Список тригонометрических тождеств

Косинусы и синусы вокруг единичной окружности

Тригонометрия

Контур История использование Функции ( обратные ) Обобщенная тригонометрия
Справка
Идентичности Точные константы Столы Единичный круг
Законы и теоремы
Синусы Косинусы Касательные Котангенсы теорема Пифагора
Исчисление
Тригонометрическая замена Интегралы ( обратные функции ) Производные
v т е

В математике , тригонометрические тождества являются равенствами , которые включают тригонометрические функции и справедливы для каждого значения происходящих переменных , для которых определены обе стороны равенства. Геометрически это тождества, включающие определенные функции одного или нескольких углов . Они отличаются от тождеств треугольника , которые могут включать в себя углы, но также и длины сторон или другие длины треугольника .

Эти тождества полезны, когда необходимо упростить выражения, включающие тригонометрические функции. Важным приложением является интеграция нетригонометрических функций: общий метод включает в себя сначала использование правила подстановки с тригонометрической функцией , а затем упрощение результирующего интеграла с помощью тригонометрического тождества.

Обозначение [ править ]

Углы [ править ]

Знаки тригонометрических функций в каждом квадранте. Мнемонические « Все S cience T eachers (являются) С Razy» перечислены основные функции ( « Все» , ев в, т ап, с ОС) , которые являются положительными из квадрантов я IV. ^[1] Это вариант мнемоники « Все ученики берут исчисление ».

В этой статье для обозначения углов используются греческие буквы, такие как альфа ( $α$ ), бета ( $β$ ), гамма ( $γ$ ) и тета ( $θ$ ) . Несколько различных единиц измерения угла широко используются, в том числе степень , радиан и gradian ( угольников ):

1 полный круг ( поворот ) = 360 градусов = 2

π

радиан = 400 гон.

Если специально не обозначено (°) для градуса или ( ) для градиента, предполагается, что все значения углов в этой статье даны в радианах. ${\ Displaystyle ^ {\ mathrm {g}}}$

В следующей таблице для некоторых распространенных углов показаны их преобразования и значения основных тригонометрических функций:

Преобразования общих углов
Очередь	Степень	Радиан	Градиан	синус	косинус	касательная
${\ displaystyle 0}$	${\ displaystyle 0 ^ {\ circ}}$	${\ displaystyle 0}$	${\ displaystyle 0 ^ {\ mathrm {g}}}$	${\ displaystyle 0}$	${\ displaystyle 1}$	${\ displaystyle 0}$
${\ displaystyle {\ dfrac {1} {12}}}$	${\ displaystyle 30 ^ {\ circ}}$	${\ displaystyle {\ dfrac {\ pi} {6}}}$	${\ displaystyle 33 {\ dfrac {1} {3}} ^ {\ mathrm {g}}}$	${\ displaystyle {\ dfrac {1} {2}}}$	${\ displaystyle {\ dfrac {\ sqrt {3}} {2}}}$	${\dfrac {\sqrt {3}}{3}}$
${\dfrac {1}{8}}$	$45^{\circ }$	${\dfrac {\pi }{4}}$	$50^{\mathrm {g} }$	${\dfrac {\sqrt {2}}{2}}$	${\dfrac {\sqrt {2}}{2}}$	$1$
${\dfrac {1}{6}}$	$60^{\circ }$	${\dfrac {\pi }{3}}$	$66{\dfrac {2}{3}}^{\mathrm {g} }$	${\dfrac {\sqrt {3}}{2}}$	${\dfrac {1}{2}}$	${\sqrt {3}}$
${\dfrac {1}{4}}$	$90^{\circ }$	${\dfrac {\pi }{2}}$	$100^{\mathrm {g} }$	$1$	$0$	Неопределенный
${\dfrac {1}{3}}$	$120^{\circ }$	${\dfrac {2\pi }{3}}$	$133{\dfrac {1}{3}}^{\mathrm {g} }$	${\dfrac {\sqrt {3}}{2}}$	$-{\dfrac {1}{2}}$	$-{\sqrt {3}}$
${\dfrac {3}{8}}$	$135^{\circ }$	${\dfrac {3\pi }{4}}$	$150^{\mathrm {g} }$	${\dfrac {\sqrt {2}}{2}}$	$-{\dfrac {\sqrt {2}}{2}}$	$-1$
${\dfrac {5}{12}}$	$150^{\circ }$	${\dfrac {5\pi }{6}}$	$166{\dfrac {2}{3}}^{\mathrm {g} }$	${\dfrac {1}{2}}$	$-{\dfrac {\sqrt {3}}{2}}$	$-{\dfrac {\sqrt {3}}{3}}$
${\dfrac {1}{2}}$	$180^{\circ }$	$\pi$	$200^{\mathrm {g} }$	$0$	$-1$	$0$
${\dfrac {7}{12}}$	$210^{\circ }$	${\dfrac {7\pi }{6}}$	$233{\dfrac {1}{3}}^{\mathrm {g} }$	$-{\dfrac {1}{2}}$	$-{\dfrac {\sqrt {3}}{2}}$	${\dfrac {\sqrt {3}}{3}}$
${\dfrac {5}{8}}$	$225^{\circ }$	${\dfrac {5\pi }{4}}$	$250^{\mathrm {g} }$	$-{\dfrac {\sqrt {2}}{2}}$	$-{\dfrac {\sqrt {2}}{2}}$	$1$
${\dfrac {2}{3}}$	$240^{\circ }$	${\dfrac {4\pi }{3}}$	$266{\dfrac {2}{3}}^{\mathrm {g} }$	$-{\dfrac {\sqrt {3}}{2}}$	$-{\dfrac {1}{2}}$	${\sqrt {3}}$
${\dfrac {3}{4}}$	$270^{\circ }$	${\dfrac {3\pi }{2}}$	$300^{\mathrm {g} }$	$-1$	$0$	Неопределенный
${\dfrac {5}{6}}$	$300^{\circ }$	${\dfrac {5\pi }{3}}$	$333{\dfrac {1}{3}}^{\mathrm {g} }$	$-{\dfrac {\sqrt {3}}{2}}$	${\dfrac {1}{2}}$	$-{\sqrt {3}}$
${\dfrac {7}{8}}$	$315^{\circ }$	${\dfrac {7\pi }{4}}$	$350^{\mathrm {g} }$	$-{\dfrac {\sqrt {2}}{2}}$	${\dfrac {\sqrt {2}}{2}}$	$-1$
${\dfrac {11}{12}}$	$330^{\circ }$	${\dfrac {11\pi }{6}}$	$366{\dfrac {2}{3}}^{\mathrm {g} }$	$-{\dfrac {1}{2}}$	${\dfrac {\sqrt {3}}{2}}$	$-{\dfrac {\sqrt {3}}{3}}$
$1$	$360^{\circ }$	$2\pi$	$400^{\mathrm {g} }$	$0$	$1$	$0$

Результаты для других углов можно найти с помощью тригонометрических констант, выраженных в действительных радикалах . Теорема Пер Нивена - это единственные рациональные числа, которые, взятые в градусах , дают рациональное синусоидальное значение для соответствующего угла в пределах первого поворота, что может объяснить их популярность в примерах. ^[2]^[3] Аналогичное условие для единичного радиана требует, чтобы аргумент, деленный на $π,$ был рациональным, и дает решения 0, $π$ / 6, $π$ / 2, 5 $π$ / 6, $π$ , 7 $π$ / 6, 3 $π$ / 2, 11 $π$ / 6 (, 2 $π$ ). $(0,\;30,\;90,\;150,\;180,\;210,\;270,\;330,\;360)$

Тригонометрические функции [ править ]

График шести тригонометрических функций, единичный круг и линия для угла

θ = 0,7

радиана. Точки, обозначенные 1 , Sec (θ) , Csc (θ), представляют длину отрезка прямой от начала координат до этой точки. Sin (θ) , Tan (θ) и 1 - это высоты линии, начинающейся от оси

x

, а Cos (θ) , 1 и Cot (θ) - длины вдоль оси

x,

начиная с начала координат.

Функции синуса , косинуса и тангенса угла иногда называют первичными или базовыми тригонометрическими функциями. Их обычные сокращения - $sin (θ)$ , $cos (θ)$ и $tan (θ)$ соответственно, где $θ$ обозначает угол. Скобки вокруг аргумента функций часто опускаются, например $sin θ$ и $cos θ$ , если интерпретация однозначно возможна.

Синус угла определяется в контексте прямоугольного треугольника как отношение длины стороны, противоположной углу, к длине самой длинной стороны треугольника ( гипотенуза ).

\sin \theta ={\frac {\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}}.

Косинус угла в этом контексте - это отношение длины стороны, которая прилегает к углу, деленное на длину гипотенузы.

\cos \theta ={\frac {\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}}.

Касательный угла в этом контексте является отношением длины стороны, противоположный от угла , деленного на длине той стороны , которая находится рядом с углом. Это то же самое, что и отношение синуса к косинусу этого угла, что можно увидеть, заменив определения $sin$ и $cos$ сверху:

\tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}={\frac {\text{opposite}}{\text{adjacent}}}.

Остальные тригонометрические функции секанс ( $sec$ ), косеканс ( $csc$ ) и котангенс ( $cot$ ) определяются как функции, обратные косинусу, синусу и тангенсу соответственно. Редко их называют вторичными тригонометрическими функциями:

\sec \theta ={\frac {1}{\cos \theta }},\quad \csc \theta ={\frac {1}{\sin \theta }},\quad \cot \theta ={\frac {1}{\tan \theta }}={\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}.

Эти определения иногда называют тождествами соотношения .

Другие функции [ править ]

$\operatorname {sgn} x$ указывает знаковую функцию , которая определяется как:

\operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}-1&{\text{if }}x<0,\\0&{\text{if }}x=0,\\1&{\text{if }}x>0.\end{cases}}

Обратные функции [ править ]

Обратные тригонометрические функции являются частичными обратными функциями для тригонометрических функций. Например, обратная функция для синуса, известная как обратный синус ( $sin -1$ ) или арксинус ( $arcsin$ или $asin$ ), удовлетворяет

\sin(\arcsin x)=x\quad {\text{for}}\quad |x|\leq 1

и

\arcsin(\sin x)=x\quad {\text{for}}\quad |x|\leq {\frac {\pi }{2}}.

В этой статье используются следующие обозначения для обратных тригонометрических функций:

Функция	грех	потому что	загар	сек	csc	детская кроватка
Обратный	Arcsin	arccos	арктан	arcsec	arccsc	арккот

В следующей таблице показано, как обратные тригонометрические функции могут использоваться для решения равенств, включающих шесть стандартных тригонометрических функций. Предполагается, что все $r$ , $s$ , $x$ и $y$ лежат в соответствующем диапазоне. Обратите внимание, что «для некоторого $k \in ℤ$ » - это просто еще один способ сказать «для некоторого целого $k$ ».


Равенство		Решение						где...
$грех θ = у$	$\Leftrightarrow$	$θ =$	$(-1) к$	$arcsin (y)$	$+$		$π k$	для некоторого $k \in ℤ$
$соз θ = х$	$\Leftrightarrow$	$θ =$	$\pm$	$arccos (x)$	$+$	$2$	$π k$	для некоторого $k \in ℤ$
$загар θ = s$	$\Leftrightarrow$	$θ =$		$арктан (ы)$	$+$		$π k$	для некоторого $k \in ℤ$
$csc θ = r$	$\Leftrightarrow$	$θ =$	$(-1) к$	$arccsc (r)$	$+$		$π k$	для некоторого $k \in ℤ$
$сек θ = r$	$\Leftrightarrow$	$θ =$	$\pm$	$arcsec (r)$	$+$	$2$	$π k$	для некоторого $k \in ℤ$
$детская кроватка θ = r$	$\Leftrightarrow$	$θ =$		$арккот (г)$	$+$		$π k$	для некоторого $k \in ℤ$

В таблице ниже показано, как должны быть связаны два угла $θ$ и $φ$ , если их значения при заданной тригонометрической функции равны или отрицательны друг другу.


Равенство				Решение							где...	Также решение
$грех θ$	$знак равно$	$грех φ$	$\Leftrightarrow$	$θ =$	$(-1) к$	$φ$	$+$		$π k$		для некоторого $k \in ℤ$	$csc θ = csc φ$
$cos θ$	$знак равно$	$cos φ$	$\Leftrightarrow$	$θ =$	$\pm$	$φ$	$+$	$2$	$π k$		для некоторого $k \in ℤ$	$сек θ = сек φ$
$загар θ$	$знак равно$	$тангенс φ$	$\Leftrightarrow$	$θ =$		$φ$	$+$		$π k$		для некоторого $k \in ℤ$	$детская кроватка θ = детская кроватка φ$
$- грех θ$	$знак равно$	$грех φ$	$\Leftrightarrow$	$θ =$	$(-1) к +1$	$φ$	$+$		$π k$		для некоторого $k \in ℤ$	$csc θ = - csc φ$
$- cos θ$	$знак равно$	$cos φ$	$\Leftrightarrow$	$θ =$	$\pm$	$φ$	$+$	$2$	$π k$	$+ π$	для некоторого $k \in ℤ$	$сек θ = - сек φ$
$- тангенс θ$	$знак равно$	$тангенс φ$	$\Leftrightarrow$	$θ =$	$-$	$φ$	$+$		$π k$		для некоторого $k \in ℤ$	$детская кроватка θ = - детская кроватка φ$
$\| грех θ \|$	$знак равно$	$\| sin φ \|$	$\Leftrightarrow$	$θ =$	$\pm$	$φ$	$+$		$π k$		для некоторого $k \in ℤ$	$\| tan θ \| = \| тангенс φ \|$
	$⇕$											$\| csc θ \| = \| csc φ \|$
$\| cos θ \|$	$знак равно$	$\| cos φ \|$										$\| сек θ \| = \| сек φ \|$
												$\| детская кроватка θ \| = \| детская кроватка φ \|$

Пифагорейские тождества [ править ]

В тригонометрии основные отношения между синусом и косинусом задаются тождеством Пифагора:

\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1,

где $sin 2 θ$ означает $(sin θ) 2,$ а $cos 2 θ$ означает $(cos θ) 2$ .

Это можно рассматривать как версию теоремы Пифагора и следует из уравнения $x 2 + y 2 = 1$ для единичной окружности . Это уравнение может быть решено как для синуса, так и для косинуса:

{\begin{aligned}\sin \theta &=\pm {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }},\\\cos \theta &=\pm {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}.\end{aligned}}

где знак зависит от квадранта от & $thetas$ .

Разделив это тождество либо на $sin 2 θ,$ либо на $cos 2 θ,$ получим два других тождества Пифагора:

1+\cot ^{2}\theta =\csc ^{2}\theta \quad {\text{and}}\quad \tan ^{2}\theta +1=\sec ^{2}\theta .

Используя эти тождества вместе с тождествами отношений, можно выразить любую тригонометрическую функцию через любую другую ( до знака плюс или минус):

Каждая тригонометрическая функция в терминах каждой из пяти других. ^[4]
с точки зрения	$\sin \theta$	$\cos \theta$	$\tan \theta$	$\csc \theta$	$\sec \theta$	$\cot \theta$
$\sin \theta =$	$\sin \theta$	$\pm {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}$	$\pm {\frac {\tan \theta }{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}$	${\frac {1}{\csc \theta }}$	$\pm {\frac {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}{\sec \theta }}$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}$
$\cos \theta =$	$\pm {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}$	$\cos \theta$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}$	$\pm {\frac {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}{\csc \theta }}$	${\frac {1}{\sec \theta }}$	$\pm {\frac {\cot \theta }{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}$
$\tan \theta =$	$\pm {\frac {\sin \theta }{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}$	$\pm {\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}{\cos \theta }}$	$\tan \theta$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}$	$\pm {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}$	${\frac {1}{\cot \theta }}$
$\csc \theta =$	${\frac {1}{\sin \theta }}$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}$	$\pm {\frac {\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}{\tan \theta }}$	$\csc \theta$	$\pm {\frac {\sec \theta }{\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}$	$\pm {\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}$
$\sec \theta =$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}$	${\frac {1}{\cos \theta }}$	$\pm {\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}$	$\pm {\frac {\csc \theta }{\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}$	$\sec \theta$	$\pm {\frac {\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}{\cot \theta }}$
$\cot \theta =$	$\pm {\frac {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}{\sin \theta }}$	$\pm {\frac {\cos \theta }{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}$	${\frac {1}{\tan \theta }}$	$\pm {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}$	$\pm {\frac {1}{\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}$	$\cot \theta$

Исторические сокращения [ править ]

Все тригонометрические функции угла &

thetas

могут быть построены геометрически в терминах единичной окружности с центром в точке O . Многие из этих терминов больше не используются; однако эта диаграмма не является исчерпывающей.

Синус-верзус , coversine , гаверсинус и exsecant использовались в навигации. Например, формула гаверсинуса использовалась для расчета расстояния между двумя точками на сфере. Сегодня они используются редко.

Имя	Сокращение	Значение ^[5]^[6]
(правый) дополнительный угол, со-угол	$\operatorname {co} \theta$	${\pi \over 2}-\theta$
осмысленный синус, версин	$\operatorname {versin} \theta$ $\operatorname {vers} \theta$ $\operatorname {ver} \theta$	$1-\cos \theta$
разбираемый косинус, веркосинус	$\operatorname {vercosin} \theta$ $\operatorname {vercos} \theta$ $\operatorname {vcs} \theta$	$1+\cos \theta$
покрытый синус, покрытый синус	$\operatorname {coversin} \theta$ $\operatorname {covers} \theta$ $\operatorname {cvs} \theta$	$1-\sin \theta$
покрытый косинус, покрытый косинус	$\operatorname {covercosin} \theta$ $\operatorname {covercos} \theta$ $\operatorname {cvc} \theta$	$1+\sin \theta$
полусинус синус, гаверсинус	$\operatorname {haversin} \theta$ $\operatorname {hav} \theta$ $\operatorname {sem} \theta$	${\frac {1-\cos \theta }{2}}$
полусинус косинус, гаверкозин	$\operatorname {havercosin} \theta$ $\operatorname {havercos} \theta$ $\operatorname {hvc} \theta$	${\frac {1+\cos \theta }{2}}$
полупрозрачный синус, хаковерсин, когаверсин	$\operatorname {hacoversin} \theta$ $\operatorname {hacovers} \theta$ $\operatorname {hcv} \theta$	${\frac {1-\sin \theta }{2}}$
полузакрытый косинус, хаверкозин, когаверкозин	$\operatorname {hacovercosin} \theta$ $\operatorname {hacovercos} \theta$ $\operatorname {hcc} \theta$	${\frac {1+\sin \theta }{2}}$
внешняя секущая, exsecant	$\operatorname {exsec} \theta$ $\operatorname {exs} \theta$	$\sec \theta -1$
внешний косеканс, экзосеканс	$\operatorname {excosec} \theta$ $\operatorname {excsc} \theta$ $\operatorname {exc} \theta$	$\csc \theta -1$
аккорд	$\operatorname {crd} \theta$	$2\sin {\frac {\theta }{2}}$

Размышления, сдвиги и периодичность [ править ]

Отражая θ в α = 0 (α =

π

)

Изучая единичную окружность, можно установить следующие свойства тригонометрических функций.

Размышления [ править ]

Когда направление евклидова вектора представлено углом , это угол, определяемый свободным вектором (начиная с начала координат) и положительным вектором $x$ -единицы. Та же концепция может быть применена к линиям в евклидовом пространстве, где угол определяется параллелью данной прямой через начало координат и положительной осью $x$ . Если линия (вектор) с направлением отражается относительно линии с направлением, то угол направления этой отраженной линии (вектора) имеет значение $\theta$ $\theta$ $\alpha ,$ $\theta '$

\theta '=2\alpha -\theta .

Значения тригонометрических функций этих углов для конкретных углов удовлетворяют простым тождествам: либо они равны, либо имеют противоположные знаки, либо используют дополнительную тригонометрическую функцию. Они также известны как формулы редукции . ^[7] $\theta ,\;\theta '$ $\alpha$

$θ$ отражается в $α$ = 0 ^[8] нечетных / четных тождествах	$θ$ отражается в $α$ = $π$ /4	$θ$ отражается в $α$ = $π$ /2	$θ$ отражается в $α$ = $π по$ сравнению с $α$ = 0
$\sin(-\theta )=-\sin \theta$	$\sin \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\cos \theta$	$\sin(\pi -\theta )=+\sin \theta$	$\sin(2\pi -\theta )=-\sin(\theta )=\sin(-\theta )$
$\cos(-\theta )=+\cos \theta$	$\cos \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\sin \theta$	$\cos(\pi -\theta )=-\cos \theta$	$\cos(2\pi -\theta )=+\cos(\theta )=\cos(-\theta )$
$\tan(-\theta )=-\tan \theta$	$\tan \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\cot \theta$	$\tan(\pi -\theta )=-\tan \theta$	$\tan(2\pi -\theta )=-\tan(\theta )=\tan(-\theta )$
$\csc(-\theta )=-\csc \theta$	$\csc \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\sec \theta$	$\csc(\pi -\theta )=+\csc \theta$	$\csc(2\pi -\theta )=-\csc(\theta )=\csc(-\theta )$
$\sec(-\theta )=+\sec \theta$	$\sec \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\csc \theta$	$\sec(\pi -\theta )=-\sec \theta$	$\sec(2\pi -\theta )=+\sec(\theta )=\sec(-\theta )$
$\cot(-\theta )=-\cot \theta$	$\cot \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)=\tan \theta$	$\cot(\pi -\theta )=-\cot \theta$	$\cot(2\pi -\theta )=-\cot(\theta )=\cot(-\theta )$

Сдвиги и периодичность [ править ]

Путем смещения аргументов тригонометрических функций на определенные углы, изменения знака или применения дополнительных тригонометрических функций иногда можно проще выразить определенные результаты. Некоторые примеры смен показаны ниже в таблице.

Полный оборот , или $360 °$ , или 2 $π$ радиан листьев единичной окружности фиксирована и наименьший отрезок , для которого тригонометрических функций $синус, косинус, сек, и CSC$ повторить их значения и, таким образом , их период. Сдвиг аргументов любой периодической функции на любое целое число, кратное полному периоду, сохраняет значение функции несмещенного аргумента.
Пол - оборота , или $180 °$ или $π$ радиан является периодом $тангенс (х) = грех (х) / cos (x) и кроватка (x) = cos (x) / грех (х)$ , как видно из этих определений и периода определяющих тригонометрических функций. Следовательно, сдвиг аргументов $tan (x)$ и $cot (x)$ на любое кратное $π$ не меняет их значений функций.

Для функций

sin, cos, sec и csc

с периодом 2

π

половина оборота равна половине их периода. Для этого сдвига они меняют знак своих значений, что снова можно увидеть на единичном круге. Это новое значение повторяется после любого дополнительного сдвига на 2

π

, поэтому все вместе они меняют знак для сдвига на любое нечетное кратное

π

, то есть на

(2 k + 1) \cdot π

, где

k

- произвольное целое число. Любое четное число, кратное

π,

конечно, представляет собой всего лишь полный период, а сдвиг назад на половину периода аналогичен сдвигу назад на один полный период плюс один сдвиг вперед на половину периода.

На четверть оборота , или на $90 °$ , или $π$ /2radian - это сдвиг на полупериод для $tan (x)$ и $cot (x)$ с периодом $π$ ( $180 °$ ), дающий значение функции применения дополнительной функции к несмещенному аргументу. По приведенным выше рассуждениям это также верно для сдвига на любое нечетное кратное $(2 k + 1) \cdot π / 2$ полупериода.

Для четырех других тригонометрических функций четверть оборота также представляет четверть периода. Сдвиг на произвольное число, кратное четверти периода, которое не покрывается кратным кратным полупериодам, может быть разложено на целое кратное периодам плюс или минус одну четверть периода. Члены, выражающие эти кратные, следующие:

(4 k \pm 1) \cdot π / 2

. Сдвиги вперед / назад на один квартал отражены в таблице ниже. Опять же, эти сдвиги дают значения функции, используя соответствующую дополнительную функцию, применяемую к несмещенному аргументу.

Сдвиг аргументов

tan (x)

и

cot (x)

на их четверть периода (

π

4) не дает таких простых результатов.

Сдвиг на одну четверть периода	Сдвиг на половину периода ^[9]	Сдвиг на полные периоды ^[10]	Период
$\sin(\theta \pm {\tfrac {\pi }{2}})=\pm \cos \theta$	$\sin(\theta +\pi )=-\sin \theta$	$\sin(\theta +k\cdot 2\pi )=+\sin \theta$	$2\pi$
$\cos(\theta \pm {\tfrac {\pi }{2}})=\mp \sin \theta$	$\cos(\theta +\pi )=-\cos \theta$	$\cos(\theta +k\cdot 2\pi )=+\cos \theta$	$2\pi$
$\tan(\theta \pm {\tfrac {\pi }{4}})={\tfrac {\tan \theta \pm 1}{1\mp \tan \theta }}$	$\tan(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})=-\cot \theta$	$\tan(\theta +k\cdot \pi )=+\tan \theta$	$\pi$
$\csc(\theta \pm {\tfrac {\pi }{2}})=\pm \sec \theta$	$\csc(\theta +\pi )=-\csc \theta$	$\csc(\theta +k\cdot 2\pi )=+\csc \theta$	$2\pi$
$\sec(\theta \pm {\tfrac {\pi }{2}})=\mp \csc \theta$	$\sec(\theta +\pi )=-\sec \theta$	$\sec(\theta +k\cdot 2\pi )=+\sec \theta$	$2\pi$
$\cot(\theta \pm {\tfrac {\pi }{4}})={\tfrac {\cot \theta \pm 1}{1\mp \cot \theta }}$	$\cot(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})=-\tan \theta$	$\cot(\theta +k\cdot \pi )=+\cot \theta$	$\pi$

Тождества суммы и разности углов [ править ]

Иллюстрация формулы сложения углов для синуса и косинуса. Подчеркнутый сегмент единичной длины.

Они также известны как теоремы (или формулы ) о сложении и вычитании углов . Тождества могут быть получены путем объединения прямоугольных треугольников, таких как на соседней диаграмме, или путем рассмотрения неизменности длины хорды на единичной окружности при заданном центральном угле. Наиболее интуитивно понятный вывод использует матрицы вращения (см. Ниже).

Иллюстрация формулы сложения углов для тангенса. Выделенные сегменты имеют единичную длину.

Для острых углов $α$ и $β$ , сумма которых не является тупой, краткая диаграмма (показана) иллюстрирует формулы суммы углов для синуса и косинуса: жирный сегмент, обозначенный «1», имеет единичную длину и служит гипотенузой прямоугольного треугольника с угол $β$ ; противоположные и соседние ветви для этого угла имеют длины $sin β$ и $cos β соответственно$ . $Cos & beta$ ; нога сама гипотенуза прямоугольного треугольника с углом $& alpha$ ; Таким образом, катеты этого треугольника имеют длину, равную $sin α$ и $cos α$ , умноженную на $cos β$ . В $Катушка sin β$ , как гипотенуза другого прямоугольного треугольника с углом $α$ , также приводит к отрезкам длины $cos α sin β$ и $sin α sin β$ . Теперь заметим, что отрезок «1» также является гипотенузой прямоугольного треугольника с углом $α + β$ ; сторона, противоположная этому углу, обязательно имеет длину $sin (α + β)$ , в то время как соседняя сторона имеет длину $cos (α + β)$ . Следовательно, поскольку противоположные стороны внешнего прямоугольника диаграммы равны, мы выводим

{\begin{aligned}\sin(\alpha +\beta )&=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta \\\cos(\alpha +\beta )&=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta \end{aligned}}

Перемещение одного из названных углов дает вариант диаграммы, демонстрирующий формулы угловой разности для синуса и косинуса. ^[11] (Схема допускает дополнительные варианты для учета углов и сумм, превышающих прямой угол.) Разделение всех элементов диаграммы на $cos α cos β$ дает еще один вариант (показан), иллюстрирующий формулу суммы углов для тангенса.

Эти идентификаторы могут применяться, например, в синфазных и квадратурных компонентах .

Иллюстрация формулы сложения углов для котангенса. Правый верхний сегмент единичной длины.

Синус	$\sin(\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$ ^[12]^[13]
Косинус	$\cos(\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$ ^[13]^[14]
Касательная	$\tan(\alpha \pm \beta )={\frac {\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }}$ ^[13]^[15]
Косеканс	$\csc(\alpha \pm \beta )={\frac {\sec \alpha \sec \beta \csc \alpha \csc \beta }{\sec \alpha \csc \beta \pm \csc \alpha \sec \beta }}$ ^[16]
Секант	$\sec(\alpha \pm \beta )={\frac {\sec \alpha \sec \beta \csc \alpha \csc \beta }{\csc \alpha \csc \beta \mp \sec \alpha \sec \beta }}$ ^[16]
Котангенс	$\cot(\alpha \pm \beta )={\frac {\cot \alpha \cot \beta \mp 1}{\cot \beta \pm \cot \alpha }}$ ^[13]^[17]
Арксинус	$\arcsin x\pm \arcsin y=\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}\pm y{\sqrt {1-x^{2}}}\right)$ ^[18]
Арккосин	$\arccos x\pm \arccos y=\arccos \left(xy\mp {\sqrt {\left(1-x^{2}\right)\left(1-y^{2}\right)}}\right)$ ^[19]
Арктангенс	$\arctan x\pm \arctan y=\arctan \left({\frac {x\pm y}{1\mp xy}}\right)$ ^[20]
Арккотангенс	$\operatorname {arccot} x\pm \operatorname {arccot} y=\operatorname {arccot} \left({\frac {xy\mp 1}{y\pm x}}\right)$

Матричная форма [ править ]

Формулы суммы и разности для синуса и косинуса вытекают из того факта, что поворот плоскости на угол α после поворота на β равен повороту на α + β . Что касается матриц вращения :

{\begin{aligned}&{}\quad \left({\begin{array}{rr}\cos \alpha &-\sin \alpha \\\sin \alpha &\cos \alpha \end{array}}\right)\left({\begin{array}{rr}\cos \beta &-\sin \beta \\\sin \beta &\cos \beta \end{array}}\right)\\[12pt]&=\left({\begin{array}{rr}\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta &-\cos \alpha \sin \beta -\sin \alpha \cos \beta \\\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta &-\sin \alpha \sin \beta +\cos \alpha \cos \beta \end{array}}\right)\\[12pt]&=\left({\begin{array}{rr}\cos(\alpha +\beta )&-\sin(\alpha +\beta )\\\sin(\alpha +\beta )&\cos(\alpha +\beta )\end{array}}\right).\end{aligned}}

Матрица , обратная для вращения является вращением с отрицательным углом

\left({\begin{array}{rr}\cos \alpha &-\sin \alpha \\\sin \alpha &\cos \alpha \end{array}}\right)^{-1}=\left({\begin{array}{rr}\cos(-\alpha )&-\sin(-\alpha )\\\sin(-\alpha )&\cos(-\alpha )\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{rr}\cos \alpha &\sin \alpha \\-\sin \alpha &\cos \alpha \end{array}}\right)\,,

который также является транспонированной матрицей .

Эти формулы показывают, что эти матрицы образуют представление группы вращений на плоскости (технически специальная ортогональная группа $SO (2)$ ), поскольку закон композиции выполняется и существуют обратные. Кроме того, матричное умножение матрицы вращения для угла $α$ на вектор-столбец будет вращать вектор-столбец против часовой стрелки на угол $α$ .

Поскольку умножение на комплексное число единичной длины вращает комплексную плоскость на аргумент числа, указанное выше умножение матриц вращения эквивалентно умножению комплексных чисел:

{\begin{aligned}(\cos \alpha +i\sin \alpha )(\cos \beta +i\sin \beta )&=(\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta )+i(\cos \alpha \sin \beta +\sin \alpha \cos \beta )\\&=\cos(\alpha +\beta )+i\sin(\alpha +\beta ).\end{aligned}}

В терминах формулы Эйлера это просто говорит , показывая, что это одномерное комплексное представление .

e^{i\alpha }e^{i\beta }=e^{i(\alpha +\beta )}

\theta \ \mapsto \ e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta

\mathrm {SO} (2)

Синусы и косинусы сумм бесконечно многих углов [ править ]

Когда ряд абсолютно сходится, то ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}}$

\sin \left(\sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}\right)=\sum _{{\text{odd}}\ k\geq 1}(-1)^{\frac {k-1}{2}}\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{\,1,2,3,\dots \,\}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}\left(\prod _{i\in A}\sin \theta _{i}\prod _{i\not \in A}\cos \theta _{i}\right)

\cos \left(\sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}\right)=\sum _{{\text{even}}\ k\geq 0}~(-1)^{\frac {k}{2}}~~\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{\,1,2,3,\dots \,\}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}\left(\prod _{i\in A}\sin \theta _{i}\prod _{i\not \in A}\cos \theta _{i}\right)\,.

Поскольку ряд сходится абсолютно, то обязательно, что , и . В частности, в этих двух тождествах появляется асимметрия, которая не наблюдается в случае сумм конечного числа углов: в каждом произведении есть только конечное число синусоидальных множителей, но имеется бесконечное число косинусных множителей. Члены с бесконечным числом синусоидальных множителей обязательно будут равны нулю. ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }\theta _{i}}$ ${\textstyle \lim _{i\to \infty }\theta _{i}=0}$ ${\textstyle \lim _{i\to \infty }\sin \theta _{i}=0}$ ${\textstyle \lim _{i\to \infty }\cos \theta _{i}=1}$

Когда только конечное число углов $θ i$ отличны от нуля, тогда только конечное число членов в правой части отличны от нуля, потому что все, кроме конечного числа синусоидальных множителей, равны нулю. Кроме того, в каждом члене все косинусные множители, кроме конечного числа, равны единице.

Касательные и котангенсы сумм [ править ]

Пусть $e k$ (при $k$ = 0, 1, 2, 3, ...) - элементарный симметричный многочлен $k-$ й степени от переменных

x_{i}=\tan \theta _{i}

для $i$ = 0, 1, 2, 3, ..., т. е.

{\begin{aligned}e_{0}&=1\\[6pt]e_{1}&=\sum _{i}x_{i}&&=\sum _{i}\tan \theta _{i}\\[6pt]e_{2}&=\sum _{i<j}x_{i}x_{j}&&=\sum _{i<j}\tan \theta _{i}\tan \theta _{j}\\[6pt]e_{3}&=\sum _{i<j<k}x_{i}x_{j}x_{k}&&=\sum _{i<j<k}\tan \theta _{i}\tan \theta _{j}\tan \theta _{k}\\&{}\ \ \vdots &&{}\ \ \vdots \end{aligned}}

Затем

{\begin{aligned}\tan \left(\sum _{i}\theta _{i}\right)&={\frac {\sin \left(\sum _{i}\theta _{i}\right)/\prod _{i}\cos \theta _{i}}{\cos \left(\sum _{i}\theta _{i}\right)/\prod _{i}\cos \theta _{i}}}\\&={\frac {\sum _{{\text{odd}}\ k\geq 1}(-1)^{\frac {k-1}{2}}\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{\,1,2,3,\dots \,\}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}\prod _{i\in A}\tan \theta _{i}}{\sum _{{\text{even}}\ k\geq 0}~(-1)^{\frac {k}{2}}~~\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{\,1,2,3,\dots \,\}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}\prod _{i\in A}\tan \theta _{i}}}={\frac {e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }{e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }}\\\cot \left(\sum _{i}\theta _{i}\right)&={\frac {e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }{e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }}\end{aligned}}

используя приведенные выше формулы суммы синуса и косинуса.

Количество терминов в правой части зависит от количества терминов в левой части.

Например:

{\begin{aligned}\tan(\theta _{1}+\theta _{2})&={\frac {e_{1}}{e_{0}-e_{2}}}={\frac {x_{1}+x_{2}}{1\ -\ x_{1}x_{2}}}={\frac {\tan \theta _{1}+\tan \theta _{2}}{1\ -\ \tan \theta _{1}\tan \theta _{2}}},\\[8pt]\tan(\theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{3})&={\frac {e_{1}-e_{3}}{e_{0}-e_{2}}}={\frac {(x_{1}+x_{2}+x_{3})\ -\ (x_{1}x_{2}x_{3})}{1\ -\ (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3})}},\\[8pt]\tan(\theta _{1}+\theta _{2}+\theta _{3}+\theta _{4})&={\frac {e_{1}-e_{3}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}}}\\[8pt]&={\frac {(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4})\ -\ (x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3}x_{4})}{1\ -\ (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4})\ +\ (x_{1}x_{2}x_{3}x_{4})}},\end{aligned}}

и так далее. Случай только конечного числа членов может быть доказан с помощью математической индукции . ^[21]

Секанты и косеканты сумм [ править ]

{\begin{aligned}\sec \left(\sum _{i}\theta _{i}\right)&={\frac {\prod _{i}\sec \theta _{i}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }}\\[8pt]\csc \left(\sum _{i}\theta _{i}\right)&={\frac {\prod _{i}\sec \theta _{i}}{e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }}\end{aligned}}

где $e k$ - элементарный симметричный многочлен $k-$ й степени от $n$ переменных $x$ $i$ $= tan$ $θ$ $i$ , $i$ $= 1, ...,$ $n$ , а количество членов в знаменателе и количество множителей в произведении в числитель зависит от количества членов в сумме слева. ^[22] Случай только конечного числа членов может быть доказан математической индукцией по количеству таких членов.

Например,

{\begin{aligned}\sec(\alpha +\beta +\gamma )&={\frac {\sec \alpha \sec \beta \sec \gamma }{1-\tan \alpha \tan \beta -\tan \alpha \tan \gamma -\tan \beta \tan \gamma }}\\[8pt]\csc(\alpha +\beta +\gamma )&={\frac {\sec \alpha \sec \beta \sec \gamma }{\tan \alpha +\tan \beta +\tan \gamma -\tan \alpha \tan \beta \tan \gamma }}.\end{aligned}}

Формулы для нескольких углов [ править ]

$T n$ - $n-$ й многочлен Чебышева	$\cos(n\theta )=T_{n}(\cos \theta )$ ^[23]
по формуле де Муавра , $i$ - мнимая единица	$\cos(n\theta )+i\sin(n\theta )=(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}$ ^[24]

Формулы двойного, тройного и половинного угла [ править ]

Формулы двойного угла [ править ]

Формулы для двойного угла. ^[25]

\sin(2\theta )=2\sin \theta \cos \theta ={\frac {2\tan \theta }{1+\tan ^{2}\theta }}

\cos(2\theta )=\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta =2\cos ^{2}\theta -1=1-2\sin ^{2}\theta ={\frac {1-\tan ^{2}\theta }{1+\tan ^{2}\theta }}

\tan(2\theta )={\frac {2\tan \theta }{1-\tan ^{2}\theta }}

\cot(2\theta )={\frac {\cot ^{2}\theta -1}{2\cot \theta }}

\sec(2\theta )={\frac {\sec ^{2}\theta }{2-\sec ^{2}\theta }}

\csc(2\theta )={\frac {\sec \theta \csc \theta }{2}}

Формулы тройного угла [ править ]

Формулы для тройных углов. ^[25]

\sin(3\theta )=3\sin \theta -4\sin ^{3}\theta =4\sin \theta \sin \left({\frac {\pi }{3}}-\theta \right)\sin \left({\frac {\pi }{3}}+\theta \right)

\cos(3\theta )=4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta =4\cos \theta \cos \left({\frac {\pi }{3}}-\theta \right)\cos \left({\frac {\pi }{3}}+\theta \right)

\tan(3\theta )={\frac {3\tan \theta -\tan ^{3}\theta }{1-3\tan ^{2}\theta }}=\tan \theta \tan \left({\frac {\pi }{3}}-\theta \right)\tan \left({\frac {\pi }{3}}+\theta \right)

\cot(3\theta )={\frac {3\cot \theta -\cot ^{3}\theta }{1-3\cot ^{2}\theta }}

\sec(3\theta )={\frac {\sec ^{3}\theta }{4-3\sec ^{2}\theta }}

\csc(3\theta )={\frac {\csc ^{3}\theta }{3\csc ^{2}\theta -4}}

Формулы полууглов [ править ]

\sin {\frac {\theta }{2}}=\operatorname {sgn} \left(2\pi -\theta +4\pi \left\lfloor {\frac {\theta }{4\pi }}\right\rfloor \right){\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{2}}}

\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}={\frac {1-\cos \theta }{2}}

\cos {\frac {\theta }{2}}=\operatorname {sgn} \left(\pi +\theta +4\pi \left\lfloor {\frac {\pi -\theta }{4\pi }}\right\rfloor \right){\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{2}}}

\cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}={\frac {1+\cos \theta }{2}}

{\begin{aligned}\tan {\frac {\theta }{2}}&=\csc \theta -\cot \theta =\pm \,{\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}}={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}\\&={\frac {1-\cos \theta }{\sin \theta }}={\frac {-1\pm {\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}{\tan \theta }}={\frac {\tan \theta }{1+\sec {\theta }}}\end{aligned}}

\cot {\frac {\theta }{2}}=\csc \theta +\cot \theta =\pm \,{\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{1-\cos \theta }}}={\frac {\sin \theta }{1-\cos \theta }}={\frac {1+\cos \theta }{\sin \theta }}

^[26]^[27]

Также

\tan {\frac {\eta +\theta }{2}}={\frac {\sin \eta +\sin \theta }{\cos \eta +\cos \theta }}

\tan \left({\frac {\theta }{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)=\sec \theta +\tan \theta

{\sqrt {\frac {1-\sin \theta }{1+\sin \theta }}}={\frac {|1-\tan {\frac {\theta }{2}}|}{|1+\tan {\frac {\theta }{2}}|}}

Таблица [ править ]

Их можно показать, используя либо тождества суммы и разности, либо формулы множества углов.

	Синус	Косинус	Касательная	Котангенс
Формулы двойного угла ^[28]^[29]	${\begin{aligned}\sin(2\theta )&=2\sin \theta \cos \theta \ \\&={\frac {2\tan \theta }{1+\tan ^{2}\theta }}\end{aligned}}$	${\begin{aligned}\cos(2\theta )&=\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta \\&=2\cos ^{2}\theta -1\\&=1-2\sin ^{2}\theta \\&={\frac {1-\tan ^{2}\theta }{1+\tan ^{2}\theta }}\end{aligned}}$	$\tan(2\theta )={\frac {2\tan \theta }{1-\tan ^{2}\theta }}$	$\cot(2\theta )={\frac {\cot ^{2}\theta -1}{2\cot \theta }}$
Формулы тройного угла ^[23]^[30]	${\begin{aligned}\sin(3\theta )\!&=\!-\sin ^{3}\theta \!+\!3\cos ^{2}\theta \sin \theta \\&=-4\sin ^{3}\theta +3\sin \theta \end{aligned}}$	${\begin{aligned}\cos(3\theta )\!&=\!\cos ^{3}\theta \!-\!3\sin ^{2}\theta \cos \theta \\&=4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta \end{aligned}}$	$\tan(3\theta )={\frac {3\tan \theta -\tan ^{3}\theta }{1-3\tan ^{2}\theta }}$	$\cot(3\theta )\!=\!{\frac {3\cot \theta \!-\!\cot ^{3}\theta }{1\!-\!3\cot ^{2}\theta }}$
Формулы полуугла ^[26]^[27]	${\begin{aligned}&\sin {\frac {\theta }{2}}=\operatorname {sgn}(A)\,{\sqrt {\frac {1\!-\!\cos \theta }{2}}}\\\\&{\text{where}}\,A=2\pi -\theta +4\pi \left\lfloor {\frac {\theta }{4\pi }}\right\rfloor \\\\&\left({\text{or}}\,\,\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}={\frac {1-\cos \theta }{2}}\right)\end{aligned}}$	${\begin{aligned}&\cos {\frac {\theta }{2}}=\operatorname {sgn}(B)\,{\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{2}}}\\\\&{\text{where}}\,B=\pi +\theta +4\pi \left\lfloor {\frac {\pi -\theta }{4\pi }}\right\rfloor \\\\&\left(\mathrm {or} \,\,\cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}={\frac {1+\cos \theta }{2}}\right)\end{aligned}}$	${\begin{aligned}\tan {\frac {\theta }{2}}&=\csc \theta -\cot \theta \\&=\pm \,{\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}}\\[8pt]&={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}\\[8pt]&={\frac {1-\cos \theta }{\sin \theta }}\\[10pt]\tan {\frac {\eta +\theta }{2}}\!&={\frac {\sin \eta +\sin \theta }{\cos \eta +\cos \theta }}\\[8pt]\tan \left(\!{\frac {\theta }{2}}\!+\!{\frac {\pi }{4}}\!\right)\!&=\!\sec \theta \!+\!\tan \theta \\[8pt]{\sqrt {\frac {1-\sin \theta }{1+\sin \theta }}}&={\frac {\|1-\tan {\frac {\theta }{2}}\|}{\|1+\tan {\frac {\theta }{2}}\|}}\\[8pt]\tan {\frac {\theta }{2}}\!&=\!{\frac {\tan \theta }{1\!+\!{\sqrt {1\!+\!\tan ^{2}\theta }}}}\\&{\text{for}}\quad \theta \in \left(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right)\end{aligned}}$	${\begin{aligned}\cot {\frac {\theta }{2}}&=\csc \theta +\cot \theta \\&=\pm \,{\sqrt {\frac {1\!+\!\cos \theta }{1\!-\!\cos \theta }}}\\[8pt]&={\frac {\sin \theta }{1\!-\!\cos \theta }}\\[8pt]&={\frac {1\!+\!\cos \theta }{\sin \theta }}\end{aligned}}$

Тот факт , что тройной угол формула для синуса и косинуса включает в себя только полномочия одной функции позволяет связать геометрическую проблему циркуля и линейка строительства от угла трисекции к алгебраической задаче решения кубического уравнения , которое позволяет доказать это трисечение вообще невозможно с использованием данных инструментов, по теории поля .

Формула для вычисления тригонометрических тождеств для одной трети угла существует, но она требует нахождения нулей кубического уравнения $4 x 3 - 3 x + d = 0$ , где $x$ - значение функции косинуса в одной трети угол, а $d$ - известное значение функции косинуса при полном угле. Однако дискриминант этого уравнения положительный, поэтому это уравнение имеет три действительных корня (из которых только один является решением для косинуса одной трети угла). Ни одно из этих решений не сводится к реальному алгебраическому выражению, поскольку они используют промежуточные комплексные числа под корнями куба.

Синус, косинус и тангенс нескольких углов [ править ]

Для конкретных кратных они следуют из формул сложения углов, в то время как общая формула была дана французским математиком XVI века Франсуа Виетом . ^{[ необходима цитата ]}

{\begin{aligned}\sin(n\theta )&=\sum _{k{\text{ odd}}}(-1)^{\frac {k-1}{2}}{n \choose k}\cos ^{n-k}\theta \sin ^{k}\theta =\sin \theta \sum _{i=0}^{(n+1)/2}\sum _{j=0}^{i}(-1)^{i-j}{n \choose 2i+1}{i \choose j}\cos ^{n-2(i-j)-1}\theta ,\\\cos(n\theta )&=\sum _{k{\text{ even}}}(-1)^{\frac {k}{2}}{n \choose k}\cos ^{n-k}\theta \sin ^{k}\theta =\sum _{i=0}^{n/2}\sum _{j=0}^{i}(-1)^{i-j}{n \choose 2i}{i \choose j}\cos ^{n-2(i-j)}\theta \,,\end{aligned}}

для неотрицательных значений от $k$ до $n$ . ^{[ необходима цитата ]}

В каждом из этих двух уравнений первый член в скобках представляет собой биномиальный коэффициент , а последняя тригонометрическая функция равна единице или минус единице или нулю, так что половина записей в каждой из сумм удаляется. Соотношение этих формул дает

\tan(n\theta )={\frac {\sum _{k{\text{ odd}}}(-1)^{\frac {k-1}{2}}{n \choose k}\tan ^{k}\theta }{\sum _{k{\text{ even}}}(-1)^{\frac {k}{2}}{n \choose k}\tan ^{k}\theta }}\,.

^{[ необходима цитата ]}

Метод Чебышева [ править ]

Метод Чебышева - это рекурсивный алгоритм для нахождения формулы множественного угла $n,$ зная значения $(n - 1)$ и $(n - 2)$ th. ^[31]

$cos (nx)$ может быть вычислен из $cos ((n - 1) x)$ , $cos ((n - 2) x)$ и $cos (x)$ с

cos (nx) = 2 \cdot cos x \cdot cos ((n - 1) x) - cos ((n - 2) x)

.

Это можно доказать, сложив формулы

cos ((n - 1) x + x) = cos ((n - 1) x) cos x - sin ((n - 1) x) sin x

соз ((n - 1) x - x) = cos ((n - 1) x) cos x + sin ((n - 1) x) sin x

.

По индукции следует, что $cos (nx)$ - это многочлен от $cos x$ , так называемый многочлен Чебышева первого рода, см. Многочлены Чебышева # Тригонометрическое определение .

Точно так же $sin (nx)$ можно вычислить из $sin ((n - 1) x)$ , $sin ((n - 2) x)$ и $cos (x)$ с

sin (nx) = 2 \cdot cos x \cdot sin ((n - 1) x) - sin ((n - 2) x)

.

Это можно доказать, сложив формулы для $sin ((n - 1) x + x)$ и $sin ((n - 1) x - x)$ .

Для целей, аналогичных методу Чебышева, для касательной можно записать:

\tan(nx)={\frac {\tan((n-1)x)+\tan x}{1-\tan((n-1)x)\tan x}}\,.

Касательная к среднему [ править ]

\tan \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}\right)={\frac {\sin \alpha +\sin \beta }{\cos \alpha +\cos \beta }}=-\,{\frac {\cos \alpha -\cos \beta }{\sin \alpha -\sin \beta }}

Установка 0 для $α$ или $β$ дает обычные формулы касательных полууглов.

Бесконечный продукт Виэта [ править ]

\cos {\frac {\theta }{2}}\cdot \cos {\frac {\theta }{4}}\cdot \cos {\frac {\theta }{8}}\cdots =\prod _{n=1}^{\infty }\cos {\frac {\theta }{2^{n}}}={\frac {\sin \theta }{\theta }}=\operatorname {sinc} \theta .

(См. Функцию sinc .)

Формулы уменьшения мощности [ править ]

Получено путем решения второго и третьего вариантов формулы двойного угла косинуса.

Синус	Косинус	Другой
$\sin ^{2}\theta ={\frac {1-\cos(2\theta )}{2}}$	$\cos ^{2}\theta ={\frac {1+\cos(2\theta )}{2}}$	$\sin ^{2}\theta \cos ^{2}\theta ={\frac {1-\cos(4\theta )}{8}}$
$\sin ^{3}\theta ={\frac {3\sin \theta -\sin(3\theta )}{4}}$	$\cos ^{3}\theta ={\frac {3\cos \theta +\cos(3\theta )}{4}}$	$\sin ^{3}\theta \cos ^{3}\theta ={\frac {3\sin(2\theta )-\sin(6\theta )}{32}}$
$\sin ^{4}\theta ={\frac {3-4\cos(2\theta )+\cos(4\theta )}{8}}$	$\cos ^{4}\theta ={\frac {3+4\cos(2\theta )+\cos(4\theta )}{8}}$	$\sin ^{4}\theta \cos ^{4}\theta ={\frac {3-4\cos(4\theta )+\cos(8\theta )}{128}}$
$\sin ^{5}\theta ={\frac {10\sin \theta -5\sin(3\theta )+\sin(5\theta )}{16}}$	$\cos ^{5}\theta ={\frac {10\cos \theta +5\cos(3\theta )+\cos(5\theta )}{16}}$	$\sin ^{5}\theta \cos ^{5}\theta ={\frac {10\sin(2\theta )-5\sin(6\theta )+\sin(10\theta )}{512}}$

и в общих чертах степеней $греховной & thetas$ или $соз & thetas$ следующее верно, и можно сделать вывод , используя формулу Муавра , формулу Эйлера и бином ^{[ править ]} .

	Косинус	Синус
${\text{if }}n{\text{ is odd}}$	$\cos ^{n}\theta ={\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{\frac {n-1}{2}}{\binom {n}{k}}\cos {{\big (}(n-2k)\theta {\big )}}$	$\sin ^{n}\theta ={\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{\frac {n-1}{2}}(-1)^{\left({\frac {n-1}{2}}-k\right)}{\binom {n}{k}}\sin {{\big (}(n-2k)\theta {\big )}}$
${\text{if }}n{\text{ is even}}$	$\cos ^{n}\theta ={\frac {1}{2^{n}}}{\binom {n}{\frac {n}{2}}}+{\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{{\frac {n}{2}}-1}{\binom {n}{k}}\cos {{\big (}(n-2k)\theta {\big )}}$	$\sin ^{n}\theta ={\frac {1}{2^{n}}}{\binom {n}{\frac {n}{2}}}+{\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{{\frac {n}{2}}-1}(-1)^{\left({\frac {n}{2}}-k\right)}{\binom {n}{k}}\cos {{\big (}(n-2k)\theta {\big )}}$

Идентификационные данные "продукт-сумма" и "сумма-продукт" [ править ]

Идентичность произведения к сумме или формулы простафаэрезиса можно доказать, расширив их правые части с помощью теорем сложения углов . См. Раздел « Амплитудная модуляция» для применения формул «произведение-сумма» и детектор биений (акустика) и фазовый детектор для применения формул «сумма-произведение».

Произведение к сумме ^[32]
$2\cos \theta \cos \varphi ={\cos(\theta -\varphi )+\cos(\theta +\varphi )}$
$2\sin \theta \sin \varphi ={\cos(\theta -\varphi )-\cos(\theta +\varphi )}$
$2\sin \theta \cos \varphi ={\sin(\theta +\varphi )+\sin(\theta -\varphi )}$
$2\cos \theta \sin \varphi ={\sin(\theta +\varphi )-\sin(\theta -\varphi )}$
$\tan \theta \tan \varphi ={\frac {\cos(\theta -\varphi )-\cos(\theta +\varphi )}{\cos(\theta -\varphi )+\cos(\theta +\varphi )}}$
${\begin{aligned}\prod _{k=1}^{n}\cos \theta _{k}&={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{e\in S}\cos(e_{1}\theta _{1}+\cdots +e_{n}\theta _{n})\\[6pt]&{\text{where }}S=\{1,-1\}^{n}\end{aligned}}$

Сумма к произведению ^[33]
$\sin \theta \pm \sin \varphi =2\sin \left({\frac {\theta \pm \varphi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta \mp \varphi }{2}}\right)$
$\cos \theta +\cos \varphi =2\cos \left({\frac {\theta +\varphi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta -\varphi }{2}}\right)$
$\cos \theta -\cos \varphi =-2\sin \left({\frac {\theta +\varphi }{2}}\right)\sin \left({\frac {\theta -\varphi }{2}}\right)$

Другие связанные личности [ править ]

$\sec ^{2}x+\csc ^{2}x=\sec ^{2}x\csc ^{2}x.$ ^[34]
Если $x + y + z = π$ (полукруг), то
$\sin(2x)+\sin(2y)+\sin(2z)=4\sin x\sin y\sin z.$
Тождество тройного касательного: если $x + y + z = π$ (полукруг), то
$\tan x+\tan y+\tan z=\tan x\tan y\tan z.$

В частности, формула верна, когда

x

,

y

и

z

- три угла любого треугольника.

(Если любой из

x, y, z

является прямым углом, обе стороны должны быть

равны \infty

. Это не

+ \infty и

не

-\infty

; для настоящих целей имеет смысл добавить только одну бесконечно удаленную точку к действительной прямой , к которому приближается

tan θ,

когда

tan θ

либо увеличивается на положительные значения, либо уменьшается на отрицательные значения. Это одноточечная компактификация реальной линии.)

Тройное котангенсное тождество: если $x + y + z = π / 2$ (прямой угол или четверть круга), затем
$\cot x+\cot y+\cot z=\cot x\cot y\cot z.$

Котангенсная идентичность Эрмита [ править ]

Чарльз Эрмит продемонстрировал следующую идентичность. ^[35] Предположим, что $a 1, ..., a n$ - комплексные числа , никакие два из которых не отличаются на целое число, кратное $π$ . Позволять

A_{n,k}=\prod _{\begin{smallmatrix}1\leq j\leq n\\j\neq k\end{smallmatrix}}\cot(a_{k}-a_{j})

(в частности, $A 1,1$ , будучи пустым произведением , равно 1). Затем

\cot(z-a_{1})\cdots \cot(z-a_{n})=\cos {\frac {n\pi }{2}}+\sum _{k=1}^{n}A_{n,k}\cot(z-a_{k}).

Простейшим нетривиальным примером является случай $n = 2$ :

\cot(z-a_{1})\cot(z-a_{2})=-1+\cot(a_{1}-a_{2})\cot(z-a_{1})+\cot(a_{2}-a_{1})\cot(z-a_{2}).

Теорема Птолемея [ править ]

Теорема Птолемея может быть выражена на языке современной тригонометрии как:

Если

w + x + y + z = π

, то:

{\begin{aligned}\sin(w+x)\sin(x+y)&=\sin(x+y)\sin(y+z)&{\text{(trivial)}}\\&=\sin(y+z)\sin(z+w)&{\text{(trivial)}}\\&=\sin(z+w)\sin(w+x)&{\text{(trivial)}}\\&=\sin w\sin y+\sin x\sin z.&{\text{(significant)}}\end{aligned}}

(Первые три равенства представляют собой тривиальные перестановки; четвертое - суть этого тождества.)

Конечные произведения тригонометрических функций [ править ]

Для взаимно простых целых чисел $n$ , $m$

\prod _{k=1}^{n}\left(2a+2\cos \left({\frac {2\pi km}{n}}+x\right)\right)=2\left(T_{n}(a)+{(-1)}^{n+m}\cos(nx)\right)

где $T n$ - многочлен Чебышева .

Следующее соотношение имеет место для синусоидальной функции

\prod _{k=1}^{n-1}\sin \left({\frac {k\pi }{n}}\right)={\frac {n}{2^{n-1}}}.

В более общем плане ^[36]

\sin(nx)=2^{n-1}\prod _{k=0}^{n-1}\sin \left(x+{\frac {k\pi }{n}}\right).

Линейные комбинации [ править ]

Для некоторых целей важно знать, что любая линейная комбинация синусоидальных волн одного периода или частоты, но с разными фазовыми сдвигами также является синусоидальной волной с тем же периодом или частотой, но с другим фазовым сдвигом. Это полезно при подборе синусоидальных данных , потому что измеренные или наблюдаемые данные линейно связаны с неизвестными $a$ и $b$ базисом синфазных и квадратурных компонентов ниже, что приводит к более простому якобиану по сравнению с якобианом $c$ и $φ$ .

Синус и косинус [ править ]

Линейная комбинация или гармоническое сложение синусоидальных и косинусоидальных волн эквивалентно одной синусоидальной волне со сдвигом фазы и масштабированной амплитудой, ^[37]^[38]

a\cos x+b\sin x=c\cos(x+\varphi )

где $c$ и $φ$ определены так:

c=\operatorname {sgn}(a){\sqrt {a^{2}+b^{2}}},

\varphi =\operatorname {arctan} \left(-{\frac {b}{a}}\right).

Произвольный фазовый сдвиг [ править ]

В более общем смысле, для произвольных фазовых сдвигов мы имеем

a\sin(x+\theta _{a})+b\sin(x+\theta _{b})=c\sin(x+\varphi )

где $c$ и $φ$ удовлетворяют:

c^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab\cos \left(\theta _{a}-\theta _{b}\right),

\tan \varphi ={\frac {a\sin \theta _{a}+b\sin \theta _{b}}{a\cos \theta _{a}+b\cos \theta _{b}}}.

Более двух синусоид [ править ]

Общий случай гласит ^[38]

\sum _{i}a_{i}\sin(x+\theta _{i})=a\sin(x+\theta ),

где

a^{2}=\sum _{i,j}a_{i}a_{j}\cos(\theta _{i}-\theta _{j})

и

\tan \theta ={\frac {\sum _{i}a_{i}\sin \theta _{i}}{\sum _{i}a_{i}\cos \theta _{i}}}.

См. Также дополнение Phasor .

Тригонометрические тождества Лагранжа [ править ]

Эти личности, названные в честь Джозефа Луи Лагранжа , следующие: ^[39]^[40]

{\begin{aligned}\sum _{n=1}^{N}\sin(n\theta )&={\frac {1}{2}}\cot {\frac {\theta }{2}}-{\frac {\cos \left(\left(N+{\frac {1}{2}}\right)\theta \right)}{2\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)}}\\[5pt]\sum _{n=1}^{N}\cos(n\theta )&=-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sin \left(\left(N+{\frac {1}{2}}\right)\theta \right)}{2\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)}}\end{aligned}}

Связанная функция - это следующая функция от $x$ , называемая ядром Дирихле .

1+2\cos x+2\cos(2x)+2\cos(3x)+\cdots +2\cos(nx)={\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)x\right)}{\sin \left({\frac {x}{2}}\right)}}.

увидеть доказательство .

Другие суммы тригонометрических функций [ править ]

Сумма синусов и косинусов с аргументами в арифметической прогрессии: ^[41] если $α \neq 0$ , то

{\begin{aligned}&\sin \varphi +\sin(\varphi +\alpha )+\sin(\varphi +2\alpha )+\cdots \\[8pt]&{}\qquad \qquad \cdots +\sin(\varphi +n\alpha )={\frac {\sin {\frac {(n+1)\alpha }{2}}\cdot \sin \left(\varphi +{\frac {n\alpha }{2}}\right)}{\sin {\frac {\alpha }{2}}}}\quad {\text{and}}\\[10pt]&\cos \varphi +\cos(\varphi +\alpha )+\cos(\varphi +2\alpha )+\cdots \\[8pt]&{}\qquad \qquad \cdots +\cos(\varphi +n\alpha )={\frac {\sin {\frac {(n+1)\alpha }{2}}\cdot \cos \left(\varphi +{\frac {n\alpha }{2}}\right)}{\sin {\frac {\alpha }{2}}}}.\end{aligned}}

\sec x\pm \tan x=\tan \left({\frac {\pi }{4}}\pm {\frac {x}{2}}\right).

Приведенное выше тождество иногда удобно знать, когда думаешь о функции Гудермана , которая связывает круговые и гиперболические тригонометрические функции, не прибегая к комплексным числам .

Если $x$ , $y$ и $z$ - три угла любого треугольника, т.е. если $x + y + z = π$ , то

\cot x\cot y+\cot y\cot z+\cot z\cot x=1.

Некоторые дробно-линейные преобразования [ править ]

Если $f (x)$ задается дробно-линейным преобразованием

f(x)={\frac {(\cos \alpha )x-\sin \alpha }{(\sin \alpha )x+\cos \alpha }},

и аналогично

g(x)={\frac {(\cos \beta )x-\sin \beta }{(\sin \beta )x+\cos \beta }},

потом

f{\big (}g(x){\big )}=g{\big (}f(x){\big )}={\frac {{\big (}\cos(\alpha +\beta ){\big )}x-\sin(\alpha +\beta )}{{\big (}\sin(\alpha +\beta ){\big )}x+\cos(\alpha +\beta )}}.

Короче говоря , если для всех $α$ мы позволим $f α$ быть тем, что мы назвали $f$ выше, то

f_{\alpha }\circ f_{\beta }=f_{\alpha +\beta }.

Если $x$ - угол наклона прямой, то $f (x)$ - угол ее поворота на угол $- α$ .

Обратные тригонометрические функции [ править ]

{\begin{aligned}\arcsin x+\arccos x&={\dfrac {\pi }{2}}\\\arctan x+\operatorname {arccot} x&={\dfrac {\pi }{2}}\\\arctan x+\arctan {\dfrac {1}{x}}&={\begin{cases}{\dfrac {\pi }{2}},&{\text{if }}x>0\\-{\dfrac {\pi }{2}},&{\text{if }}x<0\end{cases}}\end{aligned}}

\arctan {\frac {1}{x}}=\arctan {\frac {1}{x+y}}+\arctan {\frac {y}{x^{2}+xy+1}}

^[42]

Составы триггерных и обратных триггерных функций [ править ]

{\begin{aligned}\sin(\arccos x)&={\sqrt {1-x^{2}}}&\tan(\arcsin x)&={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\\\sin(\arctan x)&={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}&\tan(\arccos x)&={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}\\\cos(\arctan x)&={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}&\cot(\arcsin x)&={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}\\\cos(\arcsin x)&={\sqrt {1-x^{2}}}&\cot(\arccos x)&={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\end{aligned}}

Связь с комплексной экспоненциальной функцией [ править ]

С единичным мнимым числом $i,$ удовлетворяющим $i 2 = -1$ ,

e^{ix}=\cos x+i\sin x

^[43] ( формула Эйлера ),

e^{-ix}=\cos(-x)+i\sin(-x)=\cos x-i\sin x

e^{i\pi }+1=0

( Тождество Эйлера ),

e^{2\pi i}=1

\cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}

^[44]

\sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}

^[45]

\tan x={\frac {\sin x}{\cos x}}={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{i({e^{ix}+e^{-ix}})}}\,.

Эти формулы полезны для доказательства многих других тригонометрических тождеств. Например, $e i (θ + φ) = e iθ e iφ$ означает, что

cos (θ + φ) + i sin (θ + φ) = (cos θ + i sin θ) (cos φ + i sin φ) = (cos θ cos φ - sin θ sin φ) + i (cos θ sin φ + sin θ cos φ)

.

То, что действительная часть левой части равна действительной части правой части, является формулой сложения углов для косинуса. Равенство мнимых частей дает формулу сложения углов для синуса.

Бесконечные формулы продукта [ править ]

Для приложений к специальным функциям полезны следующие формулы бесконечного произведения для тригонометрических функций: ^[46]^[47]

{\begin{aligned}\sin x&=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right)\\\sinh x&=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right)\end{aligned}}\ \,{\begin{aligned}\cos x&=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}\left(n-{\frac {1}{2}}\right)^{2}}}\right)\\\cosh x&=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}\left(n-{\frac {1}{2}}\right)^{2}}}\right)\end{aligned}}

Личности без переменных [ править ]

В терминах функции арктангенса имеем ^[42]

\arctan {\frac {1}{2}}=\arctan {\frac {1}{3}}+\arctan {\frac {1}{7}}.

Любопытная идентичность, известная как закон Морри ,

\cos 20^{\circ }\cdot \cos 40^{\circ }\cdot \cos 80^{\circ }={\frac {1}{8}},

это частный случай идентичности, которая содержит одну переменную:

\prod _{j=0}^{k-1}\cos(2^{j}x)={\frac {\sin(2^{k}x)}{2^{k}\sin x}}.

Тот же косинус в радианах равен

\cos {\frac {\pi }{9}}\cos {\frac {2\pi }{9}}\cos {\frac {4\pi }{9}}={\frac {1}{8}}.

Так же,

\sin 20^{\circ }\cdot \sin 40^{\circ }\cdot \sin 80^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{8}}

является частным случаем тождества со случаем x = 20:

\sin x\cdot \sin(60^{\circ }-x)\cdot \sin(60^{\circ }+x)={\frac {\sin 3x}{4}}.

Для случая $x$ = 15

\sin 15^{\circ }\cdot \sin 45^{\circ }\cdot \sin 75^{\circ }={\frac {\sqrt {2}}{8}},

\sin 15^{\circ }\cdot \sin 75^{\circ }={\frac {1}{4}}.

Для случая $x$ = 10

\sin 10^{\circ }\cdot \sin 50^{\circ }\cdot \sin 70^{\circ }={\frac {1}{8}}.

То же косинусное тождество

\cos x\cdot \cos(60^{\circ }-x)\cdot \cos(60^{\circ }+x)={\frac {\cos 3x}{4}}.

Так же,

\cos 10^{\circ }\cdot \cos 50^{\circ }\cdot \cos 70^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{8}},

\cos 15^{\circ }\cdot \cos 45^{\circ }\cdot \cos 75^{\circ }={\frac {\sqrt {2}}{8}},

\cos 15^{\circ }\cdot \cos 75^{\circ }={\frac {1}{4}}.

Так же,

\tan 50^{\circ }\cdot \tan 60^{\circ }\cdot \tan 70^{\circ }=\tan 80^{\circ },

\tan 40^{\circ }\cdot \tan 30^{\circ }\cdot \tan 20^{\circ }=\tan 10^{\circ }.

Следующее, возможно, не так легко обобщить на тождество, содержащее переменные (но см. Объяснение ниже):

\cos 24^{\circ }+\cos 48^{\circ }+\cos 96^{\circ }+\cos 168^{\circ }={\frac {1}{2}}.

Градусная мера перестает быть более удачной, чем радианная мера, когда мы рассматриваем это тождество с 21 в знаменателе:

{\begin{aligned}&\cos {\frac {2\pi }{21}}+\cos \left(2\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(4\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)\\[10pt]&{}\qquad {}+\cos \left(5\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(8\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(10\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)={\frac {1}{2}}.\end{aligned}}

Коэффициенты 1, 2, 4, 5, 8, 10 могут прояснить шаблон: это целые числа меньше, чем 21 год/2которые являются относительно простыми с (или не имеют общих с ними простых множителей ) 21. Последние несколько примеров являются следствием основного факта о неприводимых циклотомических многочленах : косинусы являются действительными частями нулей этих многочленов; сумма нулей - это функция Мёбиуса, вычисленная в (в самом последнем случае выше) 21; только половина нулей присутствует выше. Два тождества, предшествующие этому последнему, возникают таким же образом с заменой 21 на 10 и 15 соответственно.

Другие косинусные тождества включают: ^[48]

2\cos {\frac {\pi }{3}}=1,

2\cos {\frac {\pi }{5}}\times 2\cos {\frac {2\pi }{5}}=1,

2\cos {\frac {\pi }{7}}\times 2\cos {\frac {2\pi }{7}}\times 2\cos {\frac {3\pi }{7}}=1,

и так далее для всех нечетных чисел, и, следовательно,

\cos {\frac {\pi }{3}}+\cos {\frac {\pi }{5}}\times \cos {\frac {2\pi }{5}}+\cos {\frac {\pi }{7}}\times \cos {\frac {2\pi }{7}}\times \cos {\frac {3\pi }{7}}+\dots =1.

Многие из этих любопытных идентичностей проистекают из более общих фактов, таких как следующие: ^[49]

\prod _{k=1}^{n-1}\sin {\frac {k\pi }{n}}={\frac {n}{2^{n-1}}}

и

\prod _{k=1}^{n-1}\cos {\frac {k\pi }{n}}={\frac {\sin {\frac {\pi n}{2}}}{2^{n-1}}}

Сочетание этого дает нам

\prod _{k=1}^{n-1}\tan {\frac {k\pi }{n}}={\frac {n}{\sin {\frac {\pi n}{2}}}}

Если $n$ - нечетное число ( $n = 2 m + 1$ ), мы можем использовать симметрии, чтобы получить

\prod _{k=1}^{m}\tan {\frac {k\pi }{2m+1}}={\sqrt {2m+1}}

Передаточная функция фильтра нижних частот Баттерворта может быть выражена в терминах полинома и полюсов. Установив частоту в качестве частоты среза, можно доказать следующее:

\prod _{k=1}^{n}\sin {\frac {\left(2k-1\right)\pi }{4n}}=\prod _{k=1}^{n}\cos {\frac {\left(2k-1\right)\pi }{4n}}={\frac {\sqrt {2}}{2^{n}}}

Вычисление $π$ [ править ]

Эффективный способ вычисления π основан на следующем тождестве без переменных, созданном Мачином :

{\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}

или, альтернативно, используя личность Леонарда Эйлера :

{\frac {\pi }{4}}=5\arctan {\frac {1}{7}}+2\arctan {\frac {3}{79}}

или используя троек Пифагора :

\pi =\arccos {\frac {4}{5}}+\arccos {\frac {5}{13}}+\arccos {\frac {16}{65}}=\arcsin {\frac {3}{5}}+\arcsin {\frac {12}{13}}+\arcsin {\frac {63}{65}}.

Другие включают

{\frac {\pi }{4}}=\arctan {\frac {1}{2}}+\arctan {\frac {1}{3}};

^[50]^[42]

\pi =\arctan 1+\arctan 2+\arctan 3.

^[50]

{\frac {\pi }{4}}=2\arctan {\frac {1}{3}}+\arctan {\frac {1}{7}}.

^[42]

Обычно для чисел $t 1, ..., t n -1 \in (-1, 1),$ для которых $θ n = \sum п - 1 к = 1 arctan t k \in (π / 4, 3 π / 4)$ , пусть $t n = tan (π / 2 - θ n) = cot θ n$ . Это последнее выражение можно вычислить напрямую, используя формулу котангенса суммы углов, тангенсы которых равны $t 1, ..., t n -1,$ а его значение будет в $(-1, 1)$ . В частности, вычисленное $t n$ будет рациональным, если все значения $t 1, ..., t n -1$ рациональны. С этими значениями

{\begin{aligned}{\frac {\pi }{2}}&=\sum _{k=1}^{n}\arctan(t_{k})\\\pi &=\sum _{k=1}^{n}\operatorname {sign} (t_{k})\arccos \left({\frac {1-t_{k}^{2}}{1+t_{k}^{2}}}\right)\\\pi &=\sum _{k=1}^{n}\arcsin \left({\frac {2t_{k}}{1+t_{k}^{2}}}\right)\\\pi &=\sum _{k=1}^{n}\arctan \left({\frac {2t_{k}}{1-t_{k}^{2}}}\right)\,,\end{aligned}}

где во всех выражениях, кроме первого, мы использовали формулы касательных полууглов. Первые две формулы работают, даже если одно или несколько значений $t k$ не находятся в пределах $(-1, 1)$ . Обратите внимание, что когда $t = p / q$ рационально, то значения $(2 t, 1 - t 2, 1 + t 2)$ в приведенных выше формулах пропорциональны тройке Пифагора $(2 pq, q 2 - p 2, q 2 + п 2)$ .

Например, для $n = 3$ члена

{\frac {\pi }{2}}=\arctan \left({\frac {a}{b}}\right)+\arctan \left({\frac {c}{d}}\right)+\arctan \left({\frac {bd-ac}{ad+bc}}\right)

для любых $a, b, c, d > 0$ .

Полезная мнемоника для определенных значений синусов и косинусов [ править ]

Для некоторых простых углов синусы и косинусы принимают форму $\sqrt п / 2$ для $0 \leq n \leq 4$ , что упрощает их запоминание.

{\begin{matrix}\sin \left(0\right)&=&\sin \left(0^{\circ }\right)&=&{\dfrac {\sqrt {0}}{2}}&=&\cos \left(90^{\circ }\right)&=&\cos \left({\dfrac {\pi }{2}}\right)\\[5pt]\sin \left({\dfrac {\pi }{6}}\right)&=&\sin \left(30^{\circ }\right)&=&{\dfrac {\sqrt {1}}{2}}&=&\cos \left(60^{\circ }\right)&=&\cos \left({\dfrac {\pi }{3}}\right)\\[5pt]\sin \left({\dfrac {\pi }{4}}\right)&=&\sin \left(45^{\circ }\right)&=&{\dfrac {\sqrt {2}}{2}}&=&\cos \left(45^{\circ }\right)&=&\cos \left({\dfrac {\pi }{4}}\right)\\[5pt]\sin \left({\dfrac {\pi }{3}}\right)&=&\sin \left(60^{\circ }\right)&=&{\dfrac {\sqrt {3}}{2}}&=&\cos \left(30^{\circ }\right)&=&\cos \left({\dfrac {\pi }{6}}\right)\\[5pt]\sin \left({\dfrac {\pi }{2}}\right)&=&\sin \left(90^{\circ }\right)&=&{\dfrac {\sqrt {4}}{2}}&=&\cos \left(0^{\circ }\right)&=&\cos \left(0\right)\\[5pt]&&&&\uparrow \\&&&&{\text{These}}\\&&&&{\text{radicands}}\\&&&&{\text{are}}\\&&&&0,\,1,\,2,\,3,\,4.\end{matrix}}

Разное [ править ]

При золотом сечении $φ$ :

\cos {\frac {\pi }{5}}=\cos 36^{\circ }={\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}={\frac {\varphi }{2}}

\sin {\frac {\pi }{10}}=\sin 18^{\circ }={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}={\frac {\varphi ^{-1}}{2}}={\frac {1}{2\varphi }}

См. Также тригонометрические константы, выраженные в действительных радикалах .

Личность Евклида [ править ]

Евклид показал в Книге XIII, Предложение 10 своих Элементов, что площадь квадрата на стороне правильного пятиугольника, вписанного в круг, равна сумме площадей квадратов на сторонах правильного шестиугольника и правильного десятиугольника. вписаны в тот же круг. На языке современной тригонометрии это говорит:

\sin ^{2}18^{\circ }+\sin ^{2}30^{\circ }=\sin ^{2}36^{\circ }.

Птолемей использовал это предложение для вычисления некоторых углов в своей таблице аккордов .

Состав тригонометрических функций [ править ]

Это тождество включает тригонометрическую функцию тригонометрической функции: ^[51]

\cos(t\sin x)=J_{0}(t)+2\sum _{k=1}^{\infty }J_{2k}(t)\cos(2kx)

\sin(t\sin x)=2\sum _{k=0}^{\infty }J_{2k+1}(t)\sin {\big (}(2k+1)x{\big )}

\cos(t\cos x)=J_{0}(t)+2\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}J_{2k}(t)\cos(2kx)

\sin(t\cos x)=2\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}J_{2k+1}(t)\cos {\big (}(2k+1)x{\big )}

где $J i$ - функции Бесселя .

Исчисление [ править ]

В расчетах приведенные ниже соотношения требуют, чтобы углы измерялись в радианах ; отношения стали бы более сложными, если бы углы измерялись в другой единице, например, в градусах. Если тригонометрические функции определены в терминах геометрии, наряду с определениями длины дуги и площади , их производные можно найти, проверив два предела. Первый:

\lim _{x\rightarrow 0}{\frac {\sin x}{x}}=1,

проверяется с помощью единичной окружности и теоремы о сжатии . Второй предел:

\lim _{x\rightarrow 0}{\frac {1-\cos x}{x}}=0,

проверено с использованием идентификационного $загара Икс / 2 знак равно 1 - cos x / грех х$ . Установив эти два предела, можно использовать предельное определение производной и теоремы сложения, чтобы показать, что $(sin x) ' = cos x$ и $(cos x) ' = -sin x$ . Если функции синуса и косинуса определяются их рядами Тейлора , то производные могут быть найдены путем почленного дифференцирования степенного ряда.

{\frac {d}{dx}}\sin x=\cos x

Остальные тригонометрические функции можно дифференцировать, используя указанные выше тождества и правила дифференцирования : ^[52]^[53]^[54]

{\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\sin x&=\cos x,&{\frac {d}{dx}}\arcsin x&={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\\\\{\frac {d}{dx}}\cos x&=-\sin x,&{\frac {d}{dx}}\arccos x&={\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\\\\{\frac {d}{dx}}\tan x&=\sec ^{2}x,&{\frac {d}{dx}}\arctan x&={\frac {1}{1+x^{2}}}\\\\{\frac {d}{dx}}\cot x&=-\csc ^{2}x,&{\frac {d}{dx}}\operatorname {arccot} x&={\frac {-1}{1+x^{2}}}\\\\{\frac {d}{dx}}\sec x&=\tan x\sec x,&{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsec} x&={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}\\\\{\frac {d}{dx}}\csc x&=-\csc x\cot x,&{\frac {d}{dx}}\operatorname {arccsc} x&={\frac {-1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}\end{aligned}}

Интегральные тождества можно найти в Списке интегралов от тригонометрических функций . Некоторые общие формы перечислены ниже.

\int {\frac {du}{\sqrt {a^{2}-u^{2}}}}=\sin ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C

\int {\frac {du}{a^{2}+u^{2}}}={\frac {1}{a}}\tan ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C

\int {\frac {du}{u{\sqrt {u^{2}-a^{2}}}}}={\frac {1}{a}}\sec ^{-1}\left|{\frac {u}{a}}\right|+C

Последствия [ править ]

Тот факт, что дифференцирование тригонометрических функций (синуса и косинуса) приводит к линейным комбинациям одних и тех же двух функций, имеет фундаментальное значение для многих областей математики, включая дифференциальные уравнения и преобразования Фурье .

Некоторые дифференциальные уравнения, которым удовлетворяет функция синуса [ править ]

Пусть $i = \sqrt -1$ - мнимая единица, а ∘ - композиция дифференциальных операторов. Тогда для каждого нечетного натурального числа $п$ ,

{\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}&\left({\frac {d}{dx}}-\sin x\right)\circ \left({\frac {d}{dx}}-\sin x+i\right)\circ \cdots \\&\qquad \cdots \circ \left({\frac {d}{dx}}-\sin x+(k-1)i\right)(\sin x)^{n-k}=0.\end{aligned}}

(Когда $k$ = 0, то количество составляемых дифференциальных операторов равно 0, поэтому соответствующий член в приведенной выше сумме равен $(sin x) n$ .) Эта идентичность была обнаружена как побочный продукт исследований в области медицинской визуализации . ^[55]

Экспоненциальные определения [ править ]

Функция	Обратная функция ^[56]
$\sin \theta ={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}}$	$\arcsin x=-i\,\ln \left(ix+{\sqrt {1-x^{2}}}\right)$
$\cos \theta ={\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}}$	$\arccos x=-i\,\ln \left(x+\,{\sqrt {x^{2}-1}}\right)$
$\tan \theta =-i\,{\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{e^{i\theta }+e^{-i\theta }}}$	$\arctan x={\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {i+x}{i-x}}\right)$
$\csc \theta ={\frac {2i}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}}$	$\operatorname {arccsc} x=-i\,\ln \left({\frac {i}{x}}+{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}\right)$
$\sec \theta ={\frac {2}{e^{i\theta }+e^{-i\theta }}}$	$\operatorname {arcsec} x=-i\,\ln \left({\frac {1}{x}}+i{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}\right)$
$\cot \theta =i\,{\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}}$	$\operatorname {arccot} x={\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {x-i}{x+i}}\right)$

cis ⁡ θ = e i θ {\displaystyle \operatorname {cis} \theta =e^{i\theta }}	$\operatorname {arccis} x=-i\ln x$

Дальнейшие «условные» тождества для случая α + β + γ = 180 ° [ править ]

Следующие формулы применяются к произвольным плоским треугольникам и следуют из α + β + γ = 180 °, если функции, встречающиеся в формулах, четко определены (последнее применимо только к формулам, в которых встречаются касательные и котангенсы).

\tan \alpha +\tan \beta +\tan \gamma =\tan \alpha \cdot \tan \beta \cdot \tan \gamma \,

\cot \beta \cdot \cot \gamma +\cot \gamma \cdot \cot \alpha +\cot \alpha \cdot \cot \beta =1

\cot {\frac {\alpha }{2}}+\cot {\frac {\beta }{2}}+\cot {\frac {\gamma }{2}}=\cot {\frac {\alpha }{2}}\cdot \cot {\frac {\beta }{2}}\cdot \cot {\frac {\gamma }{2}}

\tan {\frac {\beta }{2}}\tan {\frac {\gamma }{2}}+\tan {\frac {\gamma }{2}}\tan {\frac {\alpha }{2}}+\tan {\frac {\alpha }{2}}\tan {\frac {\beta }{2}}=1

\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma =4\cos {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\gamma }{2}}

-\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma =4\cos {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma }{2}}

\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma =4\sin {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma }{2}}+1

-\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma =4\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\gamma }{2}}-1

\sin(2\alpha )+\sin(2\beta )+\sin(2\gamma )=4\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma \,

-\sin(2\alpha )+\sin(2\beta )+\sin(2\gamma )=4\sin \alpha \cos \beta \cos \gamma \,

\cos(2\alpha )+\cos(2\beta )+\cos(2\gamma )=-4\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma -1\,

-\cos(2\alpha )+\cos(2\beta )+\cos(2\gamma )=-4\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma +1\,

\sin ^{2}\alpha +\sin ^{2}\beta +\sin ^{2}\gamma =2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma +2\,

-\sin ^{2}\alpha +\sin ^{2}\beta +\sin ^{2}\gamma =2\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma \,

\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma =-2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma +1\,

-\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma =-2\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma +1\,

-\sin ^{2}(2\alpha )+\sin ^{2}(2\beta )+\sin ^{2}(2\gamma )=-2\cos(2\alpha )\sin(2\beta )\sin(2\gamma )

-\cos ^{2}(2\alpha )+\cos ^{2}(2\beta )+\cos ^{2}(2\gamma )=2\cos(2\alpha )\,\sin(2\beta )\,\sin(2\gamma )+1

\sin ^{2}\left({\frac {\alpha }{2}}\right)+\sin ^{2}\left({\frac {\beta }{2}}\right)+\sin ^{2}\left({\frac {\gamma }{2}}\right)+2\sin \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\,\sin \left({\frac {\beta }{2}}\right)\,\sin \left({\frac {\gamma }{2}}\right)=1

Разное [ править ]

Ядро Дирихле [ править ]

Ядро Дирихле $Д п (х)$ является функцией происходит на обеих сторонах следующей идентичности:

1+2\cos x+2\cos(2x)+2\cos(3x)+\cdots +2\cos(nx)={\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)x\right)}{\sin \left({\frac {x}{2}}\right)}}.

Свертка любой интегрируемой функции периода 2 $П$ с ядром совпадает Дирихль с функцией - х $п$ - й степенью приближения-Фурье. То же самое верно для любой меры или обобщенной функции .

Замена касательного полуугла [ править ]

Если мы установим

t=\tan {\frac {x}{2}},

затем ^[57]

\sin x={\frac {2t}{1+t^{2}}};\qquad \cos x={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}};\qquad e^{ix}={\frac {1+it}{1-it}}

где $e ix = cos x + i sin x$ , иногда сокращенно $cis x$ .

Когда эта замена $t$ на $tan Икс / 2$ используется в исчислении , из этого следует, что $sin x$ заменяется на $2 т / 1 + т 2$ , $cos x$ заменяется на $1 - т 2 / 1 + т 2$ а дифференциал $d x$ заменяется на $2 д т / 1 + т 2$ . Таким образом, можно преобразовать рациональные функции от $sin x$ и $cos x$ в рациональные функции от $t$ , чтобы найти их первообразные .

См. Также [ править ]

Неравенство Аристарха
Производные тригонометрических функций
Точные тригонометрические константы (значения синуса и косинуса, выраженные в сурдах)
Exsecant
Формула половинной стороны
Гиперболическая функция
Законы решения треугольников:
- Закон косинусов
  - Сферический закон косинусов
- Закон синусов
- Закон касательных
- Закон котангенсов
- Формула Моллвейде
Список интегралов от тригонометрических функций
Мнемоника в тригонометрии
Pentagramma mirificum
Доказательства тригонометрических тождеств
Простафаэрез
теорема Пифагора
Формула касательного полуугла
Тригонометрическое число
Тригонометрия
Тригонометрические константы, выраженные в действительных радикалах
Использование тригонометрии
Версин и гаверсин

Заметки [ править ]

↑ Хэн, Ченг и Талберт, «Дополнительная математика» , стр. 228
^ Schaumberger, N. (1974). "Классная теорема о тригонометрических иррациональностях". Двухлетний колледж по математике. Дж . 5 (1): 73–76. DOI : 10.2307 / 3026991 . JSTOR 3026991 .
^ Вайсштейн, Эрик В. "Теорема Нивена" . MathWorld .
^ Абрамовиц и Стегун, стр. 73, 4.3.45
^ Абрамовиц и Стегун, стр. 78, 4.3.147
^ Нильсен (1966 , стр. Xxiii – xxiv)
^ Селби 1970 , стр. 188
^ Абрамовиц и Стегун, стр. 72, 4.3.13–15
^ Абрамовиц и Стегун, стр. 72, 4.3.9
^ Абрамовиц и Стегун, стр. 72, 4.3.7–8
^ Trigonographer (28 сентября 2015). «Сумма углов и разность для синуса и косинуса» . Trigonography.com . Дата обращения 28 мая 2017 .
^ Абрамовиц и Стегун, стр. 72, 4.3.16
^ a b c d Вайсштейн, Эрик В. "Тригонометрические формулы сложения" . MathWorld .
^ Абрамовиц и Стегун, стр. 72, 4.3.17
^ Абрамовиц и Стегун, стр. 72, 4.3.18
^ a b «Сумма углов и тождества разницы» . www.milefoot.com . Проверено 12 октября 2019 .
^ Абрамовиц и Стегун, стр. 72, 4.3.19
^ Абрамовиц и Стегун, стр. 80, 4.4.32
^ Абрамовиц и Стегун, стр. 80, 4.4.33
^ Абрамовиц и Стегун, стр. 80, 4.4.34
^ Бронштейн, Мануэль (1989). «Упрощение реальных элементарных функций». В Gonnet, GH (ред.). Труды Международного симпозиума ACM-SIGSAM 1989 по символьным и алгебраическим вычислениям . ISSAC '89 (Портленд, США, штат Орегон, 1989-07). Нью-Йорк: ACM . С. 207–211. DOI : 10.1145 / 74540.74566 . ISBN 0-89791-325-6.
^ Майкл Харди (август – сентябрь 2016 г.). «О касательных и секущих бесконечных сумм» . Американский математический ежемесячник . 123 (7): 701–703. DOI : 10,4169 / amer.math.monthly.123.7.701 .
^ a b Вайсштейн, Эрик У. "Многоугольные формулы" . MathWorld .
^ Абрамовиц и Стегун, стр. 74, 4.3.48
^ a b Селби 1970 , стр. 190
^ a b Абрамовиц и Стегун, стр. 72, 4.3.20–22
^ a b Вайсштейн, Эрик У. "Формулы для полууглов" . MathWorld .
^ Абрамовиц и Стегун, стр. 72, 4.3.24–26
^ Вайсштейн, Эрик В. "Формулы двойного угла" . MathWorld .
^ Абрамовиц и Стегун, стр. 72, 4.3.27–28
^ Уорд, Кен. «Рекурсивная формула множественных углов» . Страницы математики Кена Уорда .
^ Абрамовиц и Стегун, стр. 72, 4.3.31–33
^ Абрамовиц и Стегун, стр. 72, 4.3.34–39
^ Нельсон, Роджер. «Математика без слов», The College Mathematics Journal 33 (2), март 2002 г., стр. 130.
↑ Джонсон, Уоррен П. (апрель 2010 г.). «Тригонометрические идентичности а-ля Эрмит». Американский математический ежемесячник . 117 (4): 311–327. DOI : 10.4169 / 000298910x480784 .
^ «Идентификация продукта под разными углами» .
^ Апостол, TM (1967) Исчисление. 2-е издание. Нью-Йорк, Нью-Йорк, Уайли. С. 334-335.
^ a b Вайсштейн, Эрик В. "Теорема гармонического сложения" . MathWorld .
↑ Ортис Муньис, Эдди (февраль 1953 г.). «Метод вывода различных формул в электростатике и электромагнетизме с использованием тригонометрических тождеств Лагранжа». Американский журнал физики . 21 (2): 140. Bibcode : 1953AmJPh..21..140M . DOI : 10.1119 / 1.1933371 .
^ Джеффри, Алан; Дай, Хуэй-хуэй (2008). «Раздел 2.4.1.6». Справочник по математическим формулам и интегралам (4-е изд.). Академическая пресса. ISBN 978-0-12-374288-9.
^ Кнапп, Майкл П. "Синусы и косинусы углов в арифметической прогрессии" (PDF) .
^ a b c d Ву, Рекс Х. «Доказательство без слов: арктангенсное тождество Эйлера», Mathematics Magazine 77 (3), июнь 2004 г., стр. 189.
^ Абрамовиц и Стегун, стр. 74, 4.3.47
^ Абрамовиц и Стегун, стр. 71, 4.3.2
^ Абрамовиц и Стегун, стр. 71, 4.3.1
^ Абрамовиц и Стегун, стр. 75, 4.3.89–90
^ Абрамовиц и Стегун, стр. 85, 4.5.68–69
Перейти ↑ Humble, Steve (ноябрь 2004 г.). «Бабушкина личность». Математический вестник . 88 : 524–525. DOI : 10.1017 / s0025557200176223 .
^ Вайсштейн, Эрик В. "Синус" . MathWorld .
^ a b Харрис, Эдвард М. «Суммы арктангенсов», в книге Роджера Б. Нельсона, Доказательства без слов (1993, Математическая ассоциация Америки), с. 39.
^ Милтон Абрамовиц и Ирен Стегун, Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами , Dover Publications , Нью-Йорк, 1972, формулы 9.1.42–9.1.45
^ Абрамовиц и Стегун, стр. 77, 4.3.105–110
^ Абрамовиц и Стегун, стр. 82, 4.4.52–57
^ Финни, Росс (2003). Исчисление: графическое, числовое, алгебраическое . Гленвью, Иллинойс: Прентис-Холл. С. 159–161 . ISBN 0-13-063131-0.
^ Кучмент, Питер; Левин, Сергей (август 2013). «Личности для греха x , пришедшие из медицинских изображений». Американский математический ежемесячник . 120 : 609–621. arXiv : 1110,6109 . DOI : 10,4169 / amer.math.monthly.120.07.609 .
^ Абрамовиц и Стегун, стр. 80, 4.4.26–31
^ Абрамовиц и Стегун, стр. 72, 4.3.23

Ссылки [ править ]

Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен А. , ред. (1972). Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Нью-Йорк: Dover Publications . ISBN 978-0-486-61272-0.
Нильсен, Кай Л. (1966), Логарифмические и тригонометрические таблицы для пяти мест (2-е изд.), Нью-Йорк: Barnes & Noble , LCCN 61-9103
Селби, Сэмюэл М., изд. (1970), Стандартные математические таблицы (18-е изд.), The Chemical Rubber Co.

Внешние ссылки [ править ]

Значения sin и cos, выраженные в сурдах, для целых кратных 3 ° и 5+5/8° , а для тех же углов csc и sec и tan

Полный список тригонометрических формул

[Heng-1] Хэн, Ченг и Талберт, «Дополнительная математика» , стр. 228

[2] Schaumberger, N. (1974). "Классная теорема о тригонометрических иррациональностях". Двухлетний колледж по математике. Дж . 5 (1): 73–76. DOI : 10.2307 / 3026991 . JSTOR 3026991 .

[3] Вайсштейн, Эрик В. "Теорема Нивена" . MathWorld .

[4] Абрамовиц и Стегун, стр. 73, 4.3.45

[5] Абрамовиц и Стегун, стр. 78, 4.3.147

[6] Нильсен (1966 , стр. Xxiii – xxiv)

[7] Селби 1970 , стр. 188

[8] Абрамовиц и Стегун, стр. 72, 4.3.13–15

[9] Абрамовиц и Стегун, стр. 72, 4.3.9

[10] Абрамовиц и Стегун, стр. 72, 4.3.7–8

[11] Trigonographer (28 сентября 2015). «Сумма углов и разность для синуса и косинуса» . Trigonography.com . Дата обращения 28 мая 2017 .

[12] Абрамовиц и Стегун, стр. 72, 4.3.16

[mathworld_addition-13] Вайсштейн, Эрик В. "Тригонометрические формулы сложения" . MathWorld .

[14] Абрамовиц и Стегун, стр. 72, 4.3.17

[15] Абрамовиц и Стегун, стр. 72, 4.3.18

[:0-16] «Сумма углов и тождества разницы» . www.milefoot.com . Проверено 12 октября 2019 .

[17] Абрамовиц и Стегун, стр. 72, 4.3.19

[18] Абрамовиц и Стегун, стр. 80, 4.4.32

[19] Абрамовиц и Стегун, стр. 80, 4.4.33

[20] Абрамовиц и Стегун, стр. 80, 4.4.34

[21] Бронштейн, Мануэль (1989). «Упрощение реальных элементарных функций». В Gonnet, GH (ред.). Труды Международного симпозиума ACM-SIGSAM 1989 по символьным и алгебраическим вычислениям . ISSAC '89 (Портленд, США, штат Орегон, 1989-07). Нью-Йорк: ACM . С. 207–211. DOI : 10.1145 / 74540.74566 . ISBN 0-89791-325-6.

[22] Майкл Харди (август – сентябрь 2016 г.). «О касательных и секущих бесконечных сумм» . Американский математический ежемесячник . 123 (7): 701–703. DOI : 10,4169 / amer.math.monthly.123.7.701 .

[mathworld_multiple_angle-23] Вайсштейн, Эрик У. "Многоугольные формулы" . MathWorld .

[24] Абрамовиц и Стегун, стр. 74, 4.3.48

[STM1-25] Селби 1970 , стр. 190

[ReferenceA-26] Абрамовиц и Стегун, стр. 72, 4.3.20–22

[mathworld_half_angle-27] Вайсштейн, Эрик У. "Формулы для полууглов" . MathWorld .

[28] Абрамовиц и Стегун, стр. 72, 4.3.24–26

[mathworld_double_angle-29] Вайсштейн, Эрик В. "Формулы двойного угла" . MathWorld .

[Stegun_p._72,_4-30] Абрамовиц и Стегун, стр. 72, 4.3.27–28

[31] Уорд, Кен. «Рекурсивная формула множественных углов» . Страницы математики Кена Уорда .

[32] Абрамовиц и Стегун, стр. 72, 4.3.31–33

[33] Абрамовиц и Стегун, стр. 72, 4.3.34–39

[34] Нельсон, Роджер. «Математика без слов», The College Mathematics Journal 33 (2), март 2002 г., стр. 130.

[35] Джонсон, Уоррен П. (апрель 2010 г.). «Тригонометрические идентичности а-ля Эрмит». Американский математический ежемесячник . 117 (4): 311–327. DOI : 10.4169 / 000298910x480784 .

[36] «Идентификация продукта под разными углами» .

[37] Апостол, TM (1967) Исчисление. 2-е издание. Нью-Йорк, Нью-Йорк, Уайли. С. 334-335.

[ReferenceB-38] Вайсштейн, Эрик В. "Теорема гармонического сложения" . MathWorld .

[Muniz-39] Ортис Муньис, Эдди (февраль 1953 г.). «Метод вывода различных формул в электростатике и электромагнетизме с использованием тригонометрических тождеств Лагранжа». Американский журнал физики . 21 (2): 140. Bibcode : 1953AmJPh..21..140M . DOI : 10.1119 / 1.1933371 .

[40] Джеффри, Алан; Дай, Хуэй-хуэй (2008). «Раздел 2.4.1.6». Справочник по математическим формулам и интегралам (4-е изд.). Академическая пресса. ISBN 978-0-12-374288-9.

[41] Кнапп, Майкл П. "Синусы и косинусы углов в арифметической прогрессии" (PDF) .

[Wu-42] Ву, Рекс Х. «Доказательство без слов: арктангенсное тождество Эйлера», Mathematics Magazine 77 (3), июнь 2004 г., стр. 189.

[43] Абрамовиц и Стегун, стр. 74, 4.3.47

[44] Абрамовиц и Стегун, стр. 71, 4.3.2

[45] Абрамовиц и Стегун, стр. 71, 4.3.1

[46] Абрамовиц и Стегун, стр. 75, 4.3.89–90

[47] Абрамовиц и Стегун, стр. 85, 4.5.68–69

[48] Перейти ↑ Humble, Steve (ноябрь 2004 г.). «Бабушкина личность». Математический вестник . 88 : 524–525. DOI : 10.1017 / s0025557200176223 .

[49] Вайсштейн, Эрик В. "Синус" . MathWorld .

[Harris-50] Харрис, Эдвард М. «Суммы арктангенсов», в книге Роджера Б. Нельсона, Доказательства без слов (1993, Математическая ассоциация Америки), с. 39.

[51] Милтон Абрамовиц и Ирен Стегун, Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами , Dover Publications , Нью-Йорк, 1972, формулы 9.1.42–9.1.45

[52] Абрамовиц и Стегун, стр. 77, 4.3.105–110

[53] Абрамовиц и Стегун, стр. 82, 4.4.52–57

[54] Финни, Росс (2003). Исчисление: графическое, числовое, алгебраическое . Гленвью, Иллинойс: Прентис-Холл. С. 159–161 . ISBN 0-13-063131-0.

[55] Кучмент, Питер; Левин, Сергей (август 2013). «Личности для греха x , пришедшие из медицинских изображений». Американский математический ежемесячник . 120 : 609–621. arXiv : 1110,6109 . DOI : 10,4169 / amer.math.monthly.120.07.609 .

[56] Абрамовиц и Стегун, стр. 80, 4.4.26–31

[57] Абрамовиц и Стегун, стр. 72, 4.3.23

Список тригонометрических тождеств

Обозначение [ править ]

Углы [ править ]

Тригонометрические функции [ править ]

Другие функции [ править ]

Обратные функции [ править ]

Пифагорейские тождества [ править ]

Исторические сокращения [ править ]

Размышления, сдвиги и периодичность [ править ]

Размышления [ править ]

Сдвиги и периодичность [ править ]

Тождества суммы и разности углов [ править ]

Матричная форма [ править ]

Синусы и косинусы сумм бесконечно многих углов [ править ]

Касательные и котангенсы сумм [ править ]

Секанты и косеканты сумм [ править ]

Формулы для нескольких углов [ править ]

Формулы двойного, тройного и половинного угла [ править ]

Формулы двойного угла [ править ]

Формулы тройного угла [ править ]

Формулы полууглов [ править ]

Таблица [ править ]

Синус, косинус и тангенс нескольких углов [ править ]

Метод Чебышева [ править ]

Касательная к среднему [ править ]

Бесконечный продукт Виэта [ править ]

Формулы уменьшения мощности [ править ]

Идентификационные данные "продукт-сумма" и "сумма-продукт" [ править ]

Другие связанные личности [ править ]

Котангенсная идентичность Эрмита [ править ]

Теорема Птолемея [ править ]

Конечные произведения тригонометрических функций [ править ]

Линейные комбинации [ править ]

Синус и косинус [ править ]

Произвольный фазовый сдвиг [ править ]

Более двух синусоид [ править ]

Тригонометрические тождества Лагранжа [ править ]

Другие суммы тригонометрических функций [ править ]

Некоторые дробно-линейные преобразования [ править ]

Обратные тригонометрические функции [ править ]

Составы триггерных и обратных триггерных функций [ править ]

Связь с комплексной экспоненциальной функцией [ править ]

Бесконечные формулы продукта [ править ]

Личности без переменных [ править ]

Вычисление π [ править ]

Полезная мнемоника для определенных значений синусов и косинусов [ править ]

Разное [ править ]

Личность Евклида [ править ]

Состав тригонометрических функций [ править ]

Исчисление [ править ]

Последствия [ править ]

Некоторые дифференциальные уравнения, которым удовлетворяет функция синуса [ править ]

Экспоненциальные определения [ править ]

Дальнейшие «условные» тождества для случая α + β + γ = 180 ° [ править ]

Разное [ править ]

Ядро Дирихле [ править ]

Замена касательного полуугла [ править ]

См. Также [ править ]

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

Вычисление $π$ [ править ]