В евклидовом пространстве , то сумма углов треугольника равна прямой угол (180 градусов , & pi ; радиан , два прямых углов , или полу- поворот ). Треугольник имеет три угла, по одному на каждую вершине , ограниченную парой смежных сторон .
Долгое время было неизвестно, существуют ли другие геометрии, для которых эта сумма иная. Влияние этой проблемы на математику было особенно сильным в XIX веке. В конечном итоге ответ оказался положительным: в других пространствах (геометриях) эта сумма может быть больше или меньше, но тогда она должна зависеть от треугольника. Его отличие от 180 ° является случаем углового дефекта и служит важным отличием для геометрических систем.
Случаи [ править ]
Евклидова геометрия [ править ]
В евклидовой геометрии , то треугольник постулат гласит , что сумма углов треугольника два прямых углов . Этот постулат эквивалентен постулату параллельности . [1] При наличии других аксиом евклидовой геометрии следующие утверждения эквивалентны: [2]
- Постулат треугольника : сумма углов треугольника равна двум прямым углам.
- Аксиома Playfair : дана прямая линия и точка, не лежащая на ней, ровно одна прямая линия может быть проведена через точку, параллельную данной линии.
- Аксиома Прокла : если линия пересекает одну из двух параллельных линий, она также должна пересекать другую. [3]
- Постулат равноудаленности : параллельные линии везде равноудалены (т. Е. Расстояние от каждой точки одной линии до другой всегда одинаково).
- Свойство площади треугольника : площадь треугольника может быть сколь угодно большой.
- Свойство трех точек : три точки либо лежат на линии, либо лежат на окружности .
- Теорема Пифагора : в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух других сторон. [1]
Гиперболическая геометрия [ править ]
Сумма углов гиперболического треугольника меньше 180 °. Связь между угловым дефектом и площадью треугольника впервые доказал Иоганн Генрих Ламберт . [4]
Легко увидеть, как гиперболическая геометрия нарушает аксиому Плейфэра, аксиому Прокла (параллелизм, определяемый как непересечение, нетранзитивен в гиперболической плоскости), постулат равноудаленности (точки на одной стороне и на одинаковом расстоянии от данной линии). не образуют линии) и теоремы Пифагора. Круг [5] не может быть сколь угодно малой кривизны , [6] , так что свойство три очка также терпит неудачу.
Сумма углов может быть сколь угодно малой (но положительной). Для идеального треугольника , обобщения гиперболических треугольников, эта сумма равна нулю.
Сферическая геометрия [ править ]
Для сферического треугольника сумма углов больше 180 ° и может достигать 540 °. В частности, сумма углов равна
- 180 ° × (1 + 4 ф ),
где f - часть площади сферы, заключенной в треугольник.
Обратите внимание, что сферическая геометрия не удовлетворяет некоторым аксиомам Евклида (включая постулат параллельности ).
Этот раздел нуждается в расширении . Вы можете помочь, добавив к нему . ( Ноябрь 2013 г. ) |
Внешние углы [ править ]
Углы между соседними сторонами треугольника называются внутренними углами в евклидовой и других геометриях. Также можно определить внешние углы , а постулат Евклидова треугольника можно сформулировать как теорему о внешнем угле . Можно также рассмотреть сумму всех трех внешних углов, которая равна 360 ° [7] в евклидовом случае (как и для любого выпуклого многоугольника ), меньше 360 ° в сферическом случае и больше 360 ° в гиперболический случай.
В дифференциальной геометрии [ править ]
В дифференциальной геометрии поверхностей вопрос об угловом дефекте треугольника понимается как частный случай теоремы Гаусса-Бонне, когда кривизна замкнутой кривой является не функцией, а мерой с опорой ровно в трех точках - вершинах треугольника.
Этот раздел нуждается в расширении . Вы можете помочь, добавив к нему . ( Ноябрь 2013 г. ) |
См. Также [ править ]
- Евклида элементы
- Основы геометрии
- Аксиомы Гильберта
- Четырехугольник Саккери (рассмотренный ранее, чем Саккери Омаром Хайямом )
- Четырехугольник Ламберта
Ссылки [ править ]
- ^ a b Эрик В. Вайстейн (2003). CRC краткая энциклопедия математики (2-е изд.). п. 2147. ISBN 1-58488-347-2.
Параллельный постулат эквивалентен постулат равноудаленности , Playfair аксиому , Прокл аксиому , в постулат треугольника и теорему Пифагора .
- ^ Кейт Дж. Девлин (2000). Язык математики: сделать невидимое видимым . Макмиллан. п. 161. ISBN. 0-8050-7254-3.
- ^ По сути, транзитивность параллелизма.
- Перейти ↑ Ratcliffe, John (2006), Foundations of Hyperbolic Manifolds , Graduate Texts in Mathematics, 149 , Springer, p. 99, ISBN 9780387331973,
То, что площадь гиперболического треугольника пропорциональна его угловому дефекту, впервые появилось в монографии Ламберта Theorie der Parallellinien , опубликованной посмертно в 1786 году.
- ^ Определяется как набор точек на фиксированном расстоянии от его центра.
- ^ Определен в дифференциально-геометрическом смысле.
- ^ Из определения внешнего угла, его сумма составляет прямой угол с внутренними углами. Таким образом, сумма трех внешних углов, добавленных к сумме трех внутренних углов, всегда дает три прямых угла.
