Радиан

Дуга окружности той же длины, что и радиус этой окружности, образует угол в 1 радиан. Окружность образует угол 2 π радиан.

Радиан , обозначается символом , ^[1] является единицей СИ для измерения углов , и является стандартной единицей измерения углового используются во многих областях математики . Ранее эта единица была дополнительной единицей СИ (до того, как эта категория была отменена в 1995 г.), а радиан теперь является производной единицей СИ . ^[2] Радиан определяется в СИ как безразмерное значение, и его символ, соответственно, часто опускается, особенно в математических письмах.${\ displaystyle {\ text {rad}}}$

Определение

Один радиан определяется как угол, проходящий из центра круга, который пересекает дугу, равную по длине радиусу круга. ^{[3] В} более общем смысле величина в радианах подведенного угла равна отношению длины дуги к радиусу круга; то есть θ = s / r , где θ - угол наклона в радианах, s - длина дуги, а r - радиус. И наоборот, длина перехваченной дуги равна радиусу, умноженному на величину угла в радианах; то есть s = rθ .

Как отношение двух длин радиан - это чистое число . Фактически, радиан определяется как 1. ^[4] Как следствие, в математической письменной форме символ «рад» почти всегда опускается. При количественном определении угла в отсутствие какого-либо символа используются радианы, а когда подразумеваются градусы, используется знак градуса ° .

Полный оборот составляет 2 π радиан (здесь показан круг радиуса один и, следовательно, окружность 2 π ).

Отсюда следует, что величина в радианах одного полного оборота (360 градусов) равна длине всей окружности, деленной на радиус, или 2 π r / r , или 2 π . Таким образом, 2 π радиана равны 360 градусам, что означает, что один радиан равен 180 / π ≈ 57,29577 95130 82320 876 градусам. ^[5]

Соотношение 2 π рад = 360 ° может быть получено с использованием формулы для длины дуги . Взяв формулу для длины дуги, или . Предполагая единичный круг; радиус поэтому 1. Так как радиан является мерой угла , который стягивает дугу длиной , равной радиусу окружности, . Это можно упростить до . Умножение обеих сторон на 360 ° дает 360 ° = 2 π рад .${\ displaystyle \ ell _ {\ text {arc}} = 2 \ pi r \ left ({\ tfrac {\ theta} {360 ^ {\ circ}}} \ right)}$${\ displaystyle 1 = 2 \ pi \ left ({\ tfrac {1 {\ text {rad}}} {360 ^ {\ circ}}} \ right)}$${\ displaystyle 1 = {\ tfrac {2 \ pi {\ text {rad}}} {360 ^ {\ circ}}}}$

История

Понятие радиан, в отличие от градуса угла, обычно приписывается Роджеру Котсу в 1714 году. ^{[6] [7]} Он описал радиан во всем, кроме названия, и признал его естественность как единицу угловой меры. До того, как термин « радиан» стал широко распространенным, единицу измерения обычно называли круговой мерой угла. ^[8]

Идея измерения углов по длине дуги уже использовалась другими математиками. Например, аль-Каши (ок. 1400 г.) использовал так называемые части диаметра в качестве единиц, где одна часть диаметра была1/60радиан. Они также использовали шестидесятеричные единицы диаметра. ^[9]

Термин радиан впервые появился в печати 5 июня 1873 г., в экзаменационных вопросов , поставленных Джеймсом Томсоном (брат лорда Кельвина ) в Королевском колледже , Белфаст . Он использовал этот термин еще в 1871 году, в то время как в 1869 году, Томас Muir , затем из Университета Сент - Эндрюс , колебались между терминами Råd , радиальная и радиан . В 1874 году после консультации с Джеймсом Томсоном Мюр принял радиан . ^{[10] [11] [12]} Некоторое время после этого название радиан не было общепринятым. В 1890 году тригонометрия школы Лонгмана все еще называлась радианной круговой мерой ^[13].

Символ единицы

Международное бюро мер и весов ^[14] и Международной организации по стандартизации ^[15] указать изл как символ радиан. Альтернативные символы, использовавшиеся 100 лет назад, - это ^c (верхняя буква c для «круговой меры»), буква r или верхний индекс ^R , ^[16], но эти варианты используются нечасто, поскольку их можно принять за символ градуса ( °) или радиус (r). Следовательно, значение 1,2 радиана обычно записывается как 1,2 рад; другие обозначения включают 1,2 г, 1,2 ^рад , 1,2 ^гр или 1,2 ^R .

Конверсии

Преобразование радианов в градусы

Как сказано, один радиан равен . Таким образом, чтобы преобразовать радианы в градусы, умножьте на .${\ displaystyle {180 ^ {\ circ}} / {\ pi}}$${\ displaystyle {180 ^ {\ circ}} / {\ pi}}$

${\displaystyle {\text{angle in degrees}}={\text{angle in radians}}\cdot {\frac {180^{\circ }}{\pi }}}$

Например:

${\displaystyle 1{\text{ rad}}=1\cdot {\frac {180^{\circ }}{\pi }}\approx 57.2958^{\circ }}$

${\displaystyle 2.5{\text{ rad}}=2.5\cdot {\frac {180^{\circ }}{\pi }}\approx 143.2394^{\circ }}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{3}}{\text{ rad}}={\frac {\pi }{3}}\cdot {\frac {180^{\circ }}{\pi }}=60^{\circ }}$

И наоборот, чтобы преобразовать градусы в радианы, умножьте на .${\displaystyle {\pi }/{180^{\circ }}}$

${\displaystyle {\text{angle in radians}}={\text{angle in degrees}}\cdot {\frac {\pi }{180^{\circ }}}}$

Например:

${\displaystyle 1^{\circ }=1^{\circ }\cdot {\frac {\pi }{180^{\circ }}}\approx 0.0175{\text{ rad}}}$

${\displaystyle 23^{\circ }=23^{\circ }\cdot {\frac {\pi }{180^{\circ }}}\approx 0.4014{\text{ rad}}}$

Радианы можно преобразовать в обороты (полные обороты), разделив количество радианов на 2 π .

Преобразование радиана в градус

Длина окружности окружности определяется выражением , где - радиус окружности.${\displaystyle 2\pi r}$${\displaystyle r}$

Таким образом, справедливо следующее эквивалентное соотношение:

${\displaystyle 360^{\circ }\iff 2\pi r}$ [Поскольку развертка необходима, чтобы нарисовать полный круг]${\displaystyle 360^{\circ }}$

По определению радиана полный круг представляет:

${\displaystyle {\frac {2\pi r}{r}}{\text{ rad}}}$

${\displaystyle =2\pi {\text{ rad}}}$

Объединение обоих вышеуказанных отношений:

${\displaystyle 2\pi {\text{ rad}}=360^{\circ }}$

${\displaystyle \Rrightarrow 1{\text{ rad}}={\frac {360^{\circ }}{2\pi }}}$

${\displaystyle \Rrightarrow 1{\text{ rad}}={\frac {180^{\circ }}{\pi }}}$

Преобразование радианов в градусы

${\displaystyle 2\pi }$радиан равен одному поворот , который , по определению , 400 gradians (400 Гоны или 400 ^г ). Итак, чтобы преобразовать радианы в градусы, умножьте на , а чтобы преобразовать градусы в радианы, умножьте на . Например,${\displaystyle 200^{\text{g}}/\pi }$${\displaystyle \pi /200^{\text{g}}}$

${\displaystyle 1.2{\text{ rad}}=1.2\cdot {\frac {200^{\text{g}}}{\pi }}\approx 76.3944^{\text{g}}}$

${\displaystyle 50^{\text{g}}=50^{\text{g}}\cdot {\frac {\pi }{200^{\text{g}}}}\approx 0.7854{\text{ rad}}}$

Преимущества измерения в радианах

В исчислении и большинстве других разделов математики, выходящих за рамки практической геометрии , углы обычно измеряются в радианах. Это потому, что радианы обладают математической «естественностью», которая приводит к более элегантной формулировке ряда важных результатов.

В частности, результаты анализа с участием тригонометрических функций могут быть элегантно сформулированы, когда аргументы функций выражаются в радианах. Например, использование радианов приводит к простой формуле предела

${\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\sin h}{h}}=1,}$

что является основой многих других тождеств в математике, в том числе

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin x=\cos x}$^[5]

${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\sin x=-\sin x.}$

Из-за этих и других свойств тригонометрические функции появляются в решениях математических задач, которые явно не связаны с геометрическим значением функций (например, решения дифференциального уравнения , вычисление интеграла и т. Д.). Во всех таких случаях выясняется, что аргументы функций наиболее естественно записываются в форме, которая соответствует в геометрическом контексте измерению углов в радианах.${\displaystyle {\tfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}=-y}$${\displaystyle \textstyle \int {\frac {dx}{1+x^{2}}},}$

Тригонометрические функции также имеют простое и элегантное расширение рядов при использовании радианов. Например, когда x выражается в радианах, ряд Тейлора для sin  x принимает следующий вид:

${\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots .}$

Если бы x был выражен в градусах, то ряд содержал бы беспорядочные множители, включающие степени π / 180: если x - это количество градусов, количество радиан равно y = π x / 180 , поэтому

${\displaystyle \sin x_{\mathrm {deg} }=\sin y_{\mathrm {rad} }={\frac {\pi }{180}}x-\left({\frac {\pi }{180}}\right)^{3}\ {\frac {x^{3}}{3!}}+\left({\frac {\pi }{180}}\right)^{5}\ {\frac {x^{5}}{5!}}-\left({\frac {\pi }{180}}\right)^{7}\ {\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots .}$

В том же духе математически важные отношения между функциями синуса и косинуса и экспоненциальной функцией (см., Например, формулу Эйлера ) могут быть элегантно сформулированы, когда аргументы функций выражены в радианах (и в противном случае беспорядочно).

Размерный анализ

Хотя радиан - это единица измерения, это безразмерная величина . Это видно из определения, данного ранее: угол в центре круга, измеренный в радианах, равен отношению длины заключенной дуги к длине радиуса круга. Поскольку единицы измерения отменяются, это соотношение безразмерно.

Хотя полярные и сферические координаты используют радианы для описания координат в двух и трех измерениях, единица измерения получается из координаты радиуса, поэтому мера угла по-прежнему безразмерна. ^[17]

Использование в физике

Радиан широко используется в физике, когда требуются угловые измерения. Например, угловая скорость обычно измеряется в радианах в секунду (рад / с). Один оборот в секунду равен 2 π радиан в секунду.

Точно так же угловое ускорение часто измеряется в радианах в секунду в секунду (рад / с ² ).

В целях анализа размеров единицами измерения угловой скорости и углового ускорения являются с ^-1 и с ^-2 соответственно.

Точно так же разность фаз двух волн также может быть измерена в радианах. Например, если разность фаз двух волн составляет ( k ⋅2 π ) радиан, где k - целое число, они считаются синфазными , а если разность фаз двух волн равна ( k ⋅2 π + π ), где k - целое число, они считаются противофазными.

Кратные SI

Метрические префиксы имеют ограниченное использование с радианами и не используются в математике. Мрад (мрад) является тысячной радиан и microradian (мкрад) представляет собой миллионный радиан, т.е. 1 рад = 10 ³ мрад = 10 ⁶ мкрада .

В круге 2 π × 1000 миллирадиан (≈ 6283,185 мрад). Так что миллирадиан чуть ниже1/6283угла, образуемого полным кругом. Эта «настоящая» единица измерения угла круга используется производителями оптических прицелов, использующими (стадиометрический) дальномер в сетках . Дивергенции от лазерных лучей также обычно измеряется в миллирадианах.

Примерное значение миллирадиана (0,001 рад) используется НАТО и другими военными организациями при стрельбе и целеуказании . Каждый угловой мил представляет1/6400 круга и является 15/8% или на 1,875% меньше миллирадиана. Для малых углов, которые обычно встречаются при наведении на цель, удобство использования числа 6400 в расчетах перевешивает небольшие математические ошибки, которые оно вносит. В прошлом другие артиллерийские системы использовали разные приближения к1/2000 π; например, Швеция использовала1/6300 Streck и СССР использовали1/6000. Основываясь на миллирадиане, мила НАТО выступает примерно на 1 м на дальности 1000 м (при таких малых углах кривизна незначительна).

Меньшие единицы, такие как микрорадианы (мкрад) и нанорадианы (нрад), используются в астрономии, а также могут использоваться для измерения качества луча лазеров со сверхмалой расходимостью. Чаще всего используется угловая секунда , т.е.π/648 000 рад (около 4,8481 микрорадиан). Точно так же префиксы меньше милли- потенциально полезны при измерении очень малых углов.

Смотрите также

• Угловая частота
• Минута и секунда дуги
• Стерадиан , многомерный аналог радиана, который измеряет телесный угол.
• Тригонометрия

Примечания и ссылки

внешние ссылки

В Викиучебнике есть книга по теме: Тригонометрия / Радианы и меры степени.

Найдите радиан в Викисловаре, бесплатном словаре.

• СМИ, связанные с Radian, на Викискладе?