Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Если сумма внутренних углов α и β меньше 180 °, две прямые линии, образованные бесконечно, пересекаются на этой стороне.

В геометрии , то параллельно постулатом , называемый также Евклид пятый постулат «s , потому что это пятый постулат Евклида элементов , является отличительной аксиома в евклидовой геометрии . В нем говорится, что в двумерной геометрии:

Если через отрезок линии пересекает две прямые линии , образующие две внутренние углы на той же стороне , что сумма менее двух прямых углов , то две линии, если продлен на неопределенный срок, встречаются на той стороне , на которой углы сумму меньше двух прямых углов.

Этот постулат конкретно не говорит о параллельных линиях; [1] это всего лишь постулат, связанный с параллелизмом. Евклид дал определение параллельных прямых в Книге I, Определение 23 [2] непосредственно перед пятью постулатами. [3]

Евклидова геометрия - это изучение геометрии, которая удовлетворяет всем аксиомам Евклида, включая постулат параллельности.

Постулат долгое время считался очевидным или неизбежным, но доказательства были неуловимы. В конце концов было обнаружено, что инвертирование постулата дает действительную, хотя и другую геометрию. Геометрия, в которой постулат параллельности не выполняется, называется неевклидовой геометрией . Геометрия, которая не зависит от пятого постулата Евклида (т. Е. Предполагает только современный эквивалент первых четырех постулатов), известна как абсолютная геометрия (или иногда «нейтральная геометрия»).

Эквивалентные свойства [ править ]

Вероятно, наиболее известным эквивалентом постулата параллельности Евклида, зависящего от других его постулатов, является аксиома Плейфэра , названная в честь шотландского математика Джона Плейфэра , которая гласит:

На плоскости, для которой задана линия и точка не на ней, через точку можно провести не более одной линии, параллельной данной линии. [4]

Эта аксиома сама по себе логически не эквивалентна постулату евклидовой параллельности, поскольку существуют геометрии, в которых одна истинна, а другая - нет. Однако при наличии остальных аксиом, которые дают евклидову геометрию, каждая из них может использоваться для доказательства другой, поэтому они эквивалентны в контексте абсолютной геометрии . [5]

Было предложено много других утверждений, эквивалентных постулату параллельности, некоторые из них поначалу казались не связанными с параллелизмом, а некоторые казались настолько самоочевидными, что они были бессознательно приняты людьми, которые утверждали, что доказали параллельный постулат из других постулатов Евклида. . Эти эквивалентные утверждения включают:

  1. Существует не более одной линии, которую можно провести параллельно другой, проведенной через внешнюю точку. ( Аксиома Playfair )
  2. Сумма углов в каждом треугольнике равна 180 ° ( постулат треугольника ).
  3. Существует треугольник, сумма углов которого равна 180 °.
  4. Сумма углов одинакова для всех треугольников.
  5. Существует пара похожих , но не совпадающих треугольников.
  6. Каждый треугольник можно описать .
  7. Если три угла четырехугольника - прямые , то четвертый угол также является прямым.
  8. Существует четырехугольник, в котором все углы прямые, то есть прямоугольник .
  9. Существует пара прямых, находящихся на постоянном расстоянии друг от друга.
  10. Две линии, параллельные одной линии, также параллельны друг другу.
  11. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух других сторон ( теорема Пифагора ). [6] [7]
  12. Закон косинусов , общий случай теоремы Пифагора.
  13. Нет верхнего предела площади треугольника. ( Аксиома Уоллиса ) [8]
  14. Вершины четырехугольника Саккери равны 90 °.
  15. Если линия пересекает одну из двух параллельных линий, обе из которых копланарны исходной линии, то она также пересекает другую. ( Аксиома Прокла ) [9]

Однако альтернативы, в которых используется слово «параллельный», перестают казаться такими простыми, когда приходится объяснять, какое из четырех общих определений «параллель» имеется в виду - постоянное разделение, никогда не встречающиеся, одни и те же углы пересекаются какой-то третьей линией или те же углы, где пересекаются любыетретья строка - поскольку эквивалентность этих четырех сама по себе является одним из бессознательно очевидных предположений, эквивалентных пятому постулату Евклида. В приведенном выше списке всегда подразумеваются непересекающиеся линии. Например, если слово «параллель» в аксиоме Плейфэра означает «постоянное разделение» или «одинаковые углы, пересекаемые любой третьей линией», то это больше не эквивалентно пятому постулату Евклида и доказуемо на основе первых четырех. (аксиома гласит: «Существует не более одной линии ...», что согласуется с отсутствием таких линий). Однако, если определение взято таким образом, что параллельные прямые - это прямые, которые не пересекаются или у которых есть линия, пересекающая их под одинаковыми углами, аксиома Плейфэра контекстуально эквивалентна Евклиду 'пятый постулат и, таким образом, логически независим от первых четырех постулатов. Обратите внимание, что последние два определения не эквивалентны, потому что в гиперболической геометрии второе определение справедливо только дляультрапараллельные линии.

История [ править ]

В течение двух тысяч лет было предпринято множество попыток доказать параллельный постулат, используя первые четыре постулата Евклида. Основная причина того, что такое доказательство так востребовано, заключалась в том, что, в отличие от первых четырех постулатов, параллельный постулат не является самоочевидным. Если порядок, в котором постулаты были перечислены в элементах, является значительным, это означает, что Евклид включил этот постулат только тогда, когда он понял, что не может доказать его или продолжить без него. [10] Было предпринято множество попыток доказать пятый постулат из четырех других, многие из них долгое время принимались в качестве доказательств, пока не была обнаружена ошибка. Неизбежно ошибка заключалась в предположении некоторого «очевидного» свойства, которое оказывалось эквивалентным пятому постулату ( аксиома Плейфэра). Хотя это известно со времен Прокла, оно стало известно как Аксиома Плейфэра после того, как Джон Плейфэр написал знаменитый комментарий к Евклиду в 1795 году, в котором он предложил заменить пятый постулат Евклида его собственной аксиомой.

Прокл (410–485) написал комментарий к «Элементам», в котором он комментирует попытки вывести пятый постулат из четырех других; в частности, он отмечает, что Птолемей представил ложное «доказательство». Затем Прокл приводит собственное ложное доказательство. Однако он дал постулат, эквивалентный пятому постулату.

Ибн аль-Хайты (Альхазно) (965-1039), арабский математик , сделали попытку доказать постулат , используя доказательство от противного , [11] , в ходе которого он ввел понятие движения и преобразования в геометрию. [12] Он сформулировал четырехугольник Ламберта , который Борис Абрамович Розенфельд назвал «четырехугольником Ибн аль-Хайтама – Ламберта», [13] и его попытка доказательства содержит элементы, аналогичные тем, которые содержатся в четырехугольниках Ламберта и аксиоме Плейфэра . [14]

Персидский математик, астроном, философ и поэт Омар Хайям (1050–1123) попытался доказать пятый постулат с помощью другого явно данного постулата (основанного на четвертом из пяти принципов, принадлежащих философу ( Аристотелю ), а именно: «Два сходящиеся прямые линии пересекаются, и две сходящиеся прямые линии не могут расходиться в направлении, в котором они сходятся » [15]. Он получил некоторые из более ранних результатов, относящихся к эллиптической геометрии и гиперболической геометрии , хотя его постулат исключал последнюю возможность. [16] Саккери четырехугольниктакже был впервые рассмотрен Омаром Хайямом в конце 11 века в Книге I « Объяснение трудностей постулатов Евклида» . [13] В отличие от многих комментаторов Евклида до и после него (включая Джованни Джироламо Саккери) Хайям пытался доказать не параллельный постулат как таковой, а вывести его из своего эквивалентного постулата. Он признал, что из исключения пятого постулата Евклида возникают три возможности; если два перпендикуляра к одной линии пересекают другую линию, разумный выбор последнего может сделать внутренние углы в месте пересечения двух перпендикуляров равными (тогда он будет параллелен первой линии). Если эти равные внутренние углы являются прямыми углами, мы получаем пятый постулат Евклида, в противном случае они должны быть либо острыми, либо тупыми. Он показал, что острые и тупые случаи приводят к противоречиям, используя его постулат, но теперь известно, что его постулат эквивалентен пятому постулату.

Насир ад-Дин ат-Туси (1201–1274) в своей книге «Аль-ризала аш-шафия'ан аль-шакк фил-хутут аль-мутавазия» (« Обсуждение, снимающее сомнения относительно параллельных линий» ) (1250 г.) написал подробные критические статьи. параллельного постулата и попытки доказательства Хайяма столетием ранее. Насир ад-Дин попытался получить доказательство, противоречащее параллельному постулату. [17] Он также рассмотрел случаи того, что сейчас известно как эллиптическая и гиперболическая геометрия, хотя и исключил их оба. [16]

Евклидова, эллиптическая и гиперболическая геометрия. Постулат параллельности выполняется только для моделей евклидовой геометрии.

Сын Насира ад-Дина, Садр ад-Дин (иногда известный как « Псевдо-Туси »), написал книгу на эту тему в 1298 году, основанную на более поздних размышлениях своего отца, которые представили один из самых ранних аргументов в пользу неевклидовой гипотезы. эквивалент постулата параллельности. «Он существенно пересмотрел как евклидову систему аксиом и постулатов, так и доказательства многих утверждений Элементов ». [17] [18] Его работа была опубликована в Риме в 1594 году и была изучена европейскими геометрами. Эта работа стала отправной точкой для работы Саккери по этому вопросу [17], которая началась с критики работы Садр ад-Дина и работы Уоллиса. [19]

Джордано Витале (1633-1711) в своей книге Euclide restituo (1680, 1686) использовал четырехугольник Хайяма-Саккери, чтобы доказать, что если три точки равноудалены на основании AB и вершине CD, то AB и CD везде равноудалены. Джироламо Саккери (1667-1733) проводил ту же линию рассуждений более тщательно, правильно извлекая абсурдность из тупого случая (исходя, как и Евклид, из неявного предположения, что линии могут быть неограниченно продолжены и иметь бесконечную длину), но не опровергая это острый случай (хотя ему удалось ошибочно убедить себя, что это так).

В 1766 году Иоганн Ламберт написал, но не опубликовал « Theorie der Parallellinien», в которой он, как и Саккери, попытался доказать пятый постулат. Он работал с фигурой, которую сегодня мы называем четырехугольником Ламберта., четырехугольник с тремя прямыми углами (можно рассматривать как половину четырехугольника Саккери). Он быстро исключил возможность тупости четвертого угла, как это сделали Саккери и Хайям, а затем приступил к доказательству многих теорем в предположении об остром угле. В отличие от Саккери, он никогда не чувствовал, что пришел к противоречию с этим предположением. Он доказал неевклидов результат, согласно которому сумма углов в треугольнике увеличивается с уменьшением площади треугольника, и это привело его к размышлениям о возможности модели острого случая на сфере мнимого радиуса. Он не стал продвигать эту идею дальше. [20]

Там, где Хайям и Саккери пытались доказать пятую точку Евклида, опровергая единственно возможные альтернативы, в девятнадцатом веке, наконец, математики изучали эти альтернативы и открывали логически непротиворечивые геометрические формы, полученные в результате. В 1829 году Николай Иванович Лобачевский опубликовал отчет об острой геометрии в малоизвестном русском журнале (позже переизданном в 1840 году на немецком языке). В 1831 году Янош Бойяи включил в книгу своего отца приложение с описанием острой геометрии, которую, несомненно, он разработал независимо от Лобачевского. Карл Фридрих Гаусс также изучал эту проблему, но не опубликовал никаких своих результатов. Услышав о результатах Бойяи в письме от отца Бойяи,Фаркас Бойяи , Гаусс заявил:

«Если бы я начал с того, что сказал, что не могу похвалить эту работу, вы наверняка на мгновение удивитесь. Но я не могу сказать иначе. Хвалить это значило бы хвалить себя. Действительно, все содержание работы, пройденный путь По мнению вашего сына, результаты, к которым его привели, почти полностью совпадают с моими медитациями, которые частично занимали мой ум последние тридцать или тридцать пять лет ". [21]

Полученные геометрии позже были развиты Лобачевским , Риманом и Пуанкаре в гиперболическую геометрию (острый случай) и эллиптическую геометрию (тупой случай). Независимость от постулата из других аксиом Евклида была , наконец , продемонстрировали Бельтры в 1868 году.

Обращение к постулату параллельности Евклида [ править ]

Обратное к постулату параллельности: если сумма двух внутренних углов равна 180 °, то прямые параллельны и никогда не пересекаются.

Евклид не постулировал обратное своему пятому постулату, который является одним из способов отличить евклидову геометрию от эллиптической геометрии . Элементы содержат доказательство эквивалентного утверждения (Книга I, предложение 27): если прямая линия, падающая на две прямые, уравнивает чередующиеся углы друг с другом, прямые линии будут параллельны друг другу. Как указал Де Морган [22] , это логически эквивалентно (Книга I, предложение 16). Эти результаты не зависят от пятого постулата, но они требуют второго постулата [23], который нарушается в эллиптической геометрии.

Критика [ править ]

Попытки логически доказать параллельный постулат, а не восьмую аксиому, [24] подверглись критике со стороны Артура Шопенгауэра . Однако аргумент, использованный Шопенгауэром, заключался в том, что постулат очевиден для восприятия, а не в том, что он не был логическим следствием других аксиом.

См. Также [ править ]

  • Неевклидова геометрия

Примечания [ править ]

  1. ^ Неевклидовы геометрии , доктор Катрина Пятек-Хименес
  2. ^ Элементы Евклида, Книга I, Определение 23
  3. ^ Элементы Евклида, Книга I
  4. ^ Параллельный постулат Евклида и аксиома Playfair
  5. ^ Henderson & Taimiņa 2005 , стр. 139
  6. ^ Эрик В. Вайсштейн (2003), CRC краткая энциклопедия математики (2-е изд.), Стр. 2147, ISBN 1-58488-347-2, Параллельный постулат эквивалентен постулат равноудаленного , Playfair аксиомы , Прокл аксиому , в постулат треугольника и теорему Пифагора .
  7. ^ Александр Р. Прусс (2006), Принцип достаточной причины: переоценка , Cambridge University Press, стр. 11, ISBN 0-521-85959-X, Мы могли бы включить ... параллельный постулат и вывести теорему Пифагора. Или мы могли бы вместо этого сделать теорему Пифагора среди других аксиом и вывести постулат параллельности.
  8. ^ Богомольные, Александр . «Пятый постулат Евклида» . Разрежьте узел . Проверено 30 сентября 2011 года .
  9. ^ Weisstein, Эрик В. "Аксиома Прокла - MathWorld" . Проверено 5 сентября 2009 .
  10. ↑ Флоренс П. Льюис (январь 1920 г.), «История параллельного постулата», The American Mathematical Monthly , The American Mathematical Monthly, Vol. 27, N 1, 27 (1): 16-23, DOI : 10,2307 / 2973238 , JSTOR 2973238 . 
  11. ^ Кац 1998 , стр. 269
  12. Перейти ↑ Katz 1998 , p. 269:

    Фактически, этот метод характеризовал параллельные линии как линии, всегда равноудаленные друг от друга, а также ввел понятие движения в геометрию.

  13. ^ a b Розенфельд 1988 , стр. 65
  14. ^ Смит 1992
  15. ^ Борис Розенфельд и Адольф П. Юшкевич (1996), Геометрия , стр. 467 в Рошди Рашед, Регис Морелон (1996), Энциклопедия истории арабской науки , Рутледж, ISBN 0-415-12411-5 . 
  16. ^ a b Борис А. Розенфельд и Адольф П. Юшкевич (1996), «Геометрия», в Рошди Рашед, изд., Энциклопедия истории арабской науки , Vol. 2, стр. 447-494 [469], Рутледж , Лондон и Нью-Йорк:

    «Постулат Хайяма исключил случай гиперболической геометрии, тогда как постулат ат-Туси исключил как гиперболическую, так и эллиптическую геометрии».

  17. ^ a b c Кац 1998 , стр.271:

    "Но в рукописи, вероятно написанной его сыном Садр ад-Дином в 1298 году на основе более поздних мыслей Насир ад-Дина по этому вопросу, есть новый аргумент, основанный на другой гипотезе, также эквивалентной гипотезе Евклида, [...] Важность этой последней работы состоит в том, что она была опубликована в Риме в 1594 году и была изучена европейскими геометрами. В частности, она стала отправной точкой для работ Саккери и, в конечном итоге, для открытия неевклидовой геометрии ».

  18. ^ Б. А. Розенфельд и Адольф П. Youschkevitch (1996), «Геометрия», в Рошди Рашед, изд., Энциклопедия истории арабской науки , Vol. 2, стр. 447-494 [469], Рутледж , Лондон и Нью-Йорк:

    «В « Изложении Евклида » Псевдо-Туси [...] другое утверждение используется вместо постулата. Оно не зависит от постулата Евклида V и его легко доказать. [...] Он существенно пересмотрел обе евклидовой системы аксиом. и постулаты, и доказательства многих утверждений Элементов ».

  19. ^ Джованни Джироламо Саккери из MacTutor
  20. ^ О'Коннор, JJ; Робертсон, ЭФ «Иоганн Генрих Ламберт» . Проверено 16 сентября 2011 года .
  21. Перейти ↑ Faber 1983 , pg. 161
  22. ^ Хит, TL, Тринадцать книг Элементов Евклида , Том 1, Довер, 1956, стр.309.
  23. ^ Кокстер, HSM, Неевклидова геометрия , 6-е изд., MAA 1998, стр.
  24. ^ Шопенгауэр имеет в виду общее понятие 4 Евклида: совпадающие друг с другом фигуры равны друг другу.

Ссылки [ править ]

  • Кэрролл, Льюис , Евклид и его современные соперники , Дувр, ISBN 0-486-22968-8 
  • Фабер, Ричард Л. (1983), Основы евклидовой и неевклидовой геометрии , Нью-Йорк: Marcel Dekker Inc., ISBN 0-8247-1748-1
  • Хендерсон, Дэвид В .; Тайминя, Дайна (2005), Опыт геометрии: евклидова и неевклидова с историей (3-е изд.), Верхняя Седл-Ривер, Нью-Джерси: Pearson Prentice Hall, ISBN 0-13-143748-8
  • Кац, Виктор Дж. (1998), История математики: Введение , Addison-Wesley , ISBN 0-321-01618-1, OCLC  38199387
  • Розенфельд, Борис А. (1988), История неевклидовой геометрии: эволюция концепции геометрического пространства , Springer Science + Business Media , ISBN 0-387-96458-4, OCLC  15550634
  • Смит, Джон Д. (1992), "Замечательный Ибн аль-Хайтам", Математическая газета , Математическая ассоциация , 76 (475): 189-198, DOI : 10,2307 / 3620392 , JSTOR  3620392

Внешние ссылки [ править ]

  • На горах Гаусса

Эдер, Мишель (2000), Взгляды на параллельный постулат Евклида в Древней Греции и в средневековом исламе , Университет Рутгерса , извлечено 23 января 2008 г.