Обратные тригонометрические функции

Тригонометрия
Контур История использование Функции  ( обратные ) Обобщенная тригонометрия
Ссылка
Идентичности Точные константы Столы Единичный круг
Законы и теоремы
Синусы Косинусы Касательные Котангенсы теорема Пифагора
Исчисление
Тригонометрическая замена Интегралы  ( обратные функции ) Производные
v т е

В математике , что обратные тригонометрические функции (иногда называемый также Arcus функций , ^{[1] [2] [3] [4] [5]} antitrigonometric функции ^[6] или cyclometric функции ^{[7] [8] [9]} ) являются обратным функции этих тригонометрических функций (с соответствующим образом ограниченных областей ). В частности, они являются инверсиями синуса , косинуса , тангенса , котангенса , секанса и косеканса.функции, ^{[10] [11]} и используются для получения угла из любого из тригонометрических соотношений угла. Обратные тригонометрические функции широко используются в инженерии , навигации , физике и геометрии .

Обозначение [ править ]

Существует несколько обозначений обратных тригонометрических функций. Наиболее распространенным соглашением является наименование обратных тригонометрических функций с использованием префикса arc- : arcsin ( x ) , arccos ( x ) , arctan ( x ) и т. Д. ^{[10] [6]} (Это соглашение используется в этой статье). Обозначение возникает из следующих геометрических соотношений: ^{[ необходима цитата ]} при измерении в радианах угол θ радиан будет соответствовать дуге, длина которой равна rθ , где r - радиус окружности. Таким образом, в единичном круге, «дуга, косинус которой равен x » - это то же самое, что «угол, косинус которого равен x », потому что длина дуги окружности в радиусах такая же, как измерение угла в радианах. ^[12] В языках компьютерного программирования обратные тригонометрические функции часто называются сокращенными формами asin, acos, atan. ^[13]

Обозначения sin ⁻¹ ( x ) , cos ⁻¹ ( x ) , tan ⁻¹ ( x ) и т. Д., Введенные Джоном Гершелем в 1813 г. ^{[14] [15]} , также часто используются в англоязычных источниках. ^{[6] -} условности, согласующиеся с обозначением обратной функции . Может показаться, что это логически противоречит общей семантике таких выражений, как sin ² ( x )., которые относятся к числовой степени, а не к композиции функций, и поэтому могут привести к путанице между мультипликативным обратным или обратным и композиционным обратным . ^[16] Путаница несколько смягчается тем фактом, что каждая из взаимных тригонометрических функций имеет собственное имя, например (cos ( x )) ⁻¹ = sec ( x ) . Тем не менее некоторые авторы не рекомендуют использовать его из-за его двусмысленности. ^{[6] [17]} Еще одно соглашение, используемое некоторыми авторами, заключается в использовании первой буквы верхнего регистра вместе с надстрочным индексом ⁻¹ : Sin ⁻¹( x ) , Cos ⁻¹ ( x ) , Tan ⁻¹ ( x ) и т. д. ^[18] Это потенциально позволяет избежать путаницы с мультипликативным обратным, которое должно быть представлено как sin ⁻¹ ( x ) , cos ⁻¹ ( x ) , так далее.

С 2009 года стандарт ISO 80000-2 определяет только префикс «дуга» для обратных функций.

Основные понятия [ править ]

Основные ценности [ править ]

Поскольку ни одна из шести тригонометрических функций не взаимно однозначна , они должны быть ограничены, чтобы иметь обратные функции. Следовательно, диапазоны обратных функций являются собственными подмножествами областей определения исходных функций.

Например, используя функцию в смысле многозначных функций , точно так же, как функция квадратного корня y = √ x может быть определена из y ² = x , функция y = arcsin ( x ) определяется так, что sin ( y ) = x . Для данного действительного числа x с −1 ≤ x ≤ 1 существует несколько (фактически, счетно бесконечных) чисел y, таких что sin ( y ) = x ; Например,sin (0) = 0 , но также sin (π) = 0 , sin (2π) = 0 и т. д. Когда требуется только одно значение, функция может быть ограничена ее основной ветвью . С этим ограничением для каждого x в домене выражение arcsin ( x ) будет оценивать только одно значение, называемое его основным значением . Эти свойства применяются ко всем обратным тригонометрическим функциям.

Основные инверсии перечислены в следующей таблице.

(Примечание: некоторые авторы определяют диапазон арксеканса как (0 ≤ y <π/2или π ≤ y <3 π/2), поскольку касательная функция неотрицательна в этой области. Это делает некоторые вычисления более последовательными. Например, используя этот диапазон, tan (arcsec ( x )) = √ x ² - 1 , тогда как с диапазоном (0 ≤ y <π/2 или же π/2< y ≤ π ), нам пришлось бы записать tan (arcsec ( x )) = ± √ x ² - 1 , поскольку касательная неотрицательна на 0 ≤ y <π/2, но не положительный на π/2< у ≤ π . По той же причине те же авторы определяют диапазон арккосеканса как - π < y ≤ -π/2или 0 < y ≤π/2.)

Если разрешено x быть комплексным числом , то диапазон y применяется только к его действительной части.

Общие решения [ править ]

Каждая из тригонометрических функций периодична в действительной части своего аргумента, дважды перебирая все свои значения в каждом интервале 2 π :

• Синус и косеканс начинают свой период при 2 π k -π/2(где k - целое число), закончим на 2 π k +π/2, а затем обращаются по 2 π k +π/2до 2 π k +3 π/2.
• Косинус и секанс начинают свой период при 2 π k , заканчивают его на 2 π k + π , а затем меняют свое направление на 2 π k + π до 2 π k + 2 π .
• Касательная начинает свой период при 2 π k -π/2, завершает его на 2 π k +π/2, а затем повторяет его (вперед) на протяжении 2 π k +π/2до 2 π k +3 π/2.
• Котангенс начинает свой период с 2 π k , заканчивает его на 2 π k + π , а затем повторяет его (вперед) в течение 2 π k + π до 2 π k + 2 π .

Эта периодичность отражается в общих инверсиях, где k - некоторое целое число.

В следующей таблице показано, как обратные тригонометрические функции могут использоваться для решения равенств, включающих шесть стандартных тригонометрических функций, где предполагается, что r , s , x и y лежат в соответствующем диапазоне.

Символ ⇔ означает логическое равенство . Выражение «LHS ⇔ РИТ» указывает на то, что либо (а) с левой стороны (т.е. LHS) и правая (т.е. РИТ) являются одновременно истинным, либо (б) левая и правая сторона являются одновременно ложными; нет не вариант (с) (например , это не возможно утверждение LHS , чтобы быть правдой , а также одновременно для утверждения РИТ к ложным), потому что в противном случае «LHS ⇔ РИТ» не была бы написана (см это примечание ^{[примечание 1 ]} для примера, иллюстрирующего эту концепцию).

Равно идентичные тригонометрические функции [ править ]

В таблице ниже показано, как должны быть связаны два угла θ и φ , если их значения при заданной тригонометрической функции равны или отрицательны друг другу.

Связь между тригонометрическими функциями и обратными тригонометрическими функциями [ править ]

Тригонометрические функции обратных тригонометрических функций приведены в таблице ниже. Быстрый способ получить их - рассмотреть геометрию прямоугольного треугольника, одна сторона которого равна 1, а другая - длина x , а затем применить теорему Пифагора и определения тригонометрических соотношений. Чисто алгебраические выводы длиннее. ^{[ необходима цитата ]} Стоит отметить, что для arcsecant и arccosecant диаграмма предполагает, что x положительный, и, таким образом, результат должен быть исправлен с помощью использования абсолютных значений и операции signum (sgn).

${\displaystyle \theta }$	${\displaystyle \sin(\theta )}$	${\displaystyle \cos(\theta )}$	${\displaystyle \tan(\theta )}$	Диаграмма
${\displaystyle \arcsin(x)}$	${\displaystyle \sin(\arcsin(x))=x}$	${\displaystyle \cos(\arcsin(x))={\sqrt {1-x^{2}}}}$	${\displaystyle \tan(\arcsin(x))={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$
${\displaystyle \arccos(x)}$	${\displaystyle \sin(\arccos(x))={\sqrt {1-x^{2}}}}$	${\displaystyle \cos(\arccos(x))=x}$	${\displaystyle \tan(\arccos(x))={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}}$
${\displaystyle \arctan(x)}$	${\displaystyle \sin(\arctan(x))={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}}$	${\displaystyle \cos(\arctan(x))={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}}$	${\displaystyle \tan(\arctan(x))=x}$
${\displaystyle \operatorname {arccot}(x)}$	${\displaystyle \sin(\operatorname {arccot}(x))={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}}$	${\displaystyle \cos(\operatorname {arccot}(x))={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}}$	${\displaystyle \tan(\operatorname {arccot}(x))={\frac {1}{x}}}$
${\displaystyle \operatorname {arcsec}(x)}$	${\displaystyle \sin(\operatorname {arcsec}(x))={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{|x|}}}$	${\displaystyle \cos(\operatorname {arcsec}(x))={\frac {1}{x}}}$	${\displaystyle \tan(\operatorname {arcsec}(x))=\operatorname {sgn}(x){\sqrt {x^{2}-1}}}$
${\displaystyle \operatorname {arccsc}(x)}$	${\displaystyle \sin(\operatorname {arccsc}(x))={\frac {1}{x}}}$	${\displaystyle \cos(\operatorname {arccsc}(x))={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{|x|}}}$	${\displaystyle \tan(\operatorname {arccsc}(x))={\frac {\operatorname {sgn}(x)}{\sqrt {x^{2}-1}}}}$

Отношения между обратными тригонометрическими функциями [ править ]

Дополнительные углы:

${\displaystyle {\begin{aligned}\arccos(x)&={\frac {\pi }{2}}-\arcsin(x)\\[0.5em]\operatorname {arccot}(x)&={\frac {\pi }{2}}-\arctan(x)\\[0.5em]\operatorname {arccsc}(x)&={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arcsec}(x)\end{aligned}}}$

Отрицательные аргументы:

${\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(-x)&=-\arcsin(x)\\\arccos(-x)&=\pi -\arccos(x)\\\arctan(-x)&=-\arctan(x)\\\operatorname {arccot}(-x)&=\pi -\operatorname {arccot}(x)\\\operatorname {arcsec}(-x)&=\pi -\operatorname {arcsec}(x)\\\operatorname {arccsc}(-x)&=-\operatorname {arccsc}(x)\end{aligned}}}$

Взаимные аргументы:

${\displaystyle {\begin{aligned}\arccos \left({\frac {1}{x}}\right)&=\operatorname {arcsec}(x)\\[0.3em]\arcsin \left({\frac {1}{x}}\right)&=\operatorname {arccsc}(x)\\[0.3em]\arctan \left({\frac {1}{x}}\right)&={\frac {\pi }{2}}-\arctan(x)=\operatorname {arccot}(x)\,,{\text{ if }}x>0\\[0.3em]\arctan \left({\frac {1}{x}}\right)&=-{\frac {\pi }{2}}-\arctan(x)=\operatorname {arccot}(x)-\pi \,,{\text{ if }}x<0\\[0.3em]\operatorname {arccot} \left({\frac {1}{x}}\right)&={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arccot}(x)=\arctan(x)\,,{\text{ if }}x>0\\[0.3em]\operatorname {arccot} \left({\frac {1}{x}}\right)&={\frac {3\pi }{2}}-\operatorname {arccot}(x)=\pi +\arctan(x)\,,{\text{ if }}x<0\\[0.3em]\operatorname {arcsec} \left({\frac {1}{x}}\right)&=\arccos(x)\\[0.3em]\operatorname {arccsc} \left({\frac {1}{x}}\right)&=\arcsin(x)\end{aligned}}}$

Полезные идентификаторы, если у вас есть только фрагмент таблицы синусов:

${\displaystyle {\begin{aligned}\arccos(x)&=\arcsin \left({\sqrt {1-x^{2}}}\right)\,,{\text{ if }}0\leq x\leq 1{\text{ , from which you get }}\\\arccos &\left({\frac {1-x^{2}}{1+x^{2}}}\right)=\arcsin \left({\frac {2x}{1+x^{2}}}\right)\,,{\text{ if }}0\leq x\leq 1\\\arcsin &\left({\sqrt {1-x^{2}}}\right)={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {sgn}(x)\arcsin(x)\\\arccos(x)&={\frac {1}{2}}\arccos \left(2x^{2}-1\right)\,,{\text{ if }}0\leq x\leq 1\\\arcsin(x)&={\frac {1}{2}}\arccos \left(1-2x^{2}\right)\,,{\text{ if }}0\leq x\leq 1\\\arcsin(x)&=\arctan \left({\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\right)\\\arctan(x)&=\arcsin \left({\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\right)\\\operatorname {arccot}(x)&=\arccos \left({\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\right)\end{aligned}}}$

Всякий раз, когда здесь используется квадратный корень из комплексного числа, мы выбираем корень с положительной действительной частью (или положительной мнимой частью, если квадрат был отрицательным действительным).

Полезная форма, которая следует непосредственно из приведенной выше таблицы:

${\displaystyle \arctan \left(x\right)=\arccos \left({\sqrt {\frac {1}{1+x^{2}}}}\right)\,,{\text{ if }}x\geq 0}$.

Это достигается осознанием этого .${\displaystyle \cos \left(\arctan \left(x\right)\right)={\sqrt {\frac {1}{1+x^{2}}}}=\cos \left(\arccos \left({\sqrt {\frac {1}{1+x^{2}}}}\right)\right)}$

Из половины угла формулы , получим:${\displaystyle \tan \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)={\tfrac {\sin(\theta )}{1+\cos(\theta )}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(x)&=2\arctan \left({\frac {x}{1+{\sqrt {1-x^{2}}}}}\right)\\[0.5em]\arccos(x)&=2\arctan \left({\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{1+x}}\right)\,,{\text{ if }}-1<x\leq 1\\[0.5em]\arctan(x)&=2\arctan \left({\frac {x}{1+{\sqrt {1+x^{2}}}}}\right)\end{aligned}}}$

Формула сложения арктангенса [ править ]

${\displaystyle \arctan(u)\pm \arctan(v)=\arctan \left({\frac {u\pm v}{1\mp uv}}\right){\pmod {\pi }}\,,\quad uv\neq 1\,.}$

Это выводится из формулы сложения касательной

${\displaystyle \tan(\alpha \pm \beta )={\frac {\tan(\alpha )\pm \tan(\beta )}{1\mp \tan(\alpha )\tan(\beta )}}\,,}$

позволяя

${\displaystyle \alpha =\arctan(u)\,,\quad \beta =\arctan(v)\,.}$

В исчислении [ править ]

Производные обратных тригонометрических функций [ править ]

Основная статья: Дифференциация тригонометрических функций

Эти производные для комплексных значений г следующим образом :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dz}}\arcsin(z)&{}={\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\;;&z&{}\neq -1,+1\\{\frac {d}{dz}}\arccos(z)&{}=-{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\;;&z&{}\neq -1,+1\\{\frac {d}{dz}}\arctan(z)&{}={\frac {1}{1+z^{2}}}\;;&z&{}\neq -i,+i\\{\frac {d}{dz}}\operatorname {arccot}(z)&{}=-{\frac {1}{1+z^{2}}}\;;&z&{}\neq -i,+i\\{\frac {d}{dz}}\operatorname {arcsec}(z)&{}={\frac {1}{z^{2}{\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}}}\;;&z&{}\neq -1,0,+1\\{\frac {d}{dz}}\operatorname {arccsc}(z)&{}=-{\frac {1}{z^{2}{\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}}}\;;&z&{}\neq -1,0,+1\end{aligned}}}$

Только для реальных значений x :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsec}(x)&{}={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}\;;&|x|>1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arccsc}(x)&{}=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}\;;&|x|>1\end{aligned}}}$

Для примера вывода: если , мы получаем:${\displaystyle \theta =\arcsin(x)}$

${\displaystyle {\frac {d\arcsin(x)}{dx}}={\frac {d\theta }{d\sin(\theta )}}={\frac {d\theta }{\cos(\theta )\,d\theta }}={\frac {1}{\cos(\theta )}}={\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}(\theta )}}}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$

Выражение в виде определенных интегралов [ править ]

Интегрирование производной и фиксация значения в одной точке дает выражение для обратной тригонометрической функции в виде определенного интеграла:

${\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(x)&{}=\int _{0}^{x}{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,dz\;,&|x|&{}\leq 1\\\arccos(x)&{}=\int _{x}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,dz\;,&|x|&{}\leq 1\\\arctan(x)&{}=\int _{0}^{x}{\frac {1}{z^{2}+1}}\,dz\;,\\\operatorname {arccot}(x)&{}=\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{z^{2}+1}}\,dz\;,\\\operatorname {arcsec}(x)&{}=\int _{1}^{x}{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,dz=\pi +\int _{x}^{-1}{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,dz\;,&x&{}\geq 1\\\operatorname {arccsc}(x)&{}=\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,dz=\int _{-\infty }^{x}{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,dz\;,&x&{}\geq 1\\\end{aligned}}}$

Когда x равно 1, интегралы с ограниченной областью определения являются несобственными интегралами , но все же хорошо определены.

Бесконечная серия [ править ]

Подобно функциям синуса и косинуса, обратные тригонометрические функции также могут быть вычислены с использованием степенных рядов следующим образом. Для арксинуса ряд может быть получен путем расширения его производной, как биномиального ряда , и интегрирования по члену (используя определение интеграла, как указано выше). Ряд для арктангенса может быть получен аналогичным образом путем расширения его производной в геометрический ряд и применения интегрального определения выше (см. Ряд Лейбница ).${\textstyle {\tfrac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}}$${\textstyle {\frac {1}{1+z^{2}}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(z)&=z+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{7}}{7}}+\cdots \\[5pt]&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}{\frac {z^{2n+1}}{2n+1}}\\[5pt]&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{(2^{n}n!)^{2}}}{\frac {z^{2n+1}}{2n+1}}\,;\qquad |z|\leq 1\end{aligned}}}$

${\displaystyle \arctan(z)=z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{2n+1}}\,;\qquad |z|\leq 1\qquad z\neq i,-i}$

Ряды для других обратных тригонометрических функций могут быть даны через них в соответствии с приведенными выше соотношениями. Так , например, , и так далее. Другая серия дана: ^[19]${\displaystyle \arccos(x)=\pi /2-\arcsin(x)}$${\displaystyle \operatorname {arccsc}(x)=\arcsin(1/x)}$

${\displaystyle 2\left(\arcsin \left({\frac {x}{2}}\right)\right)^{2}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{n^{2}{\binom {2n}{n}}}}.}$

Леонард Эйлер нашел ряд для арктангенса, который сходится быстрее, чем ряд Тейлора :

${\displaystyle \arctan(z)={\frac {z}{1+z^{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }\prod _{k=1}^{n}{\frac {2kz^{2}}{(2k+1)(1+z^{2})}}.}$^[20]

(Член суммы для n = 0 является пустым произведением , равно как и 1.)

В качестве альтернативы это можно выразить как

${\displaystyle \arctan(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{2n}(n!)^{2}}{(2n+1)!}}{\frac {z^{2n+1}}{(1+z^{2})^{n+1}}}.}$

Другой ряд для функции арктангенса дается выражением

${\displaystyle \arctan(z)=i\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2n-1}}\left({\frac {1}{(1+2i/z)^{2n-1}}}-{\frac {1}{(1-2i/z)^{2n-1}}}\right),}$

где - мнимая единица . ^[21]${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$

Непрерывные дроби для арктангенса [ править ]

Две альтернативы степенному ряду для арктангенса - эти обобщенные непрерывные дроби :

${\displaystyle \arctan(z)={\frac {z}{1+{\cfrac {(1z)^{2}}{3-1z^{2}+{\cfrac {(3z)^{2}}{5-3z^{2}+{\cfrac {(5z)^{2}}{7-5z^{2}+{\cfrac {(7z)^{2}}{9-7z^{2}+\ddots }}}}}}}}}}={\frac {z}{1+{\cfrac {(1z)^{2}}{3+{\cfrac {(2z)^{2}}{5+{\cfrac {(3z)^{2}}{7+{\cfrac {(4z)^{2}}{9+\ddots }}}}}}}}}}}$

Второй из них справедлив в комплексной плоскости разреза. Есть два разреза: от - i до бесконечно удаленной точки, идущей вниз по мнимой оси, и от i до бесконечно удаленной точки, идущей вверх по той же оси. Он лучше всего работает для действительных чисел от -1 до 1. Частичные знаменатели - это нечетные натуральные числа, а частичные числители (после первого) равны просто ( nz ) ² , причем каждый полный квадрат встречается один раз. Первый был разработан Леонардом Эйлером ; второй - Карл Фридрих Гаусс, использующий гауссовский гипергеометрический ряд .

Неопределенные интегралы обратных тригонометрических функций [ править ]

Для действительных и комплексных значений z :

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \arcsin(z)\,dz&{}=z\,\arcsin(z)+{\sqrt {1-z^{2}}}+C\\\int \arccos(z)\,dz&{}=z\,\arccos(z)-{\sqrt {1-z^{2}}}+C\\\int \arctan(z)\,dz&{}=z\,\arctan(z)-{\frac {1}{2}}\ln \left(1+z^{2}\right)+C\\\int \operatorname {arccot}(z)\,dz&{}=z\,\operatorname {arccot}(z)+{\frac {1}{2}}\ln \left(1+z^{2}\right)+C\\\int \operatorname {arcsec}(z)\,dz&{}=z\,\operatorname {arcsec}(z)-\ln \left[z\left(1+{\sqrt {\frac {z^{2}-1}{z^{2}}}}\right)\right]+C\\\int \operatorname {arccsc}(z)\,dz&{}=z\,\operatorname {arccsc}(z)+\ln \left[z\left(1+{\sqrt {\frac {z^{2}-1}{z^{2}}}}\right)\right]+C\end{aligned}}}$

Для действительного x ≥ 1:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \operatorname {arcsec}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec}(x)-\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C\\\int \operatorname {arccsc}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arccsc}(x)+\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C\end{aligned}}}$

Для всех реальных x не между -1 и 1:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \operatorname {arcsec}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec}(x)-\operatorname {sgn}(x)\ln \left(\left|x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right|\right)+C\\\int \operatorname {arccsc}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arccsc}(x)+\operatorname {sgn}(x)\ln \left(\left|x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right|\right)+C\end{aligned}}}$

Абсолютное значение необходимо для компенсации как отрицательных, так и положительных значений функций дуги дуги и дуги. Знаковая функция также необходима из-за абсолютных значений производных двух функций, которые создают два разных решения для положительных и отрицательных значений x. Их можно дополнительно упростить, используя логарифмические определения обратных гиперболических функций :

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \operatorname {arcsec}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec}(x)-\operatorname {arcosh} (|x|)+C\\\int \operatorname {arccsc}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arccsc}(x)+\operatorname {arcosh} (|x|)+C\\\end{aligned}}}$

Абсолютное значение в аргументе функции arcosh создает отрицательную половину ее графика, что делает его идентичным логарифмической функции signum, показанной выше.

Все эти первообразные могут быть получены с использованием интегрирования по частям и простых производных форм, показанных выше.

Пример [ править ]

Используя (т.е. интегрирование по частям ), установите${\displaystyle \int u\,dv=uv-\int v\,du}$

${\displaystyle {\begin{aligned}u&=\arcsin(x)&dv&=dx\\du&={\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}&v&=x\end{aligned}}}$

Затем

${\displaystyle \int \arcsin(x)\,dx=x\arcsin(x)-\int {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,dx,}$

что простой заменой дает окончательный результат:${\displaystyle w=1-x^{2},\ dw=-2x\,dx}$

${\displaystyle \int \arcsin(x)\,dx=x\arcsin(x)+{\sqrt {1-x^{2}}}+C}$

Расширение до комплексной плоскости [ править ]

Поскольку обратные тригонометрические функции являются аналитическими функциями , их можно продолжить с вещественной прямой на комплексную плоскость. Это приводит к функциям с несколькими листами и точками ветвления . Один из возможных способов определения расширения:

${\displaystyle \arctan(z)=\int _{0}^{z}{\frac {dx}{1+x^{2}}}\quad z\neq -i,+i}$

где часть мнимой оси, которая не лежит строго между точками ветвления (−i и + i), является отрезком ветви между основным листом и другими листами. Путь интеграла не должен пересекать срез ответвления. Для z не на разрезе ответвления таким путем является прямой путь от 0 до z . Для z на разрезе ветви путь должен приближаться от Re [x]> 0 для верхнего разреза ветви и от Re [x] <0 для разреза нижней ветви.

Тогда функция арксинуса может быть определена как:

${\displaystyle \arcsin(z)=\arctan \left({\frac {z}{\sqrt {1-z^{2}}}}\right)\quad z\neq -1,+1}$

где (функция квадратного корня вырезана по отрицательной действительной оси и) часть действительной оси, которая не лежит строго между -1 и +1, является ветвью, разрезанной между основным листом arcsin и другими листами;

${\displaystyle \arccos(z)={\frac {\pi }{2}}-\arcsin(z)\quad z\neq -1,+1}$

который имеет тот же разрез, что и arcsin;

${\displaystyle \operatorname {arccot}(z)={\frac {\pi }{2}}-\arctan(z)\quad z\neq -i,i}$

имеющий ту же огранку, что и арктан;

${\displaystyle \operatorname {arcsec}(z)=\arccos \left({\frac {1}{z}}\right)\quad z\neq -1,0,+1}$

где часть действительной оси между -1 и +1 включительно является разрезом между основным листом arcsec и другими листами;

${\displaystyle \operatorname {arccsc}(z)=\arcsin \left({\frac {1}{z}}\right)\quad z\neq -1,0,+1}$

который имеет тот же разрез, что и arcsec .

Логарифмические формы [ править ]

Эти функции также могут быть выражены с помощью сложных логарифмов . Это естественным образом расширяет их области до комплексной плоскости . Следующие тождества для главных значений функций выполняются везде, где они определены, даже на их сечениях ветвей.

${\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin(z)&{}=-i\ln \left({\sqrt {1-z^{2}}}+iz\right)=i\ln \left({\sqrt {1-z^{2}}}-iz\right)&{}=\operatorname {arccsc} \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\arccos(z)&{}=-i\ln \left(i{\sqrt {1-z^{2}}}+z\right)={\frac {\pi }{2}}-\arcsin(z)&{}=\operatorname {arcsec} \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\arctan(z)&{}=-{\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {i-z}{i+z}}\right)=-{\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {1+iz}{1-iz}}\right)&{}=\operatorname {arccot} \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\operatorname {arccot}(z)&{}=-{\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {z+i}{z-i}}\right)=-{\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {iz-1}{iz+1}}\right)&{}=\arctan \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\operatorname {arcsec}(z)&{}=-i\ln \left(i{\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}+{\frac {1}{z}}\right)={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arccsc}(z)&{}=\arccos \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\operatorname {arccsc}(z)&{}=-i\ln \left({\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}+{\frac {i}{z}}\right)=i\ln \left({\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}-{\frac {i}{z}}\right)&{}=\arcsin \left({\frac {1}{z}}\right)\end{aligned}}}$

Обобщение [ править ]

Поскольку все обратные тригонометрические функции выводят угол прямоугольного треугольника, их можно обобщить, используя формулу Эйлера, чтобы сформировать прямоугольный треугольник в комплексной плоскости. Алгебраически это дает нам:

${\displaystyle ce^{\theta i}=c\cos(\theta )+ci\sin(\theta )}$

или же

${\displaystyle ce^{\theta i}=a+bi}$

где - прилегающая сторона, - противоположная сторона, - гипотенуза. Отсюда мы можем решить проблему .${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{\ln(c)+\theta i}&=a+bi\\\ln c+\theta i&=\ln(a+bi)\\\theta &=\operatorname {Im} \left(\ln(a+bi)\right)\end{aligned}}}$

или же

${\displaystyle \theta =-i\ln \left({\frac {a+bi}{c}}\right)=i\ln \left({\frac {c}{a+bi}}\right)}$

Простое взятие мнимой части работает для любого действительного значения и , но если или является комплексным, мы должны использовать окончательное уравнение, чтобы не исключить действительную часть результата. Поскольку длина гипотенузы не меняет угол, игнорирование действительной части также исключает из уравнения. В окончательном уравнении мы видим, что угол треугольника в комплексной плоскости можно найти, введя длины каждой стороны. Установив одну из трех сторон равной 1, а одну из оставшихся сторон равной нашему входу${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \ln(a+bi)}$${\displaystyle c}$${\displaystyle z}$, мы получаем формулу для одной из обратных триггерных функций, всего для шести уравнений. Поскольку обратные триггерные функции требуют только одного входа, мы должны поместить конечную сторону треугольника в терминах двух других, используя соотношение теоремы Пифагора

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$

В таблице ниже показаны значения a, b и c для каждой из обратных триггерных функций и эквивалентные выражения для них , полученные в результате вставки значений в приведенные выше уравнения и упрощения.${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle {\begin{aligned}&a&&b&&c&&\theta &&\theta _{\text{simplified}}&&\theta _{a,b\in \mathbb {R} }\\\arcsin(z)\ \ &{\sqrt {1-z^{2}}}&&z&&1&&-i\ln \left({\frac {{\sqrt {1-z^{2}}}+zi}{1}}\right)&&=-i\ln \left({\sqrt {1-z^{2}}}+zi\right)&&\operatorname {Im} \left(\ln \left({\sqrt {1-z^{2}}}+zi\right)\right)\\\arccos(z)\ \ &z&&{\sqrt {1-z^{2}}}&&1&&-i\ln \left({\frac {z+i{\sqrt {1-z^{2}}}}{1}}\right)&&=-i\ln \left(z+{\sqrt {z^{2}-1}}\right)&&\operatorname {Im} \left(\ln \left(z+{\sqrt {z^{2}-1}}\right)\right)\\\arctan(z)\ \ &1&&z&&{\sqrt {1+z^{2}}}&&i\ln \left({\frac {\sqrt {1+z^{2}}}{1+zi}}\right)&&={\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {i+z}{i-z}}\right)&&\operatorname {Im} \left(\ln \left(1+zi\right)\right)\\\operatorname {arccot}(z)\ \ &z&&1&&{\sqrt {z^{2}+1}}&&i\ln \left({\frac {\sqrt {z^{2}+1}}{z+i}}\right)&&={\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {z-i}{z+i}}\right)&&\operatorname {Im} \left(\ln \left(z+i\right)\right)\\\operatorname {arcsec}(z)\ \ &1&&{\sqrt {z^{2}-1}}&&z&&-i\ln \left({\frac {1+i{\sqrt {z^{2}-1}}}{z}}\right)&&=-i\ln \left({\frac {1}{z}}+{\sqrt {{\frac {1}{z^{2}}}-1}}\right)&&\operatorname {Im} \left(\ln \left(1+{\sqrt {1-z^{2}}}\right)\right)\\\operatorname {arccsc}(z)\ \ &{\sqrt {z^{2}-1}}&&1&&z&&-i\ln \left({\frac {{\sqrt {z^{2}-1}}+i}{z}}\right)&&=-i\ln \left({\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}+{\frac {i}{z}}\right)&&\operatorname {Im} \left(\ln \left({\sqrt {z^{2}-1}}+i\right)\right)\\\end{aligned}}}$

В этом смысле все обратные триггерные функции можно рассматривать как частные случаи комплекснозначной лог-функции. Поскольку это определение работает для любых комплексных значений , это определение позволяет использовать гиперболические углы в качестве выходных данных и может использоваться для дальнейшего определения обратных гиперболических функций . Элементарные доказательства соотношений можно также продолжить через разложение до экспоненциальной формы тригонометрических функций.${\displaystyle z}$

Пример доказательства [ править ]

${\displaystyle \sin(\phi )=z}$

${\displaystyle \phi =\arcsin(z)}$

Используя экспоненциальное определение синуса , получаем

${\displaystyle z={\frac {e^{\phi i}-e^{-\phi i}}{2i}}}$

Позволять

${\displaystyle \xi =e^{\phi i}}$

Решение для ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle z={\frac {\xi -{\frac {1}{\xi }}}{2i}}}$

${\displaystyle 2iz={\xi -{\frac {1}{\xi }}}}$

${\displaystyle {\xi -2iz-{\frac {1}{\xi }}}=0}$

${\displaystyle \xi ^{2}-2i\xi z-1\,=\,0}$

${\displaystyle \xi =iz\pm {\sqrt {1-z^{2}}}=e^{\phi i}}$

${\displaystyle \phi i=\ln \left(iz\pm {\sqrt {1-z^{2}}}\right)}$

${\displaystyle \phi =-i\ln \left(iz\pm {\sqrt {1-z^{2}}}\right)}$

(выбрана положительная ветвь)

${\displaystyle \phi =\arcsin(z)=-i\ln \left(iz+{\sqrt {1-z^{2}}}\right)}$

Цветовое колесо графика из обратных тригонометрических функций в комплексной плоскости

${\displaystyle \arcsin(z)}$	${\displaystyle \arccos(z)}$	${\displaystyle \arctan(z)}$	${\displaystyle \operatorname {arccot}(z)}$	${\displaystyle \operatorname {arcsec}(z)}$	${\displaystyle \operatorname {arccsc}(z)}$

Приложения [ править ]

Применение: определение угла прямоугольного треугольника [ править ]

Обратные тригонометрические функции полезны при попытке определить оставшиеся два угла прямоугольного треугольника, когда длины сторон треугольника известны. Вспоминая определения синуса и косинуса в виде прямоугольного треугольника, следует, что

${\displaystyle \theta =\arcsin \left({\frac {\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}}\right)=\arccos \left({\frac {\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}}\right).}$

Часто гипотенуза неизвестна, и ее необходимо вычислить перед использованием арксинуса или арккосинуса с использованием теоремы Пифагора : где - длина гипотенузы. В этой ситуации может пригодиться арктангенс, поскольку длина гипотенузы не нужна.${\displaystyle a^{2}+b^{2}=h^{2}}$${\displaystyle h}$

${\displaystyle \theta =\arctan \left({\frac {\text{opposite}}{\text{adjacent}}}\right)\,.}$

Например, предположим, что крыша опускается на 8 футов, когда заканчивается на 20 футов. Крыша составляет угол θ с горизонтом, где θ можно вычислить следующим образом:

${\displaystyle \theta =\arctan \left({\frac {\text{opposite}}{\text{adjacent}}}\right)=\arctan \left({\frac {\text{rise}}{\text{run}}}\right)=\arctan \left({\frac {8}{20}}\right)\approx 21.8^{\circ }\,.}$

В информатике и инженерии [ править ]

Вариант арктангенса с двумя аргументами [ править ]

Функция atan2 с двумя аргументами вычисляет арктангенс y / x с учетом y и x , но с диапазоном (- π ,  π ]. Другими словами, atan2 ( y ,  x ) - это угол между положительной осью x плоскость и точка ( x ,  y ) на ней, с положительным знаком для углов против часовой стрелки (верхняя полуплоскость, y  > 0) и отрицательным знаком для углов по часовой стрелке (нижняя полуплоскость, y <0). Впервые он был представлен на многих языках программирования, но теперь он также широко используется в других областях науки и техники.

С точки зрения стандартной функции arctan , то есть с диапазоном (-π/2, π/2), его можно выразить следующим образом:

${\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)={\begin{cases}\arctan({\frac {y}{x}})&\quad x>0\\\arctan({\frac {y}{x}})+\pi &\quad y\geq 0\;,\;x<0\\\arctan({\frac {y}{x}})-\pi &\quad y<0\;,\;x<0\\{\frac {\pi }{2}}&\quad y>0\;,\;x=0\\-{\frac {\pi }{2}}&\quad y<0\;,\;x=0\\{\text{undefined}}&\quad y=0\;,\;x=0\end{cases}}}$

Оно также равно главное значение этого аргумента в комплексное число х  +  я у .

Эта функция также может быть определена с использованием формул касательного полуугла следующим образом:

${\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)=2\arctan \left({\frac {y}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+x}}\right)}$

при условии, что либо x  > 0, либо y  ≠ 0. Однако это не удается, если задано x ≤ 0 и y = 0, поэтому выражение непригодно для вычислительного использования.

Приведенный выше порядок аргументов ( y , x ) кажется наиболее распространенным и, в частности, используется в стандартах ISO, таких как язык программирования C , но некоторые авторы могут использовать противоположное соглашение ( x , y ), поэтому следует соблюдать осторожность. . Эти варианты подробно описаны на atan2 .

Функция арктангенса с параметром местоположения [ править ]

Во многих приложениях ^[22] решение уравнения должно максимально приблизиться к заданному значению . Адекватное решение получается с помощью функции арктангенса с измененным параметром ${\displaystyle y}$${\displaystyle x=\tan(y)}$${\displaystyle -\infty <\eta <\infty }$

${\displaystyle y=\arctan _{\eta }(x):=\arctan(x)+\pi \cdot \operatorname {rni} \left({\frac {\eta -\arctan(x)}{\pi }}\right)\,.}$

Функция округляется до ближайшего целого числа.${\displaystyle \operatorname {rni} }$

Числовая точность [ править ]

Для углов, близких к 0 и π , арккосинус плохо обусловлен и, таким образом, будет вычислять угол с пониженной точностью в компьютерной реализации (из-за ограниченного количества цифр). ^[23] Аналогично, арксинус неточен для углов, близких к - π / 2 и π / 2.

См. Также [ править ]

• Обратный эксеканс
• Обратный версин
• Обратные гиперболические функции
• Список интегралов обратных тригонометрических функций
• Список тригонометрических тождеств
• Тригонометрическая функция
• Тригонометрические функции матриц

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]