Доказательства тригонометрических тождеств

Доказываются основные тригонометрические тождества между тригонометрическими функциями с использованием в основном геометрии прямоугольного треугольника . Для больших и отрицательных углов см. Тригонометрические функции .

Элементарные тригонометрические тождества [ править ]

Определения [ править ]

Тригонометрические функции определяют отношения между длинами сторон и внутренними углами прямоугольного треугольника. Например, синус угла θ определяется как длина противоположной стороны, деленная на длину гипотенузы.

Шесть тригонометрических функций определены для каждого действительного числа , за исключением некоторых из них для углов, которые отличаются от 0 на кратный прямой угол (90 °). Ссылаясь на диаграмму справа, шесть тригонометрических функций θ для углов, меньших прямого угла:

${\ displaystyle \ sin \ theta = {\ frac {\ mathrm {напротив}} {\ mathrm {hypotenuse}}} = {\ frac {a} {h}}}$

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {\mathrm {adjacent} }{\mathrm {hypotenuse} }}={\frac {b}{h}}}$

${\displaystyle \tan \theta ={\frac {\mathrm {opposite} }{\mathrm {adjacent} }}={\frac {a}{b}}}$

${\displaystyle \cot \theta ={\frac {\mathrm {adjacent} }{\mathrm {opposite} }}={\frac {b}{a}}}$

${\displaystyle \sec \theta ={\frac {\mathrm {hypotenuse} }{\mathrm {adjacent} }}={\frac {h}{b}}}$

${\displaystyle \csc \theta ={\frac {\mathrm {hypotenuse} }{\mathrm {opposite} }}={\frac {h}{a}}}$

Соотношение идентичностей [ править ]

В случае углов, меньших прямого угла, следующие тождества являются прямым следствием приведенных выше определений через тождество деления

${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {\left({\frac {a}{h}}\right)}{\left({\frac {b}{h}}\right)}}.}$

Они остаются действительными для углов больше 90 ° и для отрицательных углов.

${\displaystyle \tan \theta ={\frac {\mathrm {opposite} }{\mathrm {adjacent} }}={\frac {\left({\frac {\mathrm {opposite} }{\mathrm {hypotenuse} }}\right)}{\left({\frac {\mathrm {adjacent} }{\mathrm {hypotenuse} }}\right)}}={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}}$

${\displaystyle \cot \theta ={\frac {\mathrm {adjacent} }{\mathrm {opposite} }}={\frac {\left({\frac {\mathrm {adjacent} }{\mathrm {adjacent} }}\right)}{\left({\frac {\mathrm {opposite} }{\mathrm {adjacent} }}\right)}}={\frac {1}{\tan \theta }}={\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}}$

${\displaystyle \sec \theta ={\frac {1}{\cos \theta }}={\frac {\mathrm {hypotenuse} }{\mathrm {adjacent} }}}$

${\displaystyle \csc \theta ={\frac {1}{\sin \theta }}={\frac {\mathrm {hypotenuse} }{\mathrm {opposite} }}}$

${\displaystyle \tan \theta ={\frac {\mathrm {opposite} }{\mathrm {adjacent} }}={\frac {\left({\frac {\mathrm {opposite} \times \mathrm {hypotenuse} }{\mathrm {opposite} \times \mathrm {adjacent} }}\right)}{\left({\frac {\mathrm {adjacent} \times \mathrm {hypotenuse} }{\mathrm {opposite} \times \mathrm {adjacent} }}\right)}}={\frac {\left({\frac {\mathrm {hypotenuse} }{\mathrm {adjacent} }}\right)}{\left({\frac {\mathrm {hypotenuse} }{\mathrm {opposite} }}\right)}}={\frac {\sec \theta }{\csc \theta }}}$

Или же

${\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}={\frac {\left({\frac {1}{\csc \theta }}\right)}{\left({\frac {1}{\sec \theta }}\right)}}={\frac {\left({\frac {\csc \theta \sec \theta }{\csc \theta }}\right)}{\left({\frac {\csc \theta \sec \theta }{\sec \theta }}\right)}}={\frac {\sec \theta }{\csc \theta }}}$

${\displaystyle \cot \theta ={\frac {\csc \theta }{\sec \theta }}}$

Дополнительные угловые идентичности [ править ]

Два угла, сумма которых равна π / 2 радиан (90 градусов), являются дополнительными . На диаграмме углы в вершинах A и B дополняют друг друга, поэтому мы можем поменять местами a и b и заменить θ на π / 2 - θ, получив:

${\displaystyle \sin \left(\pi /2-\theta \right)=\cos \theta }$

${\displaystyle \cos \left(\pi /2-\theta \right)=\sin \theta }$

${\displaystyle \tan \left(\pi /2-\theta \right)=\cot \theta }$

${\displaystyle \cot \left(\pi /2-\theta \right)=\tan \theta }$

${\displaystyle \sec \left(\pi /2-\theta \right)=\csc \theta }$

${\displaystyle \csc \left(\pi /2-\theta \right)=\sec \theta }$

Пифагорейские тождества [ править ]

Личность 1:

${\displaystyle \sin ^{2}(x)+\cos ^{2}(x)=1}$

Следующие два результата следуют из этого и тождеств отношения. Чтобы получить первое, разделите обе части на ; для второго разделите на .${\displaystyle \sin ^{2}(x)+\cos ^{2}(x)=1}$${\displaystyle \cos ^{2}(x)}$${\displaystyle \sin ^{2}(x)}$

${\displaystyle \tan ^{2}(x)+1\ =\sec ^{2}(x)}$

${\displaystyle 1\ +\cot ^{2}(x)=\csc ^{2}(x)}$

по аналогии

${\displaystyle 1\ +\cot ^{2}(x)=\csc ^{2}(x)}$

${\displaystyle \csc ^{2}(x)-\cot ^{2}(x)=1}$

Идентичность 2:

Следующее описывает все три взаимные функции.

${\displaystyle \csc ^{2}(x)+\sec ^{2}(x)-\cot ^{2}(x)=2\ +\tan ^{2}(x)}$

Доказательство 2:

См. Треугольную диаграмму выше. Отметим, что по теореме Пифагора .${\displaystyle a^{2}+b^{2}=h^{2}}$

${\displaystyle \csc ^{2}(x)+\sec ^{2}(x)={\frac {h^{2}}{a^{2}}}+{\frac {h^{2}}{b^{2}}}={\frac {a^{2}+b^{2}}{a^{2}}}+{\frac {a^{2}+b^{2}}{b^{2}}}=2\ +{\frac {b^{2}}{a^{2}}}+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}}$

Подстановка соответствующими функциями -

${\displaystyle 2\ +{\frac {b^{2}}{a^{2}}}+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}=2\ +\tan ^{2}(x)+\cot ^{2}(x)}$

Перестановка дает:

${\displaystyle \csc ^{2}(x)+\sec ^{2}(x)-\cot ^{2}(x)=2\ +\tan ^{2}(x)}$

Идентификаторы суммы углов [ править ]

Синус [ править ]

Иллюстрация формулы суммы.

Проведите горизонтальную линию ( ось x ); отметьте начало O. Проведите линию из O под углом над горизонтальной линией и вторую линию под углом выше этого; угол между второй линией и осью x равен .${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \alpha +\beta }$

Поместите P на линию, обозначенную на расстоянии единицы от начала координат.${\displaystyle \alpha +\beta }$

Пусть PQ - прямая, перпендикулярная линии OQ, определяемая углом , проведенным от точки Q на этой прямой к точке P. OQP - прямой угол.${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \therefore }$

Пусть QA - перпендикуляр из точки A на оси x к Q, а PB - перпендикуляр из точки B на оси x к P. OAQ и OBP - прямые углы.${\displaystyle \therefore }$

Нарисуйте R на PB так, чтобы QR был параллелен оси x .

Теперь угол (потому что , делая , и наконец )${\displaystyle RPQ=\alpha }$${\displaystyle OQA={\frac {\pi }{2}}-\alpha }$${\displaystyle RQO=\alpha ,RQP={\frac {\pi }{2}}-\alpha }$${\displaystyle RPQ=\alpha }$

${\displaystyle RPQ={\tfrac {\pi }{2}}-RQP={\tfrac {\pi }{2}}-({\tfrac {\pi }{2}}-RQO)=RQO=\alpha }$

${\displaystyle OP=1}$

${\displaystyle PQ=\sin \beta }$

${\displaystyle OQ=\cos \beta }$

${\displaystyle {\frac {AQ}{OQ}}=\sin \alpha }$, так ${\displaystyle AQ=\sin \alpha \cos \beta }$

${\displaystyle {\frac {PR}{PQ}}=\cos \alpha }$, так ${\displaystyle PR=\cos \alpha \sin \beta }$

${\displaystyle \sin(\alpha +\beta )=PB=RB+PR=AQ+PR=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta }$

Подставляя для и используя Symmetry , мы также получаем:${\displaystyle -\beta }$${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle \sin(\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos(-\beta )+\cos \alpha \sin(-\beta )}$

${\displaystyle \sin(\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta }$

Другое строгое и намного более простое доказательство может быть дано с помощью формулы Эйлера , известной из комплексного анализа. Формула Эйлера:

${\displaystyle e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi }$

Отсюда следует, что для углов и мы имеем:${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle e^{i(\alpha +\beta )}=\cos(\alpha +\beta )+i\sin(\alpha +\beta )}$

Также используются следующие свойства экспоненциальных функций:

${\displaystyle e^{i(\alpha +\beta )}=e^{i\alpha }e^{i\beta }=(\cos \alpha +i\sin \alpha )(\cos \beta +i\sin \beta )}$

Оценка продукта:

${\displaystyle e^{i(\alpha +\beta )}=(\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta )+i(\sin \alpha \cos \beta +\sin \beta \cos \alpha )}$

Приравнивая действительную и мнимую части:

${\displaystyle \cos(\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta }$

${\displaystyle \sin(\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\sin \beta \cos \alpha }$

Косинус [ править ]

Используя рисунок выше,

${\displaystyle OP=1}$

${\displaystyle PQ=\sin \beta }$

${\displaystyle OQ=\cos \beta }$

${\displaystyle {\frac {OA}{OQ}}=\cos \alpha }$, так ${\displaystyle OA=\cos \alpha \cos \beta }$

${\displaystyle {\frac {RQ}{PQ}}=\sin \alpha }$, так ${\displaystyle RQ=\sin \alpha \sin \beta }$

${\displaystyle \cos(\alpha +\beta )=OB=OA-BA=OA-RQ=\cos \alpha \cos \beta \ -\sin \alpha \sin \beta }$

Подставляя для и используя Symmetry , мы также получаем:${\displaystyle -\beta }$${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle \cos(\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos(-\beta )-\sin \alpha \sin(-\beta ),}$

${\displaystyle \cos(\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta }$

Кроме того, используя формулы дополнительных углов,

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos(\alpha +\beta )&=\sin \left(\pi /2-(\alpha +\beta )\right)\\&=\sin \left((\pi /2-\alpha )-\beta \right)\\&=\sin \left(\pi /2-\alpha \right)\cos \beta -\cos \left(\pi /2-\alpha \right)\sin \beta \\&=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta \\\end{aligned}}}$

Тангенс и котангенс [ править ]

Из формул синуса и косинуса получаем

${\displaystyle \tan(\alpha +\beta )={\frac {\sin(\alpha +\beta )}{\cos(\alpha +\beta )}}={\frac {\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta }}}$

Разделив числитель и знаменатель на , получим${\displaystyle \cos \alpha \cos \beta }$

${\displaystyle \tan(\alpha +\beta )={\frac {\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }}}$

Вычитание из , использование ,${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \tan(-\beta )=-\tan \beta }$

${\displaystyle \tan(\alpha -\beta )={\frac {\tan \alpha +\tan(-\beta )}{1-\tan \alpha \tan(-\beta )}}={\frac {\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }}}$

Аналогично из формул синуса и косинуса получаем

${\displaystyle \cot(\alpha +\beta )={\frac {\cos(\alpha +\beta )}{\sin(\alpha +\beta )}}={\frac {\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta }{\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta }}}$

Затем, разделив числитель и знаменатель на , получим${\displaystyle \sin \alpha \sin \beta }$

${\displaystyle \cot(\alpha +\beta )={\frac {\cot \alpha \cot \beta -1}{\cot \alpha +\cot \beta }}}$

Или, используя ,${\displaystyle \cot \theta ={\frac {1}{\tan \theta }}}$

${\displaystyle \cot(\alpha +\beta )={\frac {1-\tan \alpha \tan \beta }{\tan \alpha +\tan \beta }}={\frac {{\frac {1}{\tan \alpha \tan \beta }}-1}{{\frac {1}{\tan \alpha }}+{\frac {1}{\tan \beta }}}}={\frac {\cot \alpha \cot \beta -1}{\cot \alpha +\cot \beta }}}$

Используя ,${\displaystyle \cot(-\beta )=-\cot \beta }$

${\displaystyle \cot(\alpha -\beta )={\frac {\cot \alpha \cot(-\beta )-1}{\cot \alpha +\cot(-\beta )}}={\frac {\cot \alpha \cot \beta +1}{\cot \beta -\cot \alpha }}}$

Двойные тождества [ править ]

Из тождеств суммы углов получаем

${\displaystyle \sin(2\theta )=2\sin \theta \cos \theta }$

и

${\displaystyle \cos(2\theta )=\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta }$

Пифагорейские тождества дают две альтернативные формы для последнего из них:

${\displaystyle \cos(2\theta )=2\cos ^{2}\theta -1}$

${\displaystyle \cos(2\theta )=1-2\sin ^{2}\theta }$

Тождества суммы углов также дают

${\displaystyle \tan(2\theta )={\frac {2\tan \theta }{1-\tan ^{2}\theta }}={\frac {2}{\cot \theta -\tan \theta }}}$

${\displaystyle \cot(2\theta )={\frac {\cot ^{2}\theta -1}{2\cot \theta }}={\frac {\cot \theta -\tan \theta }{2}}}$

Это также можно доказать с помощью формулы Эйлера

${\displaystyle e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi }$

Квадрат с обеих сторон дает

${\displaystyle e^{i2\varphi }=(\cos \varphi +i\sin \varphi )^{2}}$

Но замена угла его удвоенной версией, которая дает тот же результат в левой части уравнения, дает

${\displaystyle e^{i2\varphi }=\cos 2\varphi +i\sin 2\varphi }$

Следует, что

${\displaystyle (\cos \varphi +i\sin \varphi )^{2}=\cos 2\varphi +i\sin 2\varphi }$.

Расширение квадрата и упрощение левой части уравнения дает

${\displaystyle i(2\sin \varphi \cos \varphi )+\cos ^{2}\varphi -\sin ^{2}\varphi \ =\cos 2\varphi +i\sin 2\varphi }$.

Поскольку мнимая и реальная части должны быть одинаковыми, мы остаемся с исходными идентичностями.

${\displaystyle \cos ^{2}\varphi -\sin ^{2}\varphi \ =\cos 2\varphi }$,

а также

${\displaystyle 2\sin \varphi \cos \varphi =\sin 2\varphi }$.

Полугловые тождества [ править ]

Два тождества, дающие альтернативные формы для cos 2θ, приводят к следующим уравнениям:

${\displaystyle \cos {\frac {\theta }{2}}=\pm \,{\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{2}}},}$

${\displaystyle \sin {\frac {\theta }{2}}=\pm \,{\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{2}}}.}$

Знак квадратного корня необходимо выбрать правильно - обратите внимание, что если 2 π добавляется к θ, величины внутри квадратных корней не изменяются, но левые части уравнений меняют знак. Следовательно, правильный знак зависит от значения θ.

Для функции загара уравнение выглядит следующим образом:

${\displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}}=\pm \,{\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}}.}$

Затем умножение числителя и знаменателя внутри квадратного корня на (1 + cos θ) и использование тождеств Пифагора приводит к:

${\displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}}={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}.}$

Кроме того, если числитель и знаменатель умножить на (1 - cos θ), результат будет:

${\displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}}={\frac {1-\cos \theta }{\sin \theta }}.}$

Это также дает:

${\displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}}=\csc \theta -\cot \theta .}$

Подобные манипуляции с функцией раскладушки дают:

${\displaystyle \cot {\frac {\theta }{2}}=\pm \,{\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{1-\cos \theta }}}={\frac {1+\cos \theta }{\sin \theta }}={\frac {\sin \theta }{1-\cos \theta }}=\csc \theta +\cot \theta .}$

Разное - тождество тройного касательного [ править ]

Если полукруг (например, , и углы треугольника),${\displaystyle \psi +\theta +\phi =\pi =}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \tan(\psi )+\tan(\theta )+\tan(\phi )=\tan(\psi )\tan(\theta )\tan(\phi ).}$

Доказательство: ^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi &=\pi -\theta -\phi \\\tan(\psi )&=\tan(\pi -\theta -\phi )\\&=-\tan(\theta +\phi )\\&={\frac {-\tan \theta -\tan \phi }{1-\tan \theta \tan \phi }}\\&={\frac {\tan \theta +\tan \phi }{\tan \theta \tan \phi -1}}\\(\tan \theta \tan \phi -1)\tan \psi &=\tan \theta +\tan \phi \\\tan \psi \tan \theta \tan \phi -\tan \psi &=\tan \theta +\tan \phi \\\tan \psi \tan \theta \tan \phi &=\tan \psi +\tan \theta +\tan \phi \\\end{aligned}}}$

Разное - тождество тройного котангенса [ править ]

Если четверть круга,${\displaystyle \psi +\theta +\phi ={\tfrac {\pi }{2}}=}$

${\displaystyle \cot(\psi )+\cot(\theta )+\cot(\phi )=\cot(\psi )\cot(\theta )\cot(\phi )}$.

Доказательство:

Замените каждый из , и их дополнительными углами, чтобы котангенсы превратились в касательные и наоборот.${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \phi }$

Данный

${\displaystyle \psi +\theta +\phi ={\tfrac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle \therefore ({\tfrac {\pi }{2}}-\psi )+({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )+({\tfrac {\pi }{2}}-\phi )={\tfrac {3\pi }{2}}-(\psi +\theta +\phi )={\tfrac {3\pi }{2}}-{\tfrac {\pi }{2}}=\pi }$

поэтому результат следует из тождества тройного касания.

Сумма идентификаторов продуктов [ править ]

• ${\displaystyle \sin \theta \pm \sin \phi =2\sin \left({\frac {\theta \pm \phi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta \mp \phi }{2}}\right)}$
• ${\displaystyle \cos \theta +\cos \phi =2\cos \left({\frac {\theta +\phi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta -\phi }{2}}\right)}$
• ${\displaystyle \cos \theta -\cos \phi =-2\sin \left({\frac {\theta +\phi }{2}}\right)\sin \left({\frac {\theta -\phi }{2}}\right)}$

Подтверждение синусоидальности [ править ]

Во-первых, начнем с тождеств суммы углов:

${\displaystyle \sin(\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta }$

${\displaystyle \sin(\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta }$

Сложив их вместе,

${\displaystyle \sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta +\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta =2\sin \alpha \cos \beta }$

Точно так же, вычитая два тождества суммы углов,

${\displaystyle \sin(\alpha +\beta )-\sin(\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta -\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta =2\cos \alpha \sin \beta }$

Пусть и ,${\displaystyle \alpha +\beta =\theta }$${\displaystyle \alpha -\beta =\phi }$

${\displaystyle \therefore \alpha ={\frac {\theta +\phi }{2}}}$ и ${\displaystyle \beta ={\frac {\theta -\phi }{2}}}$

Заменить и${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \sin \theta +\sin \phi =2\sin \left({\frac {\theta +\phi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta -\phi }{2}}\right)}$

${\displaystyle \sin \theta -\sin \phi =2\cos \left({\frac {\theta +\phi }{2}}\right)\sin \left({\frac {\theta -\phi }{2}}\right)=2\sin \left({\frac {\theta -\phi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta +\phi }{2}}\right)}$

Следовательно,

${\displaystyle \sin \theta \pm \sin \phi =2\sin \left({\frac {\theta \pm \phi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta \mp \phi }{2}}\right)}$

Доказательство косинусных тождеств [ править ]

Аналогично для косинуса начните с тождеств суммы углов:

${\displaystyle \cos(\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta \ -\sin \alpha \sin \beta }$

${\displaystyle \cos(\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta }$

Опять же, добавляя и вычитая

${\displaystyle \cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta \ -\sin \alpha \sin \beta +\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta =2\cos \alpha \cos \beta }$

${\displaystyle \cos(\alpha +\beta )-\cos(\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta \ -\sin \alpha \sin \beta -\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta =-2\sin \alpha \sin \beta }$

Заменить и, как прежде,${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \cos \theta +\cos \phi =2\cos \left({\frac {\theta +\phi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta -\phi }{2}}\right)}$

${\displaystyle \cos \theta -\cos \phi =-2\sin \left({\frac {\theta +\phi }{2}}\right)\sin \left({\frac {\theta -\phi }{2}}\right)}$

Неравенства [ править ]

На рисунке справа показан сектор окружности радиуса 1. Сектор равен θ / (2 π ) всей окружности, поэтому его площадь равна θ / 2 . Здесь мы предполагаем, что θ < π / 2 .

${\displaystyle OA=OD=1}$

${\displaystyle AB=\sin \theta }$

${\displaystyle CD=\tan \theta }$

Площадь треугольника OAD равна AB / 2 или sin ( θ ) / 2 . Площадь треугольника OCD равна CD / 2 или tan ( θ ) / 2 .

Поскольку треугольник OAD полностью лежит внутри сектора, который, в свою очередь, полностью лежит внутри треугольника OCD , имеем

${\displaystyle \sin \theta <\theta <\tan \theta .}$

Этот геометрический аргумент основан на определениях длины и площади дуги , которые действуют как предположения, поэтому это скорее условие, налагаемое при построении тригонометрических функций, чем доказуемое свойство. ^[2] Для синусоидальной функции мы можем обрабатывать другие значения. Если θ > π / 2 , то θ > 1 . Но sin θ ≤ 1 (из-за тождества Пифагора), поэтому sin θ < θ . Итак, у нас есть

${\displaystyle {\frac {\sin \theta }{\theta }}<1\ \ \ \mathrm {if} \ \ \ 0<\theta .}$

Для отрицательных значений θ в силу симметрии синусоидальной функции

${\displaystyle {\frac {\sin \theta }{\theta }}={\frac {\sin(-\theta )}{-\theta }}<1.}$

Следовательно

${\displaystyle {\frac {\sin \theta }{\theta }}<1\quad {\text{if }}\quad \theta \neq 0,}$

и

${\displaystyle {\frac {\tan \theta }{\theta }}>1\quad {\text{if }}\quad 0<\theta <{\frac {\pi }{2}}.}$

Личности, связанные с исчислением [ править ]

Предварительные мероприятия [ править ]

${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\sin \theta }=0}$

${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\cos \theta }=1}$

Идентификация синуса и углового соотношения [ править ]

${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin \theta }{\theta }}=1}$

Другими словами, функция sine дифференцируема в 0, а ее производная равна 1.

Доказательство: из предыдущих неравенств для малых углов

${\displaystyle \sin \theta <\theta <\tan \theta }$,

Следовательно,

${\displaystyle {\frac {\sin \theta }{\theta }}<1<{\frac {\tan \theta }{\theta }}}$,

Рассмотрим правое неравенство. С

${\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}}$

${\displaystyle \therefore 1<{\frac {\sin \theta }{\theta \cos \theta }}}$

Умножить на ${\displaystyle \cos \theta }$

${\displaystyle \cos \theta <{\frac {\sin \theta }{\theta }}}$

В сочетании с левым неравенством:

${\displaystyle \cos \theta <{\frac {\sin \theta }{\theta }}<1}$

Принимая к пределу как${\displaystyle \cos \theta }$${\displaystyle \theta \to 0}$

${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\cos \theta }=1}$

Следовательно,

${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin \theta }{\theta }}=1}$

Идентификация косинуса и углового отношения [ править ]

${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {1-\cos \theta }{\theta }}=0}$

Доказательство:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1-\cos \theta }{\theta }}&={\frac {1-\cos ^{2}\theta }{\theta (1+\cos \theta )}}\\&={\frac {\sin ^{2}\theta }{\theta (1+\cos \theta )}}\\&=\left({\frac {\sin \theta }{\theta }}\right)\times \sin \theta \times \left({\frac {1}{1+\cos \theta }}\right)\\\end{aligned}}}$

Пределы этих трех величин равны 1, 0 и 1/2, поэтому конечный предел равен нулю.

Косинус и квадрат соотношения углов [ править ]

${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {1-\cos \theta }{\theta ^{2}}}={\frac {1}{2}}}$

Доказательство:

Как и в предыдущем доказательстве,

${\displaystyle {\frac {1-\cos \theta }{\theta ^{2}}}={\frac {\sin \theta }{\theta }}\times {\frac {\sin \theta }{\theta }}\times {\frac {1}{1+\cos \theta }}.}$

Пределы этих трех величин равны 1, 1 и 1/2, поэтому результирующий предел равен 1/2.

Доказательство композиции триггерных и обратных триггерных функций [ править ]

Все эти функции вытекают из тригонометрического тождества Пифагора. Мы можем доказать, например, функцию

${\displaystyle \sin[\arctan(x)]={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}}$

Доказательство:

Мы начинаем с

${\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1}$

Затем разделим это уравнение на ${\displaystyle \cos ^{2}\theta }$

${\displaystyle \cos ^{2}\theta ={\frac {1}{\tan ^{2}\theta +1}}}$

Затем используйте замену , также используйте тригонометрическую идентичность Пифагора:${\displaystyle \theta =\arctan(x)}$

${\displaystyle 1-\sin ^{2}[\arctan(x)]={\frac {1}{\tan ^{2}[\arctan(x)]+1}}}$

Затем мы используем тождество ${\displaystyle \tan[\arctan(x)]\equiv x}$

${\displaystyle \sin[\arctan(x)]={\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}}}$

См. Также [ править ]

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]