, происходит от ἄξιος ( áxios ), что означает « быть в равновесии », и, следовательно,« иметь (такую ​​же) ценность (как) »,« достойный »,« надлежащий ». Среди древнегреческих философов аксиома была утверждением, которое можно было рассматривать как самоочевидное без всяких доказательств. [7]

Первоначальное значение слова « постулат» - «требовать»; например, Евклид требует, чтобы кто-то согласился с тем, что некоторые вещи могут быть выполнены (например, любые две точки могут быть соединены прямой линией). [8]

Древние геометры поддерживали некоторое различие между аксиомами и постулатами. Комментируя книги Евклида, Прокл отмечает, что « Близнецы считали, что этот [4-й] постулат следует классифицировать не как постулат, а как аксиому, поскольку он, как первые три постулата, не утверждает возможность какой-либо конструкции, но выражает существенное свойство ". [9] Боэций перевел «постулат» как petitio и назвал аксиомы notiones communes, но в более поздних рукописях это употребление не всегда строго соблюдалось.

Историческое развитие [ править ]

Ранние греки [ править ]

Логико-дедуктивный метод, посредством которого выводы (новые знания) следуют из предпосылок (старых знаний) посредством применения обоснованных аргументов ( силлогизмов , правил вывода), был разработан древними греками и стал основным принципом современной математики. Если исключить тавтологии , ничего нельзя вывести, если ничего не предполагается. Таким образом, аксиомы и постулаты являются основными допущениями, лежащими в основе данной совокупности дедуктивных знаний. Они принимаются без демонстрации. Все остальные утверждения ( теоремы в случае математики) должны быть доказаны с помощью этих основных предположений. Однако интерпретация математических знаний изменилась с древних времен на современные, и, следовательно, термины аксиома иПостулат имеют несколько иное значение для современного математика, чем для Аристотеля и Евклида . [7]

Древние греки считали геометрию лишь одной из нескольких наук и ставили геометрические теоремы наравне с научными фактами. Таким образом, они разработали и использовали логико-дедуктивный метод как средство предотвращения ошибок, а также для структурирования и передачи знаний. Апостериорная аналитика Аристотеля является окончательным изложением классической точки зрения.

В классической терминологии «аксиома» относится к самоочевидному предположению, общему для многих отраслей науки. Хорошим примером может служить утверждение, что

Когда равная сумма берется из равных, получается равная сумма.

В основе различных наук лежат некоторые дополнительные гипотезы, которые были приняты без доказательства. Такая гипотеза получила название постулата . Хотя аксиомы были общими для многих наук, постулаты каждой отдельной науки были разными. Их достоверность должна была быть установлена ​​на основе реального опыта. Аристотель предупреждает, что содержание науки не может быть успешно передано, если учащийся сомневается в истинности постулатов. [10]

Классический подход хорошо иллюстрируется [а] от Евклида , где список постулатов дан (общие бы бессмысленно геометрические факты взяты из нашего опыта), за которым следует список «общих понятия» (очень простые, самоочевидные утверждения ).

Постулаты
  1. Можно провести прямую линию из любой точки в любую другую точку.
  2. Можно продолжать линейный сегмент непрерывно в обоих направлениях.
  3. Можно описать круг с любым центром и любым радиусом.
  4. Верно, что все прямые углы равны друг другу.
  5. (« Постулат параллельности »). Это правда, что если прямая линия, падающая на две прямые, делает внутренние углы на одной стороне меньше двух прямых углов, две прямые линии, если они образуются бесконечно, пересекаются на той стороне, на которой находятся углы меньше двух прямых углов.
Общие понятия
  1. Вещи, которые равны одному и тому же, также равны друг другу.
  2. Если равные добавляются к равным, целые равны.
  3. Если равные вычитаются из равных, остатки равны.
  4. Вещи, которые совпадают друг с другом, равны друг другу.
  5. Целое больше части.

Современная разработка [ править ]

Урок, извлеченный математикой за последние 150 лет, состоит в том, что полезно лишить смысла математические утверждения (аксиомы, постулаты, утверждения , теоремы) и определения. В любом исследовании следует признать необходимость примитивных понятий или неопределенных терминов или концепций. Такая абстракция или формализация делает математические знания более общими, способными иметь несколько различных значений и, следовательно, полезными в разных контекстах. Алессандро Падоа , Марио Пьери и Джузеппе Пеано были пионерами в этом движении.

Структуралисты математика идет дальше, и развивает теории и аксиомы (например , теории поля , теории групп , топологии , векторные пространства ) без какой - либо конкретного применения в виду. Различие между «аксиомой» и «постулатом» исчезает. Постулаты Евклида выгодно мотивированы утверждением, что они приводят к огромному количеству геометрических фактов. Истинность этих сложных фактов основывается на принятии основных гипотез. Однако, отбросив пятый постулат Евклида, можно получить теории, которые имеют значение в более широком контексте (например, гиперболическая геометрия). Таким образом, нужно просто быть готовым использовать такие ярлыки, как «линия» и «параллель», с большей гибкостью. Развитие гиперболической геометрии научило математиков, что постулаты полезно рассматривать как чисто формальные утверждения, а не как факты, основанные на опыте.

Когда математики используют аксиомы поля , намерения становятся еще более абстрактными. Положения теории поля не касаются какого-либо конкретного приложения; математик теперь работает в полной абстракции. Есть много примеров полей; теория поля дает правильные знания обо всех них.

Было бы неправильно говорить, что аксиомы теории поля - это «утверждения, которые считаются истинными без доказательства». Скорее, аксиомы поля - это набор ограничений. Если какая-либо данная система сложения и умножения удовлетворяет этим ограничениям, то можно мгновенно узнать много дополнительной информации об этой системе.

Современная математика формализует свои основы до такой степени, что математические теории можно рассматривать как математические объекты, а саму математику можно рассматривать как ветвь логики . Фреге , Рассел , Пуанкаре , Гильберт и Гедель - некоторые из ключевых фигур в этом развитии.

Еще один урок современной математики состоит в том, чтобы тщательно исследовать предполагаемые доказательства на предмет скрытых предположений.

В современном понимании набор аксиом - это любой набор формально сформулированных утверждений, из которых следуют другие формально сформулированные утверждения - путем применения определенных четко определенных правил. С этой точки зрения логика становится просто еще одной формальной системой. Набор аксиом должен быть последовательным ; вывести противоречие из аксиомы должно быть невозможно. Набор аксиом также должен быть неизбыточным; утверждение, которое можно вывести из других аксиом, не нужно рассматривать как аксиому.

Современные логики с самого начала надеялись, что различные разделы математики, а возможно и вся математика, могут быть выведены из последовательного набора основных аксиом. Ранний успех формалистической программы была формализация Гильберта [б] в евклидовой геометрии , [11] и связанная демонстрация согласованности этих аксиом.

В более широком контексте была попытка основать всю математику на теории множеств Кантора . Здесь появление парадокса Рассела и подобных антиномий наивной теории множеств повысило вероятность того, что любая такая система может оказаться непоследовательной.

Формалистический проект потерпел решительную неудачу, когда в 1931 году Гедель показал, что для любого достаточно большого набора аксиом ( например, аксиом Пеано ) возможно построить утверждение, истинность которого не зависит от этого набора аксиом. В качестве следствия Гёдель доказал, что непротиворечивость теории, подобной арифметике Пеано, является недоказуемым утверждением в рамках этой теории. [12]

Разумно верить в непротиворечивость арифметики Пеано, потому что она удовлетворяется системой натуральных чисел , бесконечной, но интуитивно доступной формальной системой. Однако в настоящее время нет известного способа продемонстрировать непротиворечивость современных аксиом Цермело – Френкеля для теории множеств. Более того, используя технику принуждения ( Коэн ), можно показать, что гипотеза континуума (Кантора) не зависит от аксиом Цермело – Френкеля. [13] Таким образом, даже этот очень общий набор аксиом не может рассматриваться как окончательная основа математики.

Другие науки [ править ]

Аксиомы играют ключевую роль не только в математике, но и в других науках, особенно в теоретической физике . В частности, монументальная работа Исаака Ньютона по существу основана на аксиомах Евклида , дополненных постулатом о несвязи пространства-времени и физики, происходящей в нем в любой момент.

В 1905 годе аксиомы Ньютона были заменены на том Альберт Эйнштейн «s специальной теории относительности , а затем те из общей теории относительности .

Другая статья Альберта Эйнштейна и его сотрудников (см. Парадокс ЭПР ), почти сразу опровергнутая Нильсом Бором , касалась интерпретации квантовой механики . Это было в 1935 году. Согласно Бору, эта новая теория должна быть вероятностной , тогда как согласно Эйнштейну она должна быть детерминированной . Лежащая в основе квантово-механическая теория, то есть набор выводимых ею «теорем», казалась идентичной. Эйнштейн даже предположил, что достаточно добавить к квантовой механике «скрытые переменные», чтобы усилить детерминизм. Однако тридцать лет спустя, в 1964 году, Джон Белл нашел теорему, включающую сложные оптические корреляции (см. Неравенства Белла), которые с использованием аксиом Эйнштейна дали ощутимо разные результаты по сравнению с использованием аксиом Бора. И потребовалось еще примерно двадцать лет, прежде чем эксперимент Алена Аспекта дал результаты в пользу аксиом Бора, а не Эйнштейна. (Аксиомы Бора просты: теория должна быть вероятностной в смысле копенгагенской интерпретации .)

Как следствие, нет необходимости явно цитировать аксиомы Эйнштейна, тем более что они касаются тонких моментов, касающихся «реальности» и «локальности» экспериментов.

Тем не менее роль аксиом в математике и в вышеупомянутых науках различна. В математике ни «доказывают», ни «опровергают» аксиому для набора теорем; Дело просто в том, что в концептуальной сфере, определяемой аксиомами, теоремы логически следуют. Напротив, в физике сравнение с экспериментом всегда имеет смысл, поскольку фальсифицированная физическая теория требует модификации.

Математическая логика [ править ]

В области математической логики проводится четкое различие между двумя понятиями аксиом: логическими и нелогическими (что-то вроде древнего различия между «аксиомами» и «постулатами» соответственно).

Логические аксиомы [ править ]

Это определенные формулы на формальном языке, которые являются универсально действительными , то есть формулы, которым удовлетворяет каждое присвоение значений. Обычно в качестве логических аксиом принимают по крайней мере некоторый минимальный набор тавтологий, достаточный для доказательства всех тавтологий в языке; в случае логики предикатов больше логических аксиом, чем требуется, чтобы доказать логические истины , которые не являются тавтологиями в строгом смысле.

Примеры [ править ]

Логика высказываний [ править ]

В логике высказываний он является общим взять в качестве логических аксиом всех формул следующих форм, где , и может быть любыми формулами языка и где включенные примитивные связки только « » для отрицания непосредственно следующее предложение и « » для импликация от антецедента к последующим предложениям:

Каждый из этих паттернов представляет собой схему аксиом , правило для создания бесконечного числа аксиом. Например, если , и являются пропозициональными переменными , то и оба являются экземплярами схемы аксиом 1 и, следовательно, являются аксиомами. Можно показать, что только с этими тремя схемами аксиом и modus ponens можно доказать все тавтологии исчисления высказываний. Также можно показать, что ни одной пары этих схем недостаточно для доказательства всех тавтологий с modus ponens .

В качестве альтернативы могут быть созданы другие схемы аксиом, включающие те же самые или разные наборы примитивных связок. [14]

Эти схемы аксиом также используются в исчислении предикатов , но необходимы дополнительные логические аксиомы, чтобы включить квантор в исчисление. [15]

Логика первого порядка [ править ]

Аксиома равенства. Позвольте быть языком первого порядка . Для каждой переменной формула

универсально.

Это означает, что для любого переменного символа формулу можно рассматривать как аксиому. Кроме того, в этом примере, чтобы это не впадало в неопределенность и нескончаемый ряд «примитивных понятий», необходимо либо точное представление о том, что мы подразумеваем под (или, если на то пошло, «быть равными»). вначале должно быть четко установлено, или должно применяться чисто формальное и синтаксическое использование символа , только рассматривая его как строку и только строку символов, и математическая логика действительно делает это.

Другой, более интересный пример схемы аксиом - это схема , которая предоставляет нам то, что известно как универсальное воплощение :

Схема аксиом для универсального воплощения. Учитывая формулу на языке первого порядка , переменную и термин, который можно заменить на in , формула

универсально.

Где символ обозначает формулу с замененным термином . (См. Подстановка переменных .) В неформальных терминах этот пример позволяет нам заявить, что, если мы знаем, что определенное свойство имеет место для каждого и обозначает конкретный объект в нашей структуре, тогда мы должны иметь возможность требовать . Опять же, мы заявляем, что формула действительна , то есть мы должны быть в состоянии предоставить «доказательство» этого факта или, точнее говоря, мета-доказательство . Эти примеры являются метатеоремами нашей теории математической логики, поскольку мы имеем дело с самой концепцией доказательства. сам. Помимо этого, у нас также может быть экзистенциальное обобщение :

Схема аксиом для экзистенциального обобщения. Учитывая формулу на языке первого порядка , переменную и термин, который можно заменить на in , формула

универсально.

Нелогические аксиомы [ править ]

Нелогические аксиомы - это формулы, которые играют роль допущений теории. Рассуждения о двух разных структурах, например о натуральных числах и целых числах , могут включать одни и те же логические аксиомы; нелогические аксиомы стремятся уловить особенности конкретной структуры (или набора структур, таких как группы ). Таким образом, нелогические аксиомы, в отличие от логических, не являются тавтологиями . Другое название нелогической аксиомы - постулат . [16]

Почти каждая современная математическая теория начинается с заданного набора нелогических аксиом, и [ требовалось дополнительное объяснение ] мысль [ необходима цитата ], что в принципе каждая теория может быть аксиоматизирована таким образом и формализована до простого языка логических формул. .

Нелогические аксиомы в математическом дискурсе часто называют просто аксиомами . Это не означает, что утверждается, что они верны в каком-то абсолютном смысле. Например, в некоторых группах групповая операция коммутативна , и это можно утверждать, вводя дополнительную аксиому, но без этой аксиомы мы можем довольно хорошо развить (более общую) теорию групп, и мы даже можем взять его отрицание как аксиома для изучения некоммутативных групп.

Таким образом, аксиома - это элементарная основа для формальной логической системы, которая вместе с правилами вывода определяют дедуктивную систему .

Примеры [ править ]

В этом разделе приведены примеры математических теорий, которые полностью разработаны на основе набора нелогических аксиом (аксиом, впредь). Строгое рассмотрение любой из этих тем начинается с уточнения этих аксиом.

Базовые теории, такие как арифметика , реальный анализ и комплексный анализ , часто вводятся неаксиоматически, но неявно или явно обычно предполагается, что используемые аксиомы являются аксиомами теории множеств Цермело – Френкеля с выбором, сокращенно ZFC или некоторыми другими. очень похожая система аксиоматической теории множеств, такая как теория множеств Фон Неймана – Бернейса – Гёделя , консервативное расширение ZFC. Иногда несколько более сильные теории, такие как теория множеств Морса – Келли или теория множеств с сильно недоступным кардиналом, позволяющая использовать вселенную Гротендика.используется, но на самом деле большинство математиков могут доказать все, что им нужно, в системах, более слабых, чем ZFC, таких как арифметика второго порядка . [ необходима цитата ]

Изучение топологии в математике простирается во всем через точку множества топологии , алгебраической топологии , дифференциальной топологии , а также все связанные атрибутики, такие как теория гомологии , гомотопической теории . Развитие абстрактной алгебры принесло с собой теорию групп , колец , поля и теорию Галуа .

Этот список можно расширить, включив в него большинство областей математики, включая теорию меры , эргодическую теорию , вероятность , теорию представлений и дифференциальную геометрию .

Арифметика [ править ]

Эти аксиомы Пеано являются наиболее широко используемой аксиоматизацией из арифметики первого порядка . Это набор аксиом, достаточно сильный, чтобы доказать многие важные факты теории чисел, и они позволили Гёделю установить его знаменитую вторую теорему о неполноте . [17]

У нас есть язык, где - постоянный символ, а - унарная функция и следующие аксиомы:

  1. для любой формулы с одной свободной переменной.

Стандартная структура: где - это набор натуральных чисел, является функцией-преемником и естественно интерпретируется как число 0.

Евклидова геометрия [ править ]

Вероятно, самый старый и самый известный список аксиом - это постулаты Евклида 4 + 1 о плоской геометрии . Эти аксиомы упоминаются как «4 + 1», потому что почти два тысячелетия предполагалось, что пятый (параллельный) постулат («через точку вне прямой есть ровно одна параллель») можно вывести из первых четырех. В конце концов, пятый постулат оказался независимым от первых четырех. Можно предположить, что существует ровно одна параллель, проходящая через точку вне прямой, или что существует бесконечное их количество. Этот выбор дает нам две альтернативных формы геометрии , в которой внутренние углы из более треугольника складываются ровно 180 градусов или меньше, соответственно, и известен как Евклид игиперболические геометрии. Если также убрать второй постулат («линия может быть продолжена бесконечно»), тогда возникает эллиптическая геометрия , в которой нет параллели через точку вне линии, и в которой внутренние углы треугольника в сумме составляют более 180 градусов. .

Реальный анализ [ править ]

Цели исследования относятся к области реальных чисел . Действительные числа однозначно выбираются (с точностью до изоморфизма ) свойствами полного упорядоченного поля Дедекинда , что означает, что любое непустое множество действительных чисел с верхней границей имеет наименьшую верхнюю границу. Однако выражение этих свойств в виде аксиом требует использования логики второго порядка . В теоремах Löwenheim-сколемовские говорят нам , что если мы ограничимся логика первого порядка , любая система аксиом для вещественных чисел допускают другие модели, включая обе модели, которые меньше , чем реал и модели, которые больше. Некоторые из последних изучаются в нестандартном анализе .

Роль в математической логике [ править ]

Дедуктивные системы и полнота [ править ]

Дедуктивная система состоит из множества логических аксиом, набора нелогических аксиом, а также набор из правил вывода . Желательным свойством дедуктивной системы является ее полнота . Система называется полным , если для всех формул ,

то есть для любого утверждения, которое является логическим следствием, на самом деле существует дедукция утверждения из . Иногда это выражается как «все, что истинно, доказуемо», но следует понимать, что «истинное» здесь означает «истинное посредством набора аксиом», а не, например, «истинное в предполагаемой интерпретации». Теорема Гёделя о полноте устанавливает полноту определенного обычно используемого типа дедуктивной системы.

Обратите внимание, что «полнота» имеет здесь другое значение, чем в контексте первой теоремы Гёделя о неполноте , которая утверждает, что никакой рекурсивный , непротиворечивый набор нелогических аксиом теории арифметики не является полным в том смысле, что всегда будет существует такое арифметическое утверждение , что ни одно и не может быть доказано с помощью данного набора аксиом.

Таким образом, существует, с одной стороны, понятие полноты дедуктивной системы, а с другой - понятие полноты набора нелогических аксиом . Теорема о полноте и теорема о неполноте, несмотря на их названия, не противоречат друг другу.

Дальнейшее обсуждение [ править ]

Ранние математики считали аксиоматическую геометрию моделью физического пространства , и очевидно, что такая модель могла быть только одна. Идея о том, что альтернативные математические системы могут существовать, очень беспокоила математиков 19-го века, и разработчики таких систем, как булева алгебра, приложили значительные усилия, чтобы вывести их из традиционной арифметики. Галуа незадолго до своей безвременной кончины показал, что эти усилия были напрасны. В конечном итоге абстрактные параллели между алгебраическими системами оказались важнее деталей, и современная алгебрародился. С современной точки зрения, аксиомы могут быть любым набором формул, если не известно, что они противоречивы.

См. Также [ править ]

  • Аксиоматическая система
  • Догма
  • Первый принцип , аксиома в науке и философии
  • Список аксиом
  • Теория моделей
  • Регулу Юрис
  • Теорема
  • Пресуппозиция
  • Физический закон
  • Принцип

Примечания [ править ]

  1. ^ Хотя и не полный; некоторые из заявленных результатов фактически не вытекали из заявленных постулатов и общепринятых представлений.
  2. ^ Гильберт также сделал явными предположения, которые Евклид использовал в своих доказательствах, но не перечислил в своих общих понятиях и постулатах.

Ссылки [ править ]

  1. ^ Ср. аксиома, сущ., этимология. Oxford English Dictionary , дата обращения 28 апреля 2012 г.
  2. ^ Словарь Оксфордского американского колледжа: "сущ. Утверждение или предложение, которое рассматривается как установленное, принятое или самоочевидно истинное. ПРОИСХОЖДЕНИЕ: конец 15 века: в конечном счете от греческого axiōma 'то, что считается подходящим', из axios 'достойно . ' HighBeam [ мертвая ссылка ] (требуется подписка)
  3. ^ «Предложение, которое требует всеобщего признания; хорошо установленный или общепризнанный принцип; максима, правило, закон» аксиома, п., Определение 1a. Oxford English Dictionary Online, дата обращения 28 апреля 2012 г. Ср. Аристотель, Posterior Analytics I.2.72a18-b4.
  4. ^ «Предложение (истинное или ложное)» аксиома, сущ., Определение 2. Оксфордский словарь английского языка Online, доступ 2012-04-28.
  5. ^ «Окончательный глоссарий высшего математического жаргона» . Математическое хранилище . 1 августа 2019 . Дата обращения 19 октября 2019 .
  6. ^ См., Например, Мэдди, Пенелопа (июнь 1988 г.). «Веря аксиомам, я». Журнал символической логики . 53 (2): 481–511. DOI : 10.2307 / 2274520 .для реалистичного взгляда.
  7. ^ a b "Аксиома - Повшечная энциклопедия философии" (PDF) . Polskie Towarzystwo Tomasza z Akwinu .
  8. Перейти ↑ Wolff, P. Breakthroughs in Mathematics , 1963, New York: New American Library, pp 47–48
  9. ^ Хит, T. 1956. Тринадцать книг элементов Евклида. Нью-Йорк: Дувр. 200 стр.
  10. ^ Аристотель, Метафизика Bk IV, Глава 3, 1005b «Физика также является разновидностью Мудрости, но она не первого вида. - И попытки некоторых из тех, кто обсуждает условия, на которых должна быть принята истина, обусловлены недостаток обучения логике, так как они должны знать эти вещи уже тогда, когда приходят на специальное исследование, а не спрашивать их, пока они слушают лекции по этому вопросу ". Перевод У. Д. Росс, в «Основные труды Аристотеля», изд. Ричард МакКеон (Рэндом Хаус, Нью-Йорк, 1941)
  11. ^ Для получения дополнительной информации см . Аксиомы Гильберта .
  12. ^ Raatikainen, Пану (2018), Залта, Эдвард Н. (ред.), "Гёделя о неполноте теоремы" , Стэнфорд энциклопедия философии (осень 2018 -е изд.), Метафизика Research Lab Стэнфордского университета , получен 19 октября 2019
  13. ^ Koellner, Питер (2019), Залта, Эдвард Н. (ред.), "Континуум гипотеза" , Стэнфорд энциклопедия философии (2019 весной под ред.), Метафизика Research Lab Стэнфордского университета , получен 19 октября 2019
  14. ^ Мендельсон, "6. Другие аксиоматизации" гл. 1
  15. ^ Мендельсон, "3. Теории первого порядка" гл. 2
  16. ^ Мендельсон, "3. Теории первого порядка: правильные аксиомы" гл. 2
  17. ^ Мендельсон, "5. Теорема о неподвижной точке. Теорема Гёделя о неполноте" гл. 2

Дальнейшее чтение [ править ]

  • Мендельсон, Эллиот (1987). Введение в математическую логику. Белмонт, Калифорния: Уодсворт и Брукс. ISBN 0-534-06624-0 
  • Уилсон, Джон Кук (1889). Об эволюционистской теории аксиом  . Оксфорд: Clarendon Press.

Внешние ссылки [ править ]

  • Аксиома в PhilPapers
  • Аксиома в PlanetMath .
  • Страница аксиом метамата