Закон котангенсов

Треугольник, показывающий «вписанную окружность» и разделение сторон. Угол биссектрисы встречаются на вписанной , который является центром вписанной .

По приведенным выше рассуждениям все шесть частей такие, как показано.

Тригонометрия
Контур История использование Функции  ( обратные ) Обобщенная тригонометрия
Ссылка
Идентичности Точные константы Столы Единичный круг
Законы и теоремы
Синусы Косинусы Касательные Котангенсы теорема Пифагора
Исчисление
Тригонометрическая замена Интегралы  ( обратные функции ) Производные
v т е

В тригонометрии , то закон котангенсов ^[1] является соотношение между длинами сторон треугольника и котангенсами из половинок трех углов.

Подобно тому, как три величины, равенство которых выражается законом синусов , равны диаметру описанной окружности треугольника (или его обратной величине, в зависимости от того, как выражается закон), так и закон котангенсов связывает радиус окружности треугольника. вписанной окружности из треугольника ( inradius ) с его стороны и углы.

Заявление [ править ]

Используя обычные обозначения для треугольника (см. Рисунок в правом верхнем углу), где a , b , c - длины трех сторон, A , B , C - вершины, противоположные этим трем соответствующим сторонам, α , β , γ - соответствующие углы в этих вершинах, s - полупериметр, то есть s =а + б + с/2, а r - радиус вписанной окружности, закон котангенсов гласит, что

${\ displaystyle {\ frac {\ cot \ left ({\ tfrac {\ alpha} {2}} \ right)} {sa}} = {\ frac {\ cot \ left ({\ tfrac {\ beta} {2 }} \ right)} {sb}} = {\ frac {\ cot \ left ({\ tfrac {\ gamma} {2}} \ right)} {sc}} = {\ frac {1} {r}} \,}$

и, кроме того, что inradius определяется как

${\displaystyle r={\sqrt {\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}}\,.}$

Доказательство [ править ]

На верхнем рисунке точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника разбивают периметр на 6 отрезков, по 3 пары. В каждой паре отрезки одинаковой длины. Например, 2 сегмента, смежных с вершиной A , равны. Если мы выберем по одному сегменту из каждой пары, их сумма будет полупериметром s . Примером этого являются сегменты, показанные на рисунке цветом. Два сегмента, составляющих красную линию, в сумме дают a , поэтому синий сегмент должен иметь длину s - a . Очевидно, что остальные пять сегментов также должны иметь длину s - a , s - b или s - c., как показано на нижнем рисунке.

Изучив рисунок и используя определение функции котангенса, мы имеем

${\displaystyle \cot \left({\frac {\alpha }{2}}\right)={\frac {s-a}{r}}\,}$

и аналогично для двух других углов, доказывая первое утверждение.

Для второго - формулы внутреннего радиуса - мы исходим из общей формулы сложения :

${\displaystyle \cot(u+v+w)={\frac {\cot u+\cot v+\cot w-\cot u\cot v\cot w}{1-\cot u\cot v-\cot v\cot w-\cot w\cot u}}.}$

Применение на детской кроватке (α/2 + β/2 + γ/2) = детская кроваткаπ/2= 0 , получаем:

${\displaystyle \cot \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\cot \left({\frac {\beta }{2}}\right)\cot \left({\frac {\gamma }{2}}\right)=\cot \left({\frac {\alpha }{2}}\right)+\cot \left({\frac {\beta }{2}}\right)+\cot \left({\frac {\gamma }{2}}\right).}$

(Это тоже тройное котангенсное тождество )

Подставляя значения, полученные в первой части, получаем:

${\displaystyle {\frac {(s-a)}{r}}{\frac {(s-b)}{r}}{\frac {(s-c)}{r}}={\frac {s-a}{r}}+{\frac {s-b}{r}}+{\frac {s-c}{r}}={\frac {3s-2s}{r}}={\frac {s}{r}}.}$

Умножение на r ³/sдает значение r ² , доказывая второе утверждение.

Некоторые доказательства с использованием закона котангенсов [ править ]

Ряд других результатов можно получить из закона котангенсов.

• Формула Герона . Обратите внимание, что площадь треугольника ABC также разделена на 6 меньших треугольников, также на 3 пары, причем треугольники в каждой паре имеют одинаковую площадь. Например, два треугольника около вершины A , являющиеся прямоугольными треугольниками шириной s - a и высотой r , имеют площадь1/2г ( с - а ) . Таким образом, эти два треугольника вместе имеют площадь r ( s - a ) , ипоэтомуплощадь S всего треугольника равна

${\displaystyle {\begin{aligned}S&=r(s-a)+r(s-b)+r(s-c)=r{\bigl (}3s-(a+b+c){\bigr )}=r(3s-2s)=rs\\[8pt]\end{aligned}}}$

Это дает результат

S = √ s ( s - a ) ( s - b ) ( s - c )

как требуется.

• Первая формула Молвейде . Из формулы сложения и закона котангенсов имеем

${\displaystyle {\frac {\sin \left({\tfrac {\alpha }{2}}-{\tfrac {\beta }{2}}\right)}{\sin \left({\tfrac {\alpha }{2}}+{\tfrac {\beta }{2}}\right)}}={\frac {\cot \left({\tfrac {\beta }{2}}\right)-\cot \left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)}{\cot \left({\tfrac {\beta }{2}}\right)+\cot \left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)}}={\frac {a-b}{2s-a-b}}.}$

Это дает результат

${\displaystyle {\dfrac {a-b}{c}}={\dfrac {\sin \left({\tfrac {\alpha }{2}}-{\tfrac {\beta }{2}}\right)}{\cos \left({\tfrac {\gamma }{2}}\right)}}}$

как требуется.

• Вторая формула Молвейде . Из формулы сложения и закона котангенсов имеем

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\cos \left({\tfrac {\alpha }{2}}-{\tfrac {\beta }{2}}\right)}{\cos \left({\tfrac {\alpha }{2}}+{\tfrac {\beta }{2}}\right)}}={\frac {\cot \left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)\cot \left({\tfrac {\beta }{2}}\right)+1}{\cot \left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)\cot \left({\tfrac {\beta }{2}}\right)-1}}\\[6pt]={}&{\frac {\cot \left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)+\cot \left({\tfrac {\beta }{2}}\right)+2\cot \left({\tfrac {\gamma }{2}}\right)}{\cot \left({\tfrac {\alpha }{2}}\right)+\cot \left({\tfrac {\beta }{2}}\right)}}={\frac {4s-a-b-2c}{2s-a-b}}.\end{aligned}}}$

Здесь требуется дополнительный шаг для преобразования продукта в сумму в соответствии с формулой сумма / продукт.

Это дает результат

${\displaystyle {\dfrac {b+a}{c}}={\dfrac {\cos \left({\tfrac {\alpha }{2}}-{\tfrac {\beta }{2}}\right)}{\sin \left({\tfrac {\gamma }{2}}\right)}}}$

как требуется.

• Закон касательных также может быть получен из этого ( Сильвестера 2001 , стр. 99).

См. Также [ править ]

• Закон синусов
• Закон косинусов
• Закон касательных
• Формула Моллвейде

Ссылки [ править ]