Четные и нечетные функции

Функции синуса и все его многочленов Тейлора являются нечетными функциями. На этом изображении показаны и его приближения Тейлора, многочлены степени 1, 3, 5, 7, 9, 11 и 13.${\ Displaystyle \ грех (х)}$

Функция косинуса и все ее многочлены Тейлора являются четными функциями. Это изображение показывает и его приближение Тейлора степени 4.${\ Displaystyle \ соз (х)}$

В математике , даже функция и нечетные функции являются функциями , которые удовлетворяют определенные симметрии отношений, относительно взятия добавок инверсий . Они важны во многих областях математического анализа , особенно в теории степенных рядов и рядов Фурье . Они названы в честь четности степеней степенных функций, которые удовлетворяют каждому условию: функция является четной функцией, если n является четным целым числом , и нечетной функцией, если n${\ Displaystyle е (х) = х ^ {п}}$ нечетное целое число.

Определение и примеры [ править ]

Четность и нечетность обычно рассматриваются для реальных функций , то есть для функций действительной переменной с действительными значениями. Однако в более общем плане концепции могут быть определены для функций, домен и область значений которых имеют понятие аддитивного обратного . Сюда входят абелевы группы , все кольца , все поля и все векторные пространства . Так, например, реальная функция может быть нечетной или четной, как и комплекснозначная функция векторной переменной и т. Д.

Приведенные примеры являются действительными функциями, чтобы проиллюстрировать симметрию их графиков .

Даже функции [ править ]

${\ Displaystyle е (х) = х ^ {2}}$ является примером четной функции.

Пусть f - вещественная функция действительной переменной. Тогда F является даже если следующее уравнение справедливо для всех х таких , что х и -х в области F : ^{[1] : р. 11}

${\ Displaystyle f (x) = f (-x)}$

( Уравнение 1 )

или, что то же самое, если для всех таких x выполняется следующее уравнение :

${\ Displaystyle f (x) -f (-x) = 0.}$

Геометрически график четной функции симметричен относительно оси y , что означает, что его график остается неизменным после отражения относительно оси y .

Примеры четных функций:

• Абсолютное значение ${\ Displaystyle х \ mapsto | х |,}$
• ${\ Displaystyle х \ mapsto х ^ {2},}$
• ${\ Displaystyle х \ mapsto х ^ {4},}$
• косинус ${\ displaystyle \ cos,}$
• гиперболический косинус ${\ displaystyle \ cosh.}$

Странные функции [ править ]

${\ Displaystyle е (х) = х ^ {3}}$ это пример нечетной функции.

Опять же, пусть f - вещественная функция действительной переменной. Тогда f является нечетным, если следующее уравнение выполняется для всех x таких, что x и -x находятся в области определения f : ^{[1] : p. 72}

${\ Displaystyle -f (х) = f (-x)}$

( Уравнение 2 )

или, что то же самое, если для всех таких x выполняется следующее уравнение :

${\ Displaystyle f (x) + f (-x) = 0.}$

Геометрически график нечетной функции имеет вращательную симметрию относительно начала координат , что означает, что его график остается неизменным после поворота на 180 градусов относительно начала координат.

Примеры нечетных функций:

• Функция идентичности ${\ Displaystyle х \ mapsto х,}$
• ${\ Displaystyle х \ mapsto х ^ {3},}$
• синус ${\ displaystyle \ sin,}$
• гиперболический синус ${\ displaystyle \ sinh,}$
• Функция ошибок ${\ displaystyle \ operatorname {erf}.}$

${\ Displaystyle е (х) = х ^ {3} +1}$ не является ни четным, ни нечетным.

Основные свойства [ править ]

Уникальность [ править ]

• Если функция является как четной, так и нечетной, она равна 0 везде, где она определена.
• Если функция нечетная, абсолютное значение этой функции является четной функцией.

Сложение и вычитание [ править ]

• Сумма двух четных функций даже.
• Сумма двух нечетных функций нечетная.
• Разница между двумя нечетными функциями является нечетной.
• Разница между двумя четными функциями четная.
• Сумма четной и нечетной функции не является четной или нечетной, если одна из функций не равна нулю в данной области .

Умножение и деление [ править ]

• Продукт двух четных функций является четной функцией.
• Произведение двух нечетных функций является четной функцией.
• Произведение четной функции и нечетной функции является нечетной функцией.
• Фактор двух четных функций является четной функцией.
• Частное двух нечетных функций является четной функцией.
• Частное четной функции и нечетной функции является нечетной функцией.

Состав [ править ]

• Композиция двух четных функций даже.
• Композиция двух нечетных функций нечетная.
• Композиция четной функции и нечетной функции четна.
• Композиция любой функции с четной функцией четна (но не наоборот).

Четно-нечетное разложение [ править ]

Каждую функцию можно однозначно разложить на сумму четной и нечетной функции, которые называются соответственно четной и нечетной частью функции; если определить

${\ displaystyle f _ {\ text {e}} (x) = {\ frac {f (x) + f (-x)} {2}}}$

( Уравнение 3 )

и

${\ displaystyle f _ {\ text {o}} (x) = {\ frac {f (x) -f (-x)} {2}}}$

( Уравнение 4 )

то четное, нечетное и${\ displaystyle f _ {\ text {e}}}$${\displaystyle f_{\text{o}}}$

${\displaystyle f(x)=f_{\text{e}}(x)+f_{\text{o}}(x).}$

Наоборот, если

${\displaystyle f(x)=g(x)+h(x),}$

где g четно, а h нечетно, то и поскольку${\displaystyle g=f_{\text{e}}}$${\displaystyle h=f_{\text{o}},}$

${\displaystyle {\begin{aligned}2f_{\text{e}}(x)&=f(x)+f(-x)=g(x)+g(-x)+h(x)+h(-x)=2g(x),\\2f_{\text{o}}(x)&=f(x)-f(-x)=g(x)-g(-x)+h(x)-h(-x)=2h(x).\end{aligned}}}$

Например, гиперболический косинус и гиперболический синус можно рассматривать как четную и нечетную части экспоненциальной функции, поскольку первая является четной функцией, вторая - нечетной и

${\displaystyle e^{x}=\underbrace {\cosh(x)} _{f_{\text{e}}(x)}+\underbrace {\sinh(x)} _{f_{\text{o}}(x)}}$.

Другие алгебраические свойства [ править ]

• Любая линейная комбинация четных функций является четной, а четные функции образуют векторное пространство над вещественными числами . Точно так же любая линейная комбинация нечетных функций является нечетной, и нечетные функции также образуют векторное пространство над действительными числами. В самом деле, векторное пространство всех вещественных функций является прямой суммой из подпространств четных и нечетных функций. Это более абстрактный способ выражения свойства в предыдущем разделе.
  • Пространство функций можно рассматривать как градуированную алгебру над действительными числами благодаря этому свойству, а также некоторым из перечисленных выше.

• Четные функции образуют коммутативную алгебру над вещественными числами. Однако нечетные функции не образуют алгебру над вещественными числами, поскольку они не замкнуты при умножении.

Аналитические свойства [ править ]

Нечетность или четность функции не означает дифференцируемости или даже непрерывности . Например, функция Дирихле четная, но нигде не является непрерывной.

В дальнейшем, с участием свойства производных , ряд Фурье , ряд Тейлора , и так далее предположить , что эти понятия определяются из функций, которые рассматриваются.

Основные аналитические свойства [ править ]

• Производная четной функции является нечетным.
• Производная нечетной функции четна.
• Интеграл от нечетной функции от - А до + А равен нулю (где конечна, и функция не имеет вертикальные асимптоты между - А и А ). Для нечетной функции, которая интегрируется на симметричном интервале, например , результат интеграла на этом интервале равен нулю; то есть ^[2]${\displaystyle [-A,A]}$

${\displaystyle \int _{-A}^{A}f(x)\,dx=0}$.

• Интеграл четной функции от - A до + A является удвоенным интегралом от 0 до + A (где A конечно, и функция не имеет вертикальных асимптот между - A и A. Это также верно, когда A бесконечно, но только если интеграл сходится); то есть

${\displaystyle \int _{-A}^{A}f(x)\,dx=2\int _{0}^{A}f(x)\,dx}$.

Серия [ править ]

• Ряд Маклорена четная функция включает в себя только четные степени.
• Ряд Маклорена нечетной функции включает только нечетные степени.
• Ряд Фурье из периодической даже функции включает в себя только косинус условия.
• Ряд Фурье периодической нечетной функции включает только синусоидальные члены.
• Преобразование Фурье чисто вещественнозначной четной функции является действительным и четным. (см. Анализ Фурье § Свойства симметрии )
• Преобразование Фурье чисто вещественнозначной нечетной функции бывает мнимым и нечетным. (см. Анализ Фурье § Свойства симметрии )

Гармоники [ править ]

В обработке сигналов , нелинейное искажение возникает , когда синусоида сигнал посылается через памяти менее нелинейной системы , то есть системы, выходной сигнал которого в момент времени т только зависит от входа в момент времени T и не зависит от входа в любой предыдущий раз. Такая система описывается функцией отклика . Тип генерируемых гармоник зависит от функции отклика f : ^[3]${\displaystyle V_{\text{out}}(t)=f(V_{\text{in}}(t))}$

• Когда функция отклика является четной, результирующий сигнал будет состоять только из четных гармоник входной синусоидальной волны; ${\displaystyle 0f,2f,4f,6f,\dots }$
  • Основная гармоника также является нечетной гармоникой, поэтому не будет присутствовать.
  • Простой пример - двухполупериодный выпрямитель .
  • Компонент представляет смещения постоянного тока, в связи с односторонней природой четно-симметричных передаточных функций.${\displaystyle 0f}$
• Когда он нечетный, результирующий сигнал будет состоять только из нечетных гармоник входной синусоидальной волны; ${\displaystyle 1f,3f,5f,\dots }$
  • Выходной сигнал будет полуволновым симметричным .
  • Простым примером является ограничение в симметричном двухтактном усилителе .
• Когда он асимметричен, результирующий сигнал может содержать как четные, так и нечетные гармоники; ${\displaystyle 1f,2f,3f,\dots }$
  • Простые примеры представляют собой полуволновый выпрямитель, и отсечение в асимметричном усилителе класса А .

Обратите внимание, что это не относится к более сложным сигналам. Например, пилообразная волна содержит как четные, так и нечетные гармоники. После четно-симметричного двухполупериодного выпрямления он становится треугольной волной , которая, кроме смещения постоянного тока, содержит только нечетные гармоники.

Обобщения [ править ]

Многомерные функции [ править ]

Ровная симметрия:

Функция называется даже симметричной, если:${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=f(-x_{1},-x_{2},\ldots ,-x_{n})\quad {\text{for all }}x_{1},\ldots ,x_{n}\in \mathbb {R} }$

Странная симметрия:

Функция называется нечетно-симметричной, если:${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=-f(-x_{1},-x_{2},\ldots ,-x_{n})\quad {\text{for all }}x_{1},\ldots ,x_{n}\in \mathbb {R} }$

Комплексные функции [ править ]

Определения четной и нечетной симметрии для комплекснозначных функций действительного аргумента аналогичны действительному случаю, но включают комплексное сопряжение .

Ровная симметрия:

Комплекснозначная функция действительного аргумента называется даже симметричной, если:${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} }$

${\displaystyle f(x)={\overline {f(-x)}}\quad {\text{for all }}x\in \mathbb {R} }$

Странная симметрия:

Комплекснозначная функция действительного аргумента называется нечетно-симметричной, если:${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} }$

${\displaystyle f(x)=-{\overline {f(-x)}}\quad {\text{for all }}x\in \mathbb {R} }$

Последовательности конечной длины [ править ]

Определения нечетной и четной симметрии распространяются на N- точечные последовательности (то есть функции формы ) следующим образом: ^{[4] : с. 411}${\displaystyle f:\left\{0,1,\ldots ,N-1\right\}\to \mathbb {R} }$

Ровная симметрия:

Последовательность из N точек называется даже симметричной, если

${\displaystyle f(n)=f(N-n)\quad {\text{for all }}n\in \left\{1,\ldots ,N-1\right\}.}$

Такую последовательность часто называют палиндромной последовательностью ; см. также Палиндромный многочлен .

Странная симметрия:

Последовательность из N точек называется нечетно-симметричной, если

${\displaystyle f(n)=-f(N-n)\quad {\text{for all }}n\in \left\{1,\ldots ,N-1\right\}.}$

Такую последовательность иногда называют антипалиндромной последовательностью ; см. также Антипалиндромный многочлен .

См. Также [ править ]

• Эрмитова функция для обобщения в комплексных числах
• Серия Тейлора
• Ряд Фурье
• Метод Голштино – Селедки
• Четность (физика)

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Гельфанд И.М .; Глаголева Э.Г .; Шнол, EE (2002) [1969], Функции и графики , Mineola, NY: Dover Publications