В математике , то тригонометрические функции (также называемые круговые функции , угловые функции или гониометрическую функцию [1] [2] ) являются действительными функциями , которые относятся угол с прямоугольным треугольником с соотношением длинами два боковых. Они широко используются во всех науках, связанных с геометрией , таких как навигация , механика твердого тела , небесная механика , геодезия и многие другие. Они относятся к простейшим периодическим функциям, и как таковые также широко используются для изучения периодических явлений с помощью анализа Фурье .
Тригонометрические функции, наиболее широко используемые в современной математике, - это синус , косинус и тангенс . Их обратные величины - соответственно косеканс , секанс и котангенс , которые используются реже. Каждая из этих шести тригонометрических функций имеет соответствующую обратную функцию (называемую обратной тригонометрической функцией ), а также эквивалент в гиперболических функциях . [3]
Самые старые определения тригонометрических функций, относящиеся к прямоугольным треугольникам, определяют их только для острых углов . Чтобы распространить эти определения на функции, область определения которых представляет собой всю проективно расширенную действительную линию , часто используются геометрические определения с использованием стандартной единичной окружности (т. Е. Окружности с радиусом 1 единица). Современные определения выражают тригонометрические функции как бесконечный ряд или как решения дифференциальных уравнений . Это позволяет расширить область синусоидальных и косинусных функций на всю комплексную плоскость , а область других тригонометрических функций - на комплексную плоскость (из которой удалены некоторые изолированные точки).
Определения прямоугольного треугольника
В этом разделе одна и та же заглавная буква обозначает вершину треугольника и меру соответствующего угла; та же строчная буква обозначает край треугольника и его длину.
Учитывая угол острый = θ из прямоугольного треугольника , то гипотенуза с является стороной , которая соединяет два угла острые. Сторона b, примыкающая к θ, - это сторона треугольника, соединяющего θ с прямым углом. Третья сторона называется противоположным к & thetas .
Если задан угол θ , то все стороны прямоугольного треугольника четко определены с точностью до коэффициента масштабирования. Это означает, что соотношение любых двух длин сторон зависит только от θ . Таким образом, эти шесть соотношений определяют шесть функций от θ , которые являются тригонометрическими функциями. Точнее, шесть тригонометрических функций: [4] [5]
|
|
|
|
|
|
В прямоугольном треугольнике сумма двух острых углов составляет прямой угол, то есть 90 ° или радианы .
Функция | Сокращение | Описание | Отношение | |
---|---|---|---|---|
используя радианы | используя градусы | |||
синус | грех | противоположный/гипотенуза | ||
косинус | потому что | соседний/гипотенуза | ||
касательная | загар (или тг) | противоположный/соседний | ||
котангенс | детская кроватка (или котан, или котг, или ctg, или ctn) | соседний/противоположный | ||
секущий | сек | гипотенуза/соседний | ||
косеканс | csc (или cosec) | гипотенуза/противоположный |
Радианы против градусов
В геометрических приложениях аргументом тригонометрической функции обычно является мера угла . Для этой цели удобна любая угловая единица , а углы обычно измеряются в условных единицах градусов, в которых прямой угол равен 90 °, а полный поворот равен 360 ° (особенно в элементарной математике ).
Однако в исчислении и математическом анализе тригонометрические функции обычно рассматриваются более абстрактно как функции действительных или комплексных чисел , а не углов. Фактически, функции sin и cos могут быть определены для всех комплексных чисел в терминах экспоненциальной функции через ряды степеней [7] или как решения дифференциальных уравнений при определенных начальных значениях [8] ( см. Ниже ), без ссылки на какие-либо геометрические понятия. Остальные четыре тригонометрические функции (tan, cot, sec, csc) могут быть определены как частные и обратные величины sin и cos, за исключением случаев, когда в знаменателе стоит ноль. Для реальных аргументов можно доказать, что эти определения совпадают с элементарными геометрическими определениями, если аргумент рассматривать как угол, выраженный в радианах . [7] Кроме того, эти определения приводят к простым выражениям для производных и неопределенных интегралов для тригонометрических функций. [9] Таким образом, в условиях, выходящих за рамки элементарной геометрии, радианы считаются математически естественной единицей для описания угловых мер.
При радиан (рад) используются, то угол задается как длина дуги на единичной окружности , натянутой ею: угол , который стягивает дугу длины 1 на единичной окружности составляет 1 рад (≈ 57,3 °), и полный поворот (360 °) - это угол 2π (≈ 6,28) рад. Для действительного числа x обозначения sin x , cos x и т. Д. Относятся к значению тригонометрических функций, вычисленных под углом x рад. Если предусмотрены единицы измерения градусов, знак градуса должен быть явно показан (например, sin x ° , cos x ° и т. Д.). Используя это стандартное обозначение, аргумент x для тригонометрических функций удовлетворяет соотношению x = (180 x / π) °, так что, например, sin π = sin 180 °, когда мы берем x = π. Таким образом, символ градуса можно рассматривать как математическую константу, такую, что 1 ° = π / 180 ≈ 0,0175.
Определения единичного круга
Шесть тригонометрических функций могут быть определены как значения координат точек на евклидовой плоскости , которые связаны с единичной окружностью , которая является окружностью радиуса один с центром в начале O этой системы координат. В то время как определения прямоугольного треугольника позволяют определять тригонометрические функции для углов от 0 до радиан (90 °), определения единичного круга позволяют расширить область тригонометрических функций на все положительные и отрицательные действительные числа.
Позволять - луч, полученный поворотом на угол θ положительной половины оси x ( вращение против часовой стрелки для и вращение по часовой стрелке для ). Этот луч пересекает единичный круг в точке Луч при необходимости продлен до линии , пересекает линию уравнения в и линия уравнения в Касательная к единичной окружности в точке А , является перпендикулярной ки пересекает оси y и x в точках а также В координаты этих точек приведены значения всех тригонометрических функций для любого произвольного действительного значения & thetas следующим образом.
Тригонометрические функции соз и грех определены, соответственно, как х - и у -координаты значений точки А . Это,
- а также [11]
В диапазоне , это определение совпадает с определением прямоугольного треугольника, в котором прямоугольный треугольник берется с единичным радиусом OA в качестве гипотенузы . А поскольку уравнение справедливо для всех точек на единичной окружности это определение косинуса и синуса также удовлетворяет тождеству Пифагора
Остальные тригонометрические функции можно найти вдоль единичной окружности как
- а также
- а также
Применяя методы пифагорейского тождества и геометрического доказательства, можно легко показать, что эти определения совпадают с определениями тангенса, котангенса, секанса и косеканса в терминах синуса и косинуса, т. Е.
Поскольку поворот на угол не изменяет положение или размер формы, точки A , B , C , D и E одинаковы для двух углов, разность которых является целым числом, кратным. Таким образом, тригонометрические функции - это периодические функции с периодом. То есть равенства
- а также
справедливы для любого угла θ и любого целого k . То же самое и с четырьмя другими тригонометрическими функциями. Наблюдая за знаком и монотонностью функций синуса, косинуса, косеканса и секанса в четырех квадрантах, можно показать, что 2 π - наименьшее значение, для которого они периодичны (т. Е. 2 π - основной период этих функций. ). Однако после поворота на угол, точки B и C уже возвращаются в исходное положение, так что функция касательной и функция котангенса имеют основной период π . То есть равенства
- а также
справедливы для любого угла θ и любого целого k .
Алгебраические значения
В алгебраические выражения для самых важных углов следующим образом :
- ( прямой угол )
- ( прямой угол )
Запись числителей в виде квадратных корней последовательных неотрицательных целых чисел со знаменателем 2 обеспечивает простой способ запоминания значений. [12]
Такие простые выражения обычно не существуют для других углов, которые являются рациональными кратными прямому углу. Для угла, который измеряется в градусах и кратен трем, синус и косинус могут быть выражены квадратными корнями , см. Тригонометрические константы, выраженные в действительных радикалах . Таким образом, эти значения синуса и косинуса могут быть построены с помощью линейки и компаса .
Для угла, равного целому числу градусов, синус и косинус могут быть выражены через квадратные корни и кубический корень из не действительного комплексного числа . Теория Галуа позволяет доказать, что, если угол не кратен 3 °, ненастоящие кубические корни неизбежны.
Для угла, который измеряется в градусах, является рациональным числом , синус и косинус являются алгебраическими числами , которые могут быть выражены через корни n- й степени . Это связано с тем , что группы Галуа этих круговых многочленов являются циклическими .
Для угла, который измеряется в градусах, не является рациональным числом, тогда либо угол, либо и синус, и косинус являются трансцендентными числами . Это следствие теоремы Бейкера , доказанной в 1966 году.
Простые алгебраические значения
В следующей таблице приведены простейшие алгебраические значения тригонометрических функций. [13] Символ ∞ обозначает бесконечно удаленную точку на проективно продолженной вещественной прямой ; он не подписан, потому что, когда он появляется в таблице, соответствующая тригонометрическая функция стремится к + ∞ с одной стороны и к -∞ с другой стороны, когда аргумент стремится к значению в таблице.
Радиан Степень грех потому что загар детская кроватка сек csc 0 0 ° π / 12 15 ° π / 10 18 ° π / 8 22,5 ° π / 6 30 ° π / 5 36 ° π / 4 45 ° 3π / 10 54 ° π / 3 60 ° 3π / 8 67,5 ° 2π / 5 72 ° 5π / 12 75 ° π / 2 90 °
В исчислении
Современная тенденция в математике является построение геометрии из исчисления , а не наоборот. [ необходима цитата ] Следовательно, за исключением очень элементарного уровня, тригонометрические функции определяются с использованием методов исчисления.
Тригонометрические функции дифференцируемы и аналитичны в каждой точке, где они определены; то есть везде для синуса и косинуса и для касательной везде, кроме точки π / 2 + k π для любого целого числа k .
Тригонометрические функции являются периодическими функциями , и их примитивный период равен 2 π для синуса и косинуса и π для касательной, которая увеличивается на каждом открытом интервале ( π / 2 + k π , π / 2 + ( k + 1 ) π ) . В каждой конечной точке этих интервалов касательная функция имеет вертикальную асимптоту .
В исчислении есть два эквивалентных определения тригонометрических функций с использованием степенных рядов или дифференциальных уравнений . Эти определения эквивалентны, поскольку, начиная с одного из них, легко получить другое как свойство. Однако определение через дифференциальные уравнения как-то более естественно, поскольку, например, выбор коэффициентов степенного ряда может показаться совершенно произвольным, а пифагорова тождество намного легче вывести из дифференциальных уравнений.
Определение дифференциальными уравнениями
Синус и косинус - уникальные дифференцируемые функции, такие что
Дифференцируя эти уравнения, мы получаем, что и синус, и косинус являются решениями дифференциального уравнения
Применяя правило частного к определению касательной как отношения синуса к косинусу, получаем, что функция касательной проверяет
Расширение серии Power
Применяя дифференциальные уравнения к степенным рядам с неопределенными коэффициентами, можно вывести рекуррентные соотношения для коэффициентов ряда Тейлора функций синуса и косинуса. Эти рекуррентные соотношения легко решаются и дают разложения в ряд [14]
Радиус сходимости этих рядов бесконечно. Следовательно, синус и косинус могут быть расширены до целых функций (также называемых «синусом» и «косинусом»), которые (по определению) являются комплексными функциями , которые определены и голоморфны на всей комплексной плоскости .
Будучи определенными как доли целых функций, другие тригонометрические функции могут быть расширены до мероморфных функций , то есть функций, голоморфных во всей комплексной плоскости, за исключением некоторых изолированных точек, называемых полюсами . Здесь полюса - это числа вида для касательной и секущей, или для котангенса и косеканса, где k - произвольное целое число.
Соотношения повторяемости также могут быть вычислены для коэффициентов ряда Тейлора других тригонометрических функций. Эти ряды имеют конечный радиус сходимости . Их коэффициенты имеют комбинаторную интерпретацию: они перечисляют чередующиеся перестановки конечных множеств. [15]
Точнее, определяя
- U n , n- е число вверх / вниз ,
- B n , n- е число Бернулли , и
- E n , - n- е число Эйлера ,
один имеет следующие разложения в ряд: [16]
Частичное расширение фракции
Существует представление ряда в виде разложения частичной дроби, в котором только что переведенные обратные функции суммируются, так что полюса функции котангенса и обратных функций совпадают: [17]
Эту идентичность можно доказать с помощью уловки Герглотца . [18] Объединение (- n ) -го с n- м слагаемыми приводит к абсолютно сходящимся рядам:
Точно так же можно найти частичное разложение для секущих, косекансных и касательных функций:
Бесконечное расширение продукта
Следующее бесконечное произведение для синуса имеет большое значение в комплексном анализе:
Для доказательства этого разложения см. Синус . Отсюда можно сделать вывод, что
Связь с экспоненциальной функцией (формула Эйлера)
Формула Эйлера связывает синус и косинус с экспоненциальной функцией :
Эта формула обычно рассматривается для реальных значений x , но остается верной для всех комплексных значений.
Доказательство : Пусть а также Надо для j = 1, 2 . Таким образом, из правила частного следует, что. Следовательно, - постоянная функция, равная 1 , как Это доказывает формулу.
Надо
Решив эту линейную систему через синус и косинус, можно выразить их через экспоненциальную функцию:
Когда x реально, это можно переписать как
Большинство тригонометрических тождеств можно доказать, выразив тригонометрические функции в терминах комплексной экспоненциальной функции, используя приведенные выше формулы, а затем используя тождество для упрощения результата.
Определения с использованием функциональных уравнений
Можно также определить тригонометрические функции, используя различные функциональные уравнения .
Например, [19] синус и косинус образуют единственную пару непрерывных функций, которые удовлетворяют разностной формуле
и добавленное условие
В комплексной плоскости
Синус и косинус комплексного числа может быть выражено через действительные синусы, косинусы и гиперболические функции следующим образом:
Воспользовавшись преимуществом раскраски области , можно изобразить тригонометрические функции как комплексные функции. На графике можно увидеть различные особенности, уникальные для сложных функций; например, функции синуса и косинуса можно рассматривать как неограниченные, поскольку мнимая частьстановится больше (поскольку белый цвет представляет бесконечность), а тот факт, что функции содержат простые нули или полюсы , очевиден из того факта, что оттенок циклически повторяется вокруг каждого нуля или полюса ровно один раз. Сравнение этих графиков с графиками соответствующих гиперболических функций подчеркивает взаимосвязь между ними.
Основные личности
Многие тождества связывают тригонометрические функции. В этом разделе собраны самые основные; для получения дополнительных сведений см. Список тригонометрических идентичностей . Эти тождества могут быть доказаны геометрически из определений единичного круга или определений прямоугольного треугольника (хотя для последних определений необходимо соблюдать осторожность для углов, которые не находятся в интервале [0, π / 2] , см. Доказательства тригонометрических тождеств ). Для негеометрических доказательств, использующих только инструменты исчисления , можно напрямую использовать дифференциальные уравнения способом, аналогичным приведенному выше доказательству тождества Эйлера. Можно также использовать тождество Эйлера для выражения всех тригонометрических функций в терминах комплексных экспонент и с использованием свойств экспоненциальной функции.
Паритет
Косинус и секанс - четные функции ; остальные тригонометрические функции являются нечетными . Это:
Периоды
Все тригонометрические функции являются периодическими функциями периода 2 π . Это наименьший период, за исключением тангенса и котангенса, у которых π является наименьшим периодом. Это означает, что для каждого целого k имеется
Пифагорейская идентичность
Тождество Пифагора , является выражением теоремы Пифагора в терминах тригонометрических функций. это
Формулы суммы и разности
Формулы суммы и разности позволяют разложить синус, косинус и тангенс суммы или разности двух углов на синусы и косинусы и тангенсы самих углов. Их можно вывести геометрически, используя аргументы, восходящие к Птолемею . Их также можно произвести алгебраически, используя формулу Эйлера .
- Сумма
- Разница
Когда два угла равны, формулы суммы сводятся к более простым уравнениям, известным как формулы двойного угла .
Эти тождества можно использовать для получения тождеств продукта к сумме .
Установив а также это позволяет выразить все тригонометрические функции как рациональная часть:
Вместе с
это подстановка касательных полууглов , которая позволяет свести вычисление интегралов и первообразных тригонометрических функций к вычислению рациональных дробей.
Производные и первообразные
Эти производные тригонометрических функций являются результатом тех из синуса и косинуса путем применения правила фактор . Значения, указанные для первообразных в следующей таблице, можно проверить путем их дифференциации. Число C - постоянная интегрирования .
В качестве альтернативы производные «ко-функций» могут быть получены с использованием тригонометрических тождеств и цепного правила:
Обратные функции
Тригонометрические функции периодичны и, следовательно, не инъективны , поэтому, строго говоря, у них нет обратной функции . Однако на каждом интервале, на котором тригонометрическая функция является монотонной , можно определить обратную функцию, и это определяет обратные тригонометрические функции как многозначные функции . Чтобы определить истинную обратную функцию, необходимо ограничить область действия интервалом, в котором функция является монотонной и, таким образом, биективна от этого интервала к своему изображению функцией. Стандартный выбор для этого интервала, называемый набором основных значений , приведен в следующей таблице. Как обычно, обратные тригонометрические функции обозначаются префиксом «arc» перед названием или его сокращением.
Обозначения sin −1, cos −1 и т. Д. Часто используются для arcsin, arccos и т. Д. При использовании этого обозначения обратные функции можно спутать с мультипликативными обратными. Обозначение с префиксом "arc" позволяет избежать такой путаницы, хотя "arcsec" для arcsecant можно спутать с " arcsecond ".
Так же, как синус и косинус, обратные тригонометрические функции также могут быть выражены в терминах бесконечных рядов. Их также можно выразить в виде комплексных логарифмов . Подробнее см. Обратные тригонометрические функции .
Приложения
Углы и стороны треугольника
В этом разделе A , B , C обозначают три (внутренних) угла треугольника, а a , b , c обозначают длины соответствующих противоположных краев. Они связаны различными формулами, названными по тригонометрическим функциям, которые они включают.
Закон синусов
Закон синусов гласит , что для произвольного треугольника со сторонами через , Ь и с и углов противоположных сторон этих , B и C :
где Δ - площадь треугольника, или, что то же самое,
где R - радиус описанной окружности треугольника .
Это можно доказать, разделив треугольник на два правильных и используя приведенное выше определение синуса. Закон синусов полезен для вычисления длин неизвестных сторон треугольника, если известны два угла и одна сторона. Это обычная ситуация, возникающая в триангуляции , методе определения неизвестных расстояний путем измерения двух углов и доступного замкнутого расстояния.
Закон косинусов
Закон косинусов (также известные как формула косинус или косинусы) является продолжением теоремы Пифагора :
или, что эквивалентно,
В этой формуле угол при C противоположен стороне c . Эту теорему можно доказать, разделив треугольник на два прямоугольных и используя теорему Пифагора .
Закон косинусов можно использовать для определения стороны треугольника, если известны две стороны и угол между ними. Его также можно использовать для нахождения косинусов угла (и, следовательно, самих углов), если известны длины всех сторон.
Закон касательных
Следующее все образует закон касательных [20]
Объяснение формул на словах было бы громоздким, но схемы сумм и разностей для длин и соответствующих противоположных углов очевидны в теореме.
Закон котангенсов
Если
- (радиус вписанной окружности для треугольника)
а также
- (полупериметр треугольника),
то следующие все образуют закон котангенсов [20]
Следует, что
На словах теорема такова: котангенс полуугла равен отношению полупериметра минус противоположная сторона к указанному углу и внутреннему радиусу треугольника.
Периодические функции
Тригонометрические функции также важны в физике. Функции синуса и косинуса, например, используются для описания простого гармонического движения , которое моделирует многие природные явления, такие как движение массы, прикрепленной к пружине, и, для малых углов, маятниковое движение массы, подвешенной на пружине. нить. Функции синуса и косинуса являются одномерными проекциями равномерного кругового движения .
Тригонометрические функции также оказываются полезными при изучении общих периодических функций . Характерные волновые структуры периодических функций полезны для моделирования повторяющихся явлений, таких как звуковые или световые волны . [21]
В довольно общих условиях периодическая функция f ( x ) может быть выражена как сумма синусоидальных или косинусоидальных волн в ряду Фурье . [22] Обозначая базисные функции синуса или косинуса через φ k , разложение периодической функции f ( t ) принимает вид:
Например, прямоугольную волну можно записать в виде ряда Фурье
На анимации прямоугольной волны вверху справа видно, что всего несколько членов уже дают довольно хорошее приближение. Внизу показано наложение нескольких членов в разложении пилообразной волны .
История
Хотя раннее изучение тригонометрии можно проследить до глубокой древности, тригонометрические функции в том виде, в котором они используются сегодня, были разработаны в средневековый период. Хорда функция была обнаружена Гиппарх из Никеи (180-125 г. до н.э.) и Птолемея из римского Египта (90-165 н.э.). Функции синуса и версина (1 - косинус) можно проследить до функций джья и коти-джья, используемых в индийской астрономии периода Гупта ( Арьябхатия , Сурья Сиддханта ), путем перевода с санскрита на арабский, а затем с арабского на латинский. [23] (См . Таблицу синусов Арьябхаты .)
Все шесть тригонометрических функций, используемых в настоящее время, были известны в исламской математике к IX веку, как и закон синусов , используемый при решении треугольников . [24] За исключением синуса (который был заимствован из индийской математики), персидскими и арабскими математиками были открыты другие пять современных тригонометрических функций, включая косинус, тангенс, котангенс, секанс и косеканс. [24] Аль-Хваризми (ок. 780–850) составил таблицы синусов, косинусов и тангенсов. Около 830 года Хабаш аль-Хасиб аль-Марвази открыл котангенс и составил таблицы касательных и котангенсов. [25] [26] Мухаммад ибн Джабир аль-Харрани аль-Баттани (853–929) открыл взаимные функции секанса и косеканса и составил первую таблицу косекансов для каждой степени от 1 ° до 90 °. [26] Тригонометрические функции были позже изучены математиками, включая Омара Хайяма , Бхаскара II , Насира ад-Дина ат-Туси , Джамшида аль-Каши (14 век), Улугбека (14 век), Региомонтана (1464 год), Ретикуса и Ученик Ретикуса Валентин Отон .
Мадхава из Сангамаграмы (ок. 1400 г.) сделал первые шаги в анализе тригонометрических функций в терминах бесконечных рядов . [27] (См серии Мадхава и синус таблицы Мадхава в .)
Термины касательная и секанс впервые были введены датским математиком Томасом Финке в его книге Geometria rotundi (1583). [28]
17 - го века французский математик Альберт Girard сделал первый опубликованный использование аббревиатуры греха , соз , и загар в своей книге Trigonométrie . [29]
В статье, опубликованной в 1682 году, Лейбниц доказал, что sin x не является алгебраической функцией от x . [30] Хотя они представлены как отношения сторон прямоугольного треугольника и, таким образом , выглядят как рациональные функции , результат Лейбница установил, что они на самом деле являются трансцендентными функциями своего аргумента. Задача ассимиляции круговых функций в алгебраические выражения была решена Эйлером в его « Введении в анализ бесконечного» (1748 г.). Его метод заключался в том, чтобы показать, что функции синуса и косинуса представляют собой чередующиеся ряды, образованные из четных и нечетных членов соответственно экспоненциального ряда . Он представил « формулу Эйлера », а также рядом современный аббревиатуры ( грех. , COS. , Тан. , Раскладушка. , Сек. , И COSEC. ). [23]
Несколько функций были распространены исторически, но в настоящее время используются редко, такие как аккорд , то синус-верзус (который появился в самых ранних таблицах [23] ), то coversine , то гаверсинус , [31] exsecant и excosecant . Список тригонометрических тождеств показывает больше отношения между этими функциями.
- crd ( θ ) = 2 sin ( θ/2)
- versin ( θ ) = 1 - cos ( θ ) = 2 sin 2 ( θ/2)
- покрываетin ( θ ) = 1 - sin ( θ ) = versin ( π/2- θ )
- хаверсин ( θ ) = 1/2versin ( θ ) = sin 2 ( θ/2)
- exsec ( θ ) = sec ( θ ) - 1
- excsc ( θ ) = exsec ( π/2- θ ) = csc ( θ ) - 1
Этимология
Слово sine происходит [32] от латинского sinus , означающего «изгиб; залив», а точнее «свисающая складка верхней части тоги », «пазухи одежды», которая была выбрана в качестве перевода того, что интерпретировалось как арабское слово jaib , означающее «карман» или «складка» в переводах двенадцатого века произведений Аль-Баттани и Аль-Хваризми на средневековую латынь . [33] Выбор был основан на неправильном прочтении арабской письменной формы jyb ( جيب ), которая сама возникла как транслитерация санскритского jīvā , который вместе со своим синонимом jyā (стандартный санскритский термин для синуса) переводится как «тетива». , в свою очередь, заимствовано от древнегреческого χορδή «струна». [34]
Слово тангенс происходит от латинского tangens, означающего «касающийся», поскольку линия касается окружности с единичным радиусом, тогда как секанс происходит от латинского secans - «разрезание», поскольку линия пересекает окружность. [35]
Префикс « со- » (в «косинус», «котангенс», «косеканс») находится в Эдмунд Гюнтер «ы Canon triangulorum (1620), который определяет COSINUS как аббревиатура для синусового Complementi (синус дополнительного угла ) и аналогичным образом переходит к определению котангенов . [36] [37]
Смотрите также
- Все студенты принимают исчисление - мнемонику для запоминания знаков тригонометрических функций в определенном квадранте декартовой плоскости
- Формула синусоидального приближения Бхаскары I.
- Дифференциация тригонометрических функций
- Обобщенная тригонометрия
- Создание тригонометрических таблиц
- Гиперболическая функция
- Список интегралов от тригонометрических функций
- Список периодических функций
- Список тригонометрических тождеств
- Полярный синус - обобщение углов при вершинах
- Доказательства тригонометрических тождеств
- Versine - для нескольких менее используемых тригонометрических функций
Заметки
- ^ Кляйн, Кристиан Феликс (1924) [1902]. Elementarmathematik vom höheren Standpunkt aus: Arithmetik, Algebra, Analysis (на немецком языке). 1 (3-е изд.). Берлин: J. Springer .
- ^ Кляйн, Кристиан Феликс (2004) [1932]. Элементарная математика с продвинутой точки зрения: арифметика, алгебра, анализ . Перевод Хедрика, ER; Благородный, Калифорния (перевод 3-го немецкого изд.). Dover Publications, Inc. / Компания Macmillan . ISBN 978-0-48643480-3. Архивировано 15 февраля 2018 года . Проверено 13 августа 2017 .
- ^ «Исчерпывающий список символов алгебры» . Математическое хранилище . 2020-03-25 . Проверено 29 августа 2020 .
- ^ Проттера & Морри (1970 , стр. АРР-2, АПП-3)
- ^ «Синус, косинус, касательная» . www.mathsisfun.com . Проверено 29 августа 2020 .
- ^ Проттера & Морри (1970 , стр. АРР-7)
- ^ а б Рудин, Вальтер, 1921-2010. Принципы математического анализа (Третье изд.). Нью-Йорк. ISBN 0-07-054235-X. OCLC 1502474 .CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
- ^ Даймонд, Харви (2014). «Определение экспоненциальных и тригонометрических функций с помощью дифференциальных уравнений» . Математический журнал . 87 (1): 37–42. DOI : 10.4169 / math.mag.87.1.37 . ISSN 0025-570X . S2CID 126217060 .
- ^ Спивак, Майкл (1967). «15». Исчисление . Эддисон-Уэсли. С. 256–257. LCCN 67-20770 .
- ↑ Хэн, Ченг и Талберт, «Дополнительная математика». Архивировано 20 марта2015 г. в Wayback Machine , стр. 228.
- ^ Битюцков В.И. (07.02.2011). «Тригонометрические функции» . Энциклопедия математики . Архивировано 29 декабря 2017 года . Проверено 29 декабря 2017 .
- ^ Ларсон, Рон (2013). Тригонометрия (9-е изд.). Cengage Learning. п. 153. ISBN. 978-1-285-60718-4. Архивировано 15 февраля 2018 года. Выдержка из страницы 153. Архивировано 15 февраля 2018 г. в Wayback Machine.
- ^ Abramowitz, Милтон и Ирен А. Stegun, стр. 74
- ↑ См. Альфорс, стр. 43–44.
- ↑ Стэнли, Перечислительная комбинаторика, Том I., стр. 149
- ^ Абрамовиц; Вайштайн.
- ^ Айгнер, Мартин ; Циглер, Гюнтер М. (2000). Доказательства из КНИГИ (2-е изд.). Springer-Verlag . п. 149. ISBN. 978-3-642-00855-9. Архивировано 8 марта 2014 года.
- ^ Реммерт, Рейнхольд (1991). Теория сложных функций . Springer. п. 327. ISBN. 978-0-387-97195-7. Архивировано 20 марта 2015 года. Выдержка из страницы 327 Архивировано 20 марта 2015 г. в Wayback Machine.
- ^ Каннаппан, Паланиаппан (2009). Функциональные уравнения и неравенства с приложениями . Springer. ISBN 978-0387894911.
- ^ a b Универсальная энциклопедия математики, Pan Reference Books, 1976, стр. 529–530. Английская версия Джордж Аллен и Анвин, 1964. Перевод с немецкой версии Meyers Rechenduden, 1960.
- ^ Фарлоу, Стэнли Дж. (1993). Уравнения в частных производных для ученых и инженеров (Перепечатка изд. Wiley 1982 г.). Courier Dover Publications. п. 82. ISBN 978-0-486-67620-3. Архивировано 20 марта 2015 года.
- ^ См., Например, Фолланд, Джеральд Б. (2009). «Сходимость и полнота» . Анализ Фурье и его приложения (Перепечатка Wadsworth & Brooks / Cole 1992 ed.). Американское математическое общество. С. 77 и далее. ISBN 978-0-8218-4790-9. Архивировано 19 марта 2015 года.
- ^ a b c Бойер, Карл Б. (1991). История математики (второе изд.). John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-54397-7 , стр. 210.
- ^ а б Джинджерич, Оуэн (1986). «Исламская астрономия» . Scientific American . Vol. 254. с. 74. Архивировано из оригинала на 2013-10-19 . Проверено 13 июля 2010 .
- ^ Жак Сезиано, "Исламская математика", стр. 157, дюйм Селин, Хелайн ; Д'Амброзио, Убиратан , ред. (2000). Математика в разных культурах: история незападной математики . Springer Science + Business Media . ISBN 978-1-4020-0260-1.
- ^ а б «тригонометрия» . Британская энциклопедия.
- ^ О'Коннор, Джей Джей; Робертсон, Э. Ф. «Мадхава Сангамаграмы» . Школа математики и статистики Университета Сент-Эндрюс, Шотландия. Архивировано из оригинала на 2006-05-14 . Проверено 8 сентября 2007 .
- ^ "Биография Финке" . Архивировано 07 января 2017 года . Проверено 15 марта 2017 .
- ^ О'Коннор, Джон Дж .; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Тригонометрические функции» , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс.
- ^ Бурбаки, Николас (1994). Элементы истории математики . Springer.
- ^ Нильсен (1966 , стр. Xxiii – xxiv)
- ^ Англизированный форма первый записанный в 1593 году в Томасе Fale «s Horologiographia, Искусство набора .
- ^ Различные источники приписывают первое использование носовых пазух либо
- Платон из Тиволи «S 1116 перевода астрономии из Аль-Баттани
- Джерард Кремона перевода «х годов алгебры в аль-Хорезми
- Роберт Честерский перевод таблиц аль-Хваризми в 1145 году.
См. Maor (1998), глава 3, для более ранней этимологии, указывающей на Джерарда.
Видеть Каткс, Виктор (июль 2008 г.). История математики (3-е изд.). Бостон: Пирсон . п. 210 (боковая панель). ISBN 978-0321387004. - ^ См. Плофкер, Математика в Индии , Princeton University Press, 2009, стр. 257
См. «Университет Кларка» . Архивировано 15 июня 2008 года.
См. Maor (1998), глава 3, относительно этимологии. - ^ Оксфордский словарь английского языка
- ^ Гюнтер, Эдмунд (1620). Canon triangulorum .
- ^ Рогель, Денис, изд. (06.12.2010). «Реконструкция канона треугольника Гюнтера (1620 г.)» (Отчет об исследовании). HAL. inria-00543938. Архивировано 28 июля 2017 года . Проверено 28 июля 2017 .
Рекомендации
- Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964]. Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями, десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036 . Руководство по ремонту 0167642 . ‹См. Tfd› LCCN 65-12253 .
- Ларс Альфорс , Комплексный анализ: введение в теорию аналитических функций одной комплексной переменной , второе издание, McGraw-Hill Book Company , Нью-Йорк, 1966.
- Бойер, Карл Б. , История математики , John Wiley & Sons, Inc., 2-е издание. (1991). ISBN 0-471-54397-7 .
- Галь, Шмуэль и Бачелис, Борис. Точная элементарная математическая библиотека для стандарта IEEE с плавающей запятой, ACM Transactions on Mathematical Software (1991).
- Джозеф, Джордж Г., Гребень павлина: неевропейские корни математики , 2-е изд. Penguin Books , Лондон. (2000). ISBN 0-691-00659-8 .
- Кантабутра, Витит, «Об оборудовании для вычисления экспоненциальных и тригонометрических функций», IEEE Trans. Компьютеры 45 (3), 328–339 (1996).
- Maor, Eli, Trigonometric Delights , Princeton Univ. Нажмите. (1998). Репринтное издание (2002 г.): ISBN 0-691-09541-8 .
- Нидхэм, Тристан, «Предисловие» к « Визуальному комплексному анализу», Oxford University Press, (1999). ISBN 0-19-853446-9 .
- Нильсен, Кай Л. (1966), Логарифмические и тригонометрические таблицы для пяти мест (2-е изд.), Нью-Йорк: Barnes & Noble , LCCN 61-9103
- О'Коннор, JJ, и EF Робертсон, «Тригонометрические функции» , архив истории математики MacTutor . (1996).
- О'Коннор, Дж. Дж. И Э. Ф. Робертсон, «Мадхава Сангамаграммы» , архив истории математики MacTutor . (2000).
- Пирс, Ян Г., "Мадхава Сангамаграммы" , архив истории математики MacTutor . (2002).
- Protter, Murray H .; Морри, Чарльз Б., младший (1970), Вычисление колледжа с аналитической геометрией (2-е изд.), Чтение: Addison-Wesley , LCCN 76087042
- Weisstein, Eric W., "Tangent" из MathWorld , по состоянию на 21 января 2006 г.
Внешние ссылки
- "Тригонометрические функции" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
- Модуль Visionlearning по волновой математике
- GonioLab Визуализация единичной окружности, тригонометрических и гиперболических функций
- q-Sine Статья о q-аналоге греха в MathWorld
- q-Cosine Статья о q-аналоге cos в MathWorld