Синус

Синус
Основные характеристики
Паритет	странный
Домен	(- ∞ , + ∞ )  а
Codomain	[−1, 1]  а
Период	2 π
Конкретные значения
На нуле	0
Максима	(2 к π +π/2, 1) б
Минимумы	(2 к π -π/2, −1)
Особенности
Корень	k π
Критическая точка	к π +π/2
Точка перегиба	k π
Фиксированная точка	0
a Для действительных чисел. b Переменная k является целым числом .

Тригонометрия
Контур История использование Функции  ( обратные ) Обобщенная тригонометрия
Ссылка
Идентичности Точные константы Столы Единичный круг
Законы и теоремы
Синусы Косинусы Касательные Котангенсы теорема Пифагора
Исчисление
Тригонометрическая замена Интегралы  ( обратные функции ) Производные
v т е

В математике , то синус является тригонометрические функции из угла . Синус острого угла определяется в контексте прямоугольного треугольника : для указанного угла это отношение длины стороны, противоположной этому углу, к длине самой длинной стороны треугольника ( гипотенуза ). Для угла функция синуса обозначается просто как . ^{[1] [2]}${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle \ грех х}$

В более общем смысле определение синуса (и других тригонометрических функций) может быть расширено до любого реального значения с точки зрения длины определенного отрезка прямой в единичной окружности . Более современные определения выражают синус как бесконечный ряд или как решение некоторых дифференциальных уравнений , что позволяет их расширить до произвольных положительных и отрицательных значений и даже до комплексных чисел .

Синусоидальная функция обычно используется для моделирования периодических явлений, таких как звуковые и световые волны, положение и скорость гармонических осцилляторов, интенсивность солнечного света и продолжительность дня, а также изменения средней температуры в течение года.

Функциональный синус можно проследить до функций джья и коти-джья, используемых в индийской астрономии периода Гупта ( Арьябхатия , Сурья Сиддханта ), посредством перевода с санскрита на арабский, а затем с арабского на латинский. ^[3] Слово «синус» (латинское «синус») происходит от латинского неправильного перевода Робертом Честерского арабского слова jiba , которое является транслитерацией санскритского слова, обозначающего половину аккорда, jya-ardha . ^[4]

Определение прямоугольного треугольника [ править ]

Чтобы определить синусоидальную функцию острого угла α , начните с прямоугольного треугольника, который содержит угол измерения α ; на сопроводительном рисунке угол α в треугольнике ABC представляет собой интересующий угол. Три стороны треугольника названы следующим образом:

• Сторона , противоположная это сторона , противоположная углу интерес, в данном случае на стороне  а .
• Гипотенузой является стороной , противоположной под прямым углом, в данном случае боковой  ч . Гипотенуза - это всегда самая длинная сторона прямоугольного треугольника.
• Смежна сторона является оставшаяся сторона, в данном случае на стороне  б . Он образует сторону (и примыкает) к интересующему углу (угол A ) и к прямому углу.

После выбора такого треугольника синус угла равен длине противоположной стороны, деленной на длину гипотенузы: ^[5]

${\ Displaystyle \ грех (\ альфа) = {\ гидроразрыва {\ textrm {напротив}} {\ textrm {гипотенуза}}}}$

Остальные тригонометрические функции угла можно определить аналогично; например, косинус угла - это отношение между соседней стороной и гипотенузой, а касательная дает отношение между противоположной и смежной сторонами. ^[5]

Как уже говорилось, значение, по- видимому, зависит от выбора прямоугольного треугольника, содержащего угол измерения α . Однако это не так: все такие треугольники похожи , и поэтому соотношение для каждого из них одинаковое.${\ Displaystyle \ грех (\ альфа)}$

Определение единичного круга [ править ]

В тригонометрии , А единичный круг представляет собой окружность радиуса одного с центром в начале координат (0, 0) в декартовой системе координат .

Пусть прямая, проходящая через начало координат, пересекает единичную окружность, составляя угол θ с положительной половиной оси x . В й - и у -координаты этой точки пересечения равна соз ( & thetas ) и Sin ( & thetas ) , соответственно. Это определение согласуется с определением синуса и косинуса в прямоугольном треугольнике, когда 0 ° < θ <90 °: потому что длина гипотенузы единичной окружности всегда равна 1 ,. Длина противоположной стороны треугольника - это просто координата y . Аналогичный аргумент можно сделать для функции косинуса, чтобы показать, что при 0 ° <${\ displaystyle \ sin (\ theta) = {\ tfrac {\ textrm {напротив}} {\ textrm {hypotenuse}} = {\ tfrac {\ textrm {напротив}} {1}} = {\ textrm {напротив} }}$${\ Displaystyle \ соз (\ тета) = {\ tfrac {\ textrm {смежный}} {\ textrm {гипотенуза}}}}$θ <90 °, даже при новом определении с использованием единичной окружности. tan ( θ ) тогда определяется как или, что эквивалентно, как наклон отрезка прямой.${\ Displaystyle {\ tfrac {\ грех (\ тета)} {\ соз (\ тета)}}}$

Использование определения единичного круга имеет то преимущество, что угол может быть расширен до любого реального аргумента. Этого также можно добиться, потребовав определенные симметрии, и чтобы синус был периодической функцией .

• Анимация, показывающая, как синусоидальная функция (красным цветом) строится из координаты y (красная точка) точки на единичном круге (зеленого цвета) под углом θ .${\ Displaystyle у = \ грех (\ тета)}$

Личности [ править ]

Точные идентичности (в радианах ):

Они применимы для всех значений .${\ displaystyle \ theta}$

${\ displaystyle \ sin (\ theta) = \ cos \ left ({\ frac {\ pi} {2}} - \ theta \ right) = {\ frac {1} {\ csc (\ theta)}}}$

Взаимный [ править ]

Взаимный синус является косеканс, то есть, обратный греха ( ) является CSC ( ) , или COSEC ( ). Косеканс дает отношение длины гипотенузы к длине противоположной стороны: ^[1]

${\displaystyle \csc(A)={\frac {1}{\sin(A)}}={\frac {\textrm {hypotenuse}}{\textrm {opposite}}}={\frac {h}{a}}.}$

Обратный [ править ]

Обратная функция синуса является арксинусом (агсзш или ASIN) или обратным синус ( грех ^-1 ). ^[1] Поскольку синус неинъективен , это не точная обратная функция, а частичная обратная функция. Например, sin (0) = 0 , но также sin ( π ) = 0 , sin (2 π ) = 0 и т. Д. Отсюда следует, что функция арксинуса многозначна: arcsin (0) = 0 , но также и arcsin (0) = π , arcsin (0) = 2 π и т. д. Когда требуется только одно значение, функция может быть ограничена ее главной ветвью. С этим ограничением для каждого x в домене выражение arcsin ( x ) будет оценивать только одно значение, называемое его основным значением .

${\displaystyle \theta =\arcsin \left({\frac {\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}}\right)=\sin ^{-1}\left({\frac {o}{h}}\right).}$

где (для некоторого целого k ):

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(y)=x\iff &y=\arcsin(x)+2\pi k,{\text{ or }}\\&y=\pi -\arcsin(x)+2\pi k\end{aligned}}}$

Или в одном уравнении:

${\displaystyle \sin(y)=x\iff y=(-1)^{k}\arcsin(x)+\pi k}$

По определению арксинус удовлетворяет уравнению:

${\displaystyle \sin(\arcsin(x))=x\!}$

и

${\displaystyle \arcsin(\sin(\theta ))=\theta \quad {\text{for }}-{\frac {\pi }{2}}\leq \theta \leq {\frac {\pi }{2}}.}$

Исчисление [ править ]

Для синусоидальной функции:

${\displaystyle f(x)=\sin(x)}$

Производная:

${\displaystyle f'(x)=\cos(x)}$

Первообразная:

${\displaystyle \int f(x)\,dx=-\cos(x)+C}$

где C обозначает постоянную интегрирования . ^[2]

Другие тригонометрические функции [ править ]

Функции синуса и косинуса связаны множеством способов. Две функции сдвинуты по фазе на 90 °: = для всех углов x . Кроме того, производная функции sin ( x ) равна cos ( x ) .${\displaystyle \sin(\pi /2-x)}$${\displaystyle \cos(x)}$

Любую тригонометрическую функцию можно выразить через любую другую (до знака плюс или минус или с помощью знаковой функции ).

В следующей таблице показано, как синус может быть выражен в терминах других распространенных тригонометрических функций :

	f θ	Использование плюс / минус (±)					Использование функции знака (sgn)
		f θ =	± на квадрант				f θ =
			я	II	III	IV
потому что	${\displaystyle \sin(\theta )}$	${\displaystyle =\pm {\sqrt {1-\cos ^{2}(\theta )}}}$	+	+	-	-	${\displaystyle =\operatorname {sgn} \left(\cos \left(\theta -{\frac {\pi }{2}}\right)\right){\sqrt {1-\cos ^{2}(\theta )}}}$
	${\displaystyle \cos(\theta )}$	${\displaystyle =\pm {\sqrt {1-\sin ^{2}(\theta )}}}$	+	-	-	+	${\displaystyle =\operatorname {sgn} \left(\sin \left(\theta +{\frac {\pi }{2}}\right)\right){\sqrt {1-\sin ^{2}(\theta )}}}$
детская кроватка	${\displaystyle \sin(\theta )}$	${\displaystyle =\pm {\frac {1}{\sqrt {1+\cot ^{2}(\theta )}}}}$	+	+	-	-	${\displaystyle =\operatorname {sgn} \left(\cot \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right){\frac {1}{\sqrt {1+\cot ^{2}(\theta )}}}}$
	${\displaystyle \cot(\theta )}$	${\displaystyle =\pm {\frac {\sqrt {1-\sin ^{2}(\theta )}}{\sin(\theta )}}}$	+	-	-	+	${\displaystyle =\operatorname {sgn} \left(\sin \left(\theta +{\frac {\pi }{2}}\right)\right){\frac {\sqrt {1-\sin ^{2}(\theta )}}{\sin(\theta )}}}$
загар	${\displaystyle \sin(\theta )}$	${\displaystyle =\pm {\frac {\tan(\theta )}{\sqrt {1+\tan ^{2}(\theta )}}}}$	+	-	-	+	${\displaystyle =\operatorname {sgn} \left(\tan \left({\frac {2\theta +\pi }{4}}\right)\right){\frac {\tan(\theta )}{\sqrt {1+\tan ^{2}(\theta )}}}}$
	${\displaystyle \tan(\theta )}$	${\displaystyle =\pm {\frac {\sin(\theta )}{\sqrt {1-\sin ^{2}(\theta )}}}}$	+	-	-	+	${\displaystyle =\operatorname {sgn} \left(\sin \left(\theta +{\frac {\pi }{2}}\right)\right){\frac {\sin(\theta )}{\sqrt {1-\sin ^{2}(\theta )}}}}$
сек	${\displaystyle \sin(\theta )}$	${\displaystyle =\pm {\frac {\sqrt {\sec ^{2}(\theta )-1}}{\sec(\theta )}}}$	+	-	+	-	${\displaystyle =\operatorname {sgn} \left(\sec \left({\frac {4\theta -\pi }{2}}\right)\right){\frac {\sqrt {\sec ^{2}(\theta )-1}}{\sec(\theta )}}}$
	${\displaystyle \sec(\theta )}$	${\displaystyle =\pm {\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}(\theta )}}}}$	+	-	-	+	${\displaystyle =\operatorname {sgn} \left(\sin \left(\theta +{\frac {\pi }{2}}\right)\right){\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}(\theta )}}}}$

Для всех уравнений, в которых используется плюс / минус (±), результат будет положительным для углов в первом квадранте.

Основное соотношение между синусом и косинусом также может быть выражено как тригонометрическое тождество Пифагора : ^[2]

${\displaystyle \cos ^{2}(\theta )+\sin ^{2}(\theta )=1\!}$

где sin ² ( x ) означает (sin ( x )) ² .

Функция квадрата синуса [ править ]

На графике показаны как функция синуса, так и функция квадрата синуса , причем синус отображается синим цветом, а синус квадрат - красным. Оба графика имеют одинаковую форму, но с разными диапазонами значений и разными периодами. Синус в квадрате имеет только положительные значения, но в два раза больше периодов.

Функция квадрата синуса может быть выражена как модифицированная синусоида из тождества Пифагора и уменьшения мощности - формулой двойного угла косинуса: ^[6]

${\displaystyle \sin ^{2}(\theta )\ ={\frac {1-\sin(2\theta +{\tfrac {\pi }{2}})}{2}}\ }$

Свойства, относящиеся к квадрантам [ править ]

В таблице ниже показаны многие ключевые свойства синусоидальной функции (знак, монотонность, выпуклость), упорядоченные по квадранту аргумента. Для аргументов, не указанных в таблице, можно вычислить соответствующую информацию, используя периодичность синусоидальной функции.${\displaystyle \sin(\alpha +360^{\circ })=\sin(\alpha )}$

Квадрант	Градусы	Радианы	Ценить	Знак	Монотонность	Выпуклость
1-й квадрант	${\displaystyle 0^{\circ }<x<90^{\circ }}$	${\displaystyle 0<x<{\frac {\pi }{2}}}$	${\displaystyle 0<\sin(x)<1}$	${\displaystyle +}$	увеличение	вогнутый
2-й квадрант	${\displaystyle 90^{\circ }<x<180^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}<x<\pi }$	${\displaystyle 0<\sin(x)<1}$	${\displaystyle +}$	уменьшение	вогнутый
3-й квадрант	${\displaystyle 180^{\circ }<x<270^{\circ }}$	${\displaystyle \pi <x<{\frac {3\pi }{2}}}$	${\displaystyle -1<\sin(x)<0}$	${\displaystyle -}$	уменьшение	выпуклый
4-й квадрант	${\displaystyle 270^{\circ }<x<360^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {3\pi }{2}}<x<2\pi }$	${\displaystyle -1<\sin(x)<0}$	${\displaystyle -}$	увеличение	выпуклый

В следующей таблице представлена ​​основная информация о границах квадрантов.

Градусы	Радианы	${\displaystyle \sin(x)}$	Тип точки
${\displaystyle 0^{\circ }}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	Корень , перегиб
${\displaystyle 90^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$	${\displaystyle 1}$	Максимум
${\displaystyle 180^{\circ }}$	${\displaystyle \pi }$	${\displaystyle 0}$	Корень , перегиб
${\displaystyle 270^{\circ }}$	${\displaystyle {\frac {3\pi }{2}}}$	${\displaystyle -1}$	Минимум

Определение серии [ править ]

Используя только геометрию и свойства пределов , можно показать, что производная синуса является косинусом, а производная косинуса является отрицательной величиной синуса.

Использование отражения из вычисленного геометрического вывода синуса с (4 n + k ) -й производной в точке 0:

${\displaystyle \sin ^{(4n+k)}(0)={\begin{cases}0&{\text{when }}k=0\\1&{\text{when }}k=1\\0&{\text{when }}k=2\\-1&{\text{when }}k=3\end{cases}}}$

Это дает следующее разложение в ряд Тейлора при x = 0. Затем можно использовать теорию рядов Тейлора, чтобы показать, что следующие тождества выполняются для всех действительных чисел x (где x - угол в радианах): ^[7]

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(x)&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \\[8pt]&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\\[8pt]\end{aligned}}}$

Если бы x был выражен в градусах, то ряд содержал бы множители, включающие степени π / 180: если x - это количество градусов, количество радианов равно y = π x / 180, поэтому

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(x_{\mathrm {deg} })&=\sin(y_{\mathrm {rad} })\\&={\frac {\pi }{180}}x-\left({\frac {\pi }{180}}\right)^{3}{\frac {x^{3}}{3!}}+\left({\frac {\pi }{180}}\right)^{5}{\frac {x^{5}}{5!}}-\left({\frac {\pi }{180}}\right)^{7}{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots .\end{aligned}}}$

Формулы ряда для синуса и косинуса однозначно определяются, вплоть до выбора единицы для углов, требованиями, которые

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(0)=0&{\text{ and }}\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)\\\cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)=1&{\text{ and }}\cos(2x)=\cos ^{2}(x)-\sin ^{2}(x)\\\end{aligned}}}$

Радиан - это единица, которая приводит к разложению синуса с ведущим коэффициентом 1 и определяется дополнительным требованием:

${\displaystyle \sin(x)\approx x{\text{ when }}x\approx 0.}$

Коэффициенты как для синусоидального, так и для косинусного ряда могут быть получены путем подстановки их разложений в тождества пифагора и двойного угла, принимая ведущий коэффициент для синуса равным 1 и согласовывая остальные коэффициенты.

В общем, математически важные отношения между функциями синуса и косинуса и экспоненциальной функцией (см., Например, формулу Эйлера ) существенно упрощаются, когда углы выражаются в радианах, а не в градусах, градусах или других единицах. Поэтому в большинстве разделов математики, выходящих за рамки практической геометрии, считается, что углы выражаются в радианах.

Похожий ряд - это ряд Грегори для arctan , который получается путем опускания факториалов в знаменателе.

Непрерывная дробь [ править ]

Синусоидальную функцию также можно представить в виде обобщенной непрерывной дроби :

${\displaystyle \sin(x)={\cfrac {x}{1+{\cfrac {x^{2}}{2\cdot 3-x^{2}+{\cfrac {2\cdot 3x^{2}}{4\cdot 5-x^{2}+{\cfrac {4\cdot 5x^{2}}{6\cdot 7-x^{2}+\ddots }}}}}}}}.}$

Представление непрерывной дроби может быть получено из формулы Эйлера непрерывной дроби и выражает действительные числовые значения, как рациональные, так и иррациональные , синусоидальной функции.

Фиксированная точка [ править ]

Ноль - единственная реальная фиксированная точка синусоидальной функции; другими словами, единственное пересечение функции синуса и функции идентичности - это sin (0) = 0.

Длина дуги [ править ]

Длина дуги синусоиды между и составляет . Этот интеграл является эллиптическим интегралом второго рода .${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\textstyle \int _{a}^{b}\!{\sqrt {1+\cos ^{2}(x)}}\,dx}$

Длина дуги в течение полного периода , где это гамма - функция .${\textstyle {\frac {4{\sqrt {2\pi ^{3}}}}{\Gamma (1/4)^{2}}}+{\frac {\Gamma (1/4)^{2}}{\sqrt {2\pi }}}=7.640395578\ldots }$${\displaystyle \Gamma }$

Длина дуги синусоиды от 0 до й этого число выше , деленное на время х , плюс коррекция , которая изменяется периодически в й с периодом . Ряд Фурье для этой коррекции можно записать в замкнутой форме с помощью специальных функций, но это , возможно , более полезно записать десятичные приближения коэффициентов Фурье. Длина дуги синусоиды от 0 до x равна${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle 1.21600672x+0.10317093\sin(2x)-0.00220445\sin(4x)+0.00012584\sin(6x)-0.00001011\sin(8x)+\cdots }$

Главный член в приведенном выше уравнении и предел отношения длины дуги к расстоянию определяется выражением:

${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}+2\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)^{4}}{{\sqrt {2}}\pi ^{3/2}\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)^{2}}}}$

Закон синусов [ править ]

Закон синусов гласит , что для произвольного треугольника со сторонами через , Ь и с и углов противоположных сторон этих , B и C :

${\displaystyle {\frac {\sin A}{a}}={\frac {\sin B}{b}}={\frac {\sin C}{c}}.}$

Это эквивалентно равенству первых трех выражений ниже:

${\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=2R,}$

где R - радиус описанной окружности треугольника .

Это можно доказать, разделив треугольник на два правильных и используя приведенное выше определение синуса. Закон синусов полезен для вычисления длин неизвестных сторон треугольника, если известны два угла и одна сторона. Это обычная ситуация, возникающая в триангуляции , методе определения неизвестных расстояний путем измерения двух углов и доступного замкнутого расстояния.

Особые значения [ править ]

Для некоторых целых чисел x степеней значение sin ( x ) особенно просто. Таблица некоторых из этих значений приведена ниже.

x (угол)				грех ( х )
Градусы	Радианы	Градианы	Повороты	Точный	Десятичный
0 °	0	0 г	0	0	0
180 °	π	200 г	1/2
15 °	1/12π	16+2/3грамм	1/24	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}}$	0,258819045102521
165 °	11/12π	183+1/3грамм	11/24
30 °	1/6π	33+1/3грамм	1/12	1/2	0,5
150 °	5/6π	166+2/3грамм	5/12
45 °	1/4π	50 г	1/8	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	0,707106781186548
135 °	3/4π	150 г	3/8
60 °	1/3π	66+2/3грамм	1/6	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	0,866025403784439
120 °	2/3π	133+1/3грамм	1/3
75 °	5/12π	83+1/3грамм	5/24	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}}$	0,965925826289068
105 °	7/12π	116+2/3грамм	7/24
90 °	1/2π	100 г	1/4	1	1

С шагом 90 градусов:

Другие значения, не указанные выше:

${\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{60}}\right)=\sin(3^{\circ })={\frac {(2-{\sqrt {12}}){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+({\sqrt {10}}-{\sqrt {2}})({\sqrt {3}}+1)}{16}}}$ OEIS :  A019812

${\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{30}}\right)=\sin(6^{\circ })={\frac {{\sqrt {30-{\sqrt {180}}}}-{\sqrt {5}}-1}{8}}}$ OEIS :  A019815

${\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{20}}\right)=\sin(9^{\circ })={\frac {{\sqrt {10}}+{\sqrt {2}}-{\sqrt {20-{\sqrt {80}}}}}{8}}}$ OEIS :  A019818

${\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{15}}\right)=\sin(12^{\circ })={\frac {{\sqrt {10+{\sqrt {20}}}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}}{8}}}$ OEIS :  A019821

${\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{10}}\right)=\sin(18^{\circ })={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}={\tfrac {1}{2}}\varphi ^{-1}}$ OEIS :  A019827

${\displaystyle \sin \left({\frac {7\pi }{60}}\right)=\sin(21^{\circ })={\frac {(2+{\sqrt {12}}){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}-({\sqrt {10}}+{\sqrt {2}})({\sqrt {3}}-1)}{16}}}$ OEIS :  A019830

${\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{8}}\right)=\sin(22.5^{\circ })={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{2}}}$

${\displaystyle \sin \left({\frac {2\pi }{15}}\right)=\sin(24^{\circ })={\frac {{\sqrt {3}}+{\sqrt {15}}-{\sqrt {10-{\sqrt {20}}}}}{8}}}$ OEIS :  A019833

${\displaystyle \sin \left({\frac {3\pi }{20}}\right)=\sin(27^{\circ })={\frac {{\sqrt {20+{\sqrt {80}}}}-{\sqrt {10}}+{\sqrt {2}}}{8}}}$ OEIS :  A019836

${\displaystyle \sin \left({\frac {11\pi }{60}}\right)=\sin(33^{\circ })={\frac {({\sqrt {12}}-2){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+({\sqrt {10}}-{\sqrt {2}})({\sqrt {3}}+1)}{16}}}$ OEIS :  A019842

${\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{5}}\right)=\sin(36^{\circ })={\frac {\sqrt {10-{\sqrt {20}}}}{4}}}$ OEIS :  A019845

${\displaystyle \sin \left({\frac {13\pi }{60}}\right)=\sin(39^{\circ })={\frac {(2-{\sqrt {12}}){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+({\sqrt {10}}+{\sqrt {2}})({\sqrt {3}}+1)}{16}}}$ OEIS :  A019848

${\displaystyle \sin \left({\frac {7\pi }{30}}\right)=\sin(42^{\circ })={\frac {{\sqrt {30+{\sqrt {180}}}}-{\sqrt {5}}+1}{8}}}$ OEIS :  A019851

Связь с комплексными числами [ править ]

Синусоидальный используется для определения мнимой части в виде комплексного числа , заданного в полярных координатах ( г , φ ):

${\displaystyle z=r(\cos(\varphi )+i\sin(\varphi ))}$

мнимая часть:

${\displaystyle \operatorname {Im} (z)=r\sin(\varphi )}$

r и φ представляют собой величину и угол комплексного числа соответственно. i - мнимая единица . z - комплексное число .

Несмотря на то, что мы имеем дело с комплексными числами, параметр синуса в этом случае по-прежнему является действительным числом . Синус также может принимать в качестве аргумента комплексное число.

Синус со сложным аргументом [ править ]

${\displaystyle \sin(z)}$

Раскраска области sin ( z ) на комплексной плоскости. Яркость указывает на абсолютную величину, насыщенность представляет собой сложный аргумент.

${\displaystyle \sin(\theta )}$это мнимая часть .${\displaystyle e^{i\theta }}$

Определение синусоидальной функции для сложных аргументов z :

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(z)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}z^{2n+1}\\&={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}\\&={\frac {\sinh \left(iz\right)}{i}}\end{aligned}}}$

где i  ²  = −1, а sinh - гиперболический синус . Это целая функция . Кроме того, для чисто действительного x ,

${\displaystyle \sin(x)=\operatorname {Im} (e^{ix}).}$

Для чисто мнимых чисел:

${\displaystyle \sin(iy)=i\sinh(y).}$

Также иногда полезно выразить сложную синусоидальную функцию в терминах действительной и мнимой частей ее аргумента:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(x+iy)&=\sin(x)\cos(iy)+\cos(x)\sin(iy)\\&=\sin(x)\cosh(y)+i\cos(x)\sinh(y).\end{aligned}}}$

Частичная дробь и произведение сложного синуса [ править ]

Используя технику разложения на частную дробь в комплексном анализе , можно найти, что бесконечный ряд

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{z-n}}={\frac {1}{z}}-2z\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n^{2}-z^{2}}}\end{aligned}}}$

оба сходятся и равны . Аналогично можно показать, что${\textstyle {\frac {\pi }{\sin(\pi z)}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi ^{2}}{\sin ^{2}(\pi z)}}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{(z-n)^{2}}}.\end{aligned}}}$

Используя технику расширения продукта, можно получить

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\pi z)=\pi z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right).\end{aligned}}}$

В качестве альтернативы, бесконечное произведение для синуса может быть доказано с помощью комплексного ряда Фурье .

Использование сложного синуса [ править ]

sin ( z ) находится в функциональном уравнении для гамма-функции ,

${\displaystyle \Gamma (s)\Gamma (1-s)={\pi \over \sin(\pi s)},}$

которое, в свою очередь, находится в функциональном уравнении для дзета-функции Римана ,

${\displaystyle \zeta (s)=2(2\pi )^{s-1}\Gamma (1-s)\sin(\pi s/2)\zeta (1-s).}$

В качестве голоморфной функции , грех г является 2D решение уравнения Лапласа :

${\displaystyle \Delta u(x_{1},x_{2})=0.}$

Сложная синусоидальная функция также связана с кривыми уровня маятников . ^{[ как? ] [8] [ нужен лучший источник ]}

Сложные графики [ править ]

История [ править ]

Хотя раннее изучение тригонометрии можно проследить до глубокой древности, тригонометрические функции в том виде, в котором они используются сегодня, были разработаны в средневековый период. Хорда функция была обнаружена Гиппарх из Никеи (180-125 г. до н.э.) и Птолемея из римского Египта (90-165 н.э.).

Функцию синуса и версина (1 - косинус) можно проследить до функций джья и коти-джья, используемых в период Гупта ( 320–550 гг. Н. Э.) В индийской астрономии ( Арьябхатия , Сурья Сиддханта ) посредством перевода с санскрита на арабский, а затем с С арабского на латынь. ^[3]

Все шесть тригонометрических функций, которые используются в настоящее время, были известны в исламской математике к IX веку, как и закон синусов , используемый при решении треугольников . ^[9] За исключением синуса (который был заимствован из индийской математики), арабскими математиками были открыты другие пять современных тригонометрических функций, включая косинус, тангенс, котангенс, секанс и косеканс. ^[9] Аль-Хваризми (ок. 780–850) составил таблицы синусов, косинусов и тангенсов. ^{[10] [11]} Мухаммад ибн Джабир аль-Харрани аль-Баттани (853–929) обнаружил взаимные функции секанса и косеканса и составил первую таблицу косекансов для каждой степени от 1 ° до 90 °.^[11]

Аббревиатуры sin, cos и tan впервые были опубликованы французским математиком 16 века Альбертом Жираром ; в дальнейшем они были обнародованы Эйлером (см. ниже). Opus Palatinum де triangulis из Ретика , ученик Коперника , был , вероятно, первым в Европе , чтобы определить тригонометрические функции непосредственно в терминах правильных треугольников вместо окружностей, с таблицами для всех шести тригонометрических функций; эта работа была закончена учеником Ретикуса Валентином Отоном в 1596 году.

В статье, опубликованной в 1682 году, Лейбниц доказал, что sin x не является алгебраической функцией от x . ^[12] Роджер Котес вычислил производную синуса в своей Harmonia Mensurarum (1722). ^[13] Леонард Эйлер «s Введение в анализе бесконечно малый (1748) был в основном отвечает за создание аналитической обработки тригонометрических функций в Европе, а также определение их в виде бесконечных рядов и представления„ формулы Эйлера “, а также почти современные аббревиатуры грех ., cos., tang., cot., sec., и cosec. ^[14]

Этимология [ править ]

Поищите синус в Викисловаре, бесплатном словаре.

Этимологически , слово синусов происходит от санскритского слова для аккорда, джива * ( JYA является его более популярным синонимом). Это было транслитерации на арабском языке , как jiba جيب, который , однако , не имеет смысла в этом языке и сокращенном JB جب. Поскольку арабский язык написан без коротких гласных, «jb» интерпретировалось как слово jaib جيب, что означает «грудь». Когда арабские тексты были переведены в 12 - м века в латинский по Жерару Кремона , он использовал латинский эквивалент «грудь», пазухи (что означает «грудь» или «залив»или «сворачивать»).^{[15] [16]} Джерард, вероятно, не был первым ученым, использовавшим этот перевод; Роберт Честерский, кажется, предшествовал ему, и есть свидетельства более раннего использования. ^[17] Английская форма синуса была введена в 1590-х годах.

Программные реализации [ править ]

Стандартного алгоритма вычисления синуса не существует. IEEE 754-2008 , наиболее широко используемый стандарт вычислений с плавающей запятой, не касается вычисления тригонометрических функций, таких как синус. ^[18] Алгоритмы вычисления синуса могут быть сбалансированы с учетом таких ограничений, как скорость, точность, переносимость или диапазон принимаемых входных значений. Это может привести к разным результатам для разных алгоритмов, особенно для особых обстоятельств, таких как очень большие входные данные, например .sin(1022)

Общая оптимизация программирования, особенно используемая в 3D-графике, заключается в предварительном вычислении таблицы значений синуса, например, одно значение на градус, затем для промежуточных значений выбирается ближайшее предварительно рассчитанное значение или выполняется линейная интерполяция между двумя ближайшими значения для его приближения. Это позволяет искать результаты в таблице, а не рассчитывать их в реальном времени. С современными архитектурами ЦП этот метод не может дать никаких преимуществ. ^{[ необходима цитата ]}

CORDIC алгоритм обычно используется в научных калькуляторах.

Функция синуса, наряду с другими тригонометрическими функциями, широко доступна для разных языков программирования и платформ. В вычислительной технике это обычно сокращается до sin.

Некоторые архитектуры ЦП имеют встроенную инструкцию для синуса, в том числе FPU Intel x87, начиная с 80387.

В языках программирования sinэто обычно либо встроенная функция, либо ее можно найти в стандартной математической библиотеке языка.

Например, C стандартная библиотека определяет синусоидальные функции в пределах math.h : , , и . Параметр каждого - это значение с плавающей запятой , определяющее угол в радианах. Каждая функция возвращает тот же тип данных, что и принимает. Многие другие тригонометрические функции также определены в math.h , например, для косинуса, арксинуса и гиперболического синуса (sinh).sin(double)sinf(float)sinl(long double)

Точно так же Python определяет math.sin(x)во встроенном mathмодуле. В cmathмодуле также доступны сложные синусоидальные функции , например cmath.sin(z). Математические функции CPython вызывают библиотеку C math и используют формат с плавающей запятой двойной точности .

Реализации на основе поворотов [ править ]

Некоторые библиотеки программного обеспечения реализаций с использованием синус угла входа в полудуплексном оборотов , на пол-оборота быть под углом 180 градусов или радианах. Представление углов в поворотах или полуворотах в некоторых случаях дает преимущества в точности и эффективности.^{[19] [20]}${\displaystyle \pi }$

Преимущество в точности проистекает из способности без потерь точно представлять ключевые углы, такие как полный оборот, полуоборот и четверть оборота в двоичной системе с плавающей запятой или с фиксированной запятой. Напротив, представление , и в двоичной с плавающей запятой или двоичной масштабированной фиксированной запятой всегда влечет за собой потерю точности. ${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$

Повороты также имеют преимущество в точности и эффективности при вычислении по модулю одного периода. Вычисление по модулю 1 оборот или по модулю 2 полуоборотов может выполняться без потерь и эффективно как с плавающей, так и с фиксированной точкой. Например, вычисление по модулю 1 или 2 для значения с фиксированной запятой, масштабированного по двоичной точке, требует только битового сдвига или операции побитового И. Напротив, вычисление по модулю включает неточности в представлении .${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$

Для приложений, связанных с датчиками угла, датчик обычно обеспечивает угловые измерения в форме, непосредственно совместимой с поворотами или полуоборотами. Например, датчик угла может отсчитывать от 0 до 4096 за один полный оборот. ^[27] Если в качестве единицы измерения угла используются полуобороты, то значение, предоставляемое датчиком, напрямую и без потерь отображается в тип данных с фиксированной точкой с 11 битами справа от двоичной точки. Напротив, если радианы используются в качестве единицы для хранения угла, тогда возникнут неточности и затраты на умножение необработанного целого числа датчика на приближение к .${\displaystyle {\frac {\pi }{2048}}}$

См. Также [ править ]

Цитаты [ править ]

Ссылки [ править ]

• Траупман, доктор философии, Джон К. (1966), The New College Latin & English Dictionary , Toronto: Bantam, ISBN 0-553-27619-0
• Седьмой новый университетский словарь Вебстера , Springfield: G. & C. Merriam Company, 1969

Внешние ссылки [ править ]

• СМИ, связанные с функцией синуса, на Викискладе?

Поищите синус в Викисловаре, бесплатном словаре.