Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
График y = x 3 с точкой перегиба в точке (0,0), которая также является стационарной точкой .
В корнях , стационарные точки , точки перегиба и вогнутость из кубического многочлена х 3 - 3 х 2 - 144 х + 432 (черная линия) и его первые и вторые производные (красные и синие).

В дифференциальном исчислении и дифференциальной геометрии, в точке перегиба , точка перегиба , гибкий трубопровод , или перегиба (британский английский: флексии ) является точкой на гладкой плоской кривой , при которой кривизна меняет знак. В частности, в случае графика функции , это точка, в которой функция изменяется с вогнутой (вогнутой вниз) на выпуклой (вогнутой вверх) или наоборот.

Для графика функции класса дифференцируемости C 2 ( f , ее первая производная f ' и ее вторая производная f' ' существуют и непрерывны) условие f' '= 0 также может быть использовано для поиска точки перегиба так как точка f '' = 0 должна быть передана, чтобы изменить f '' с положительного значения (вогнутое вверх) на отрицательное значение (вогнутое вниз) или наоборот, поскольку f '' является непрерывным; точка перегиба кривой находится там, где f '' = 0 и меняет свой знак в этой точке (с положительного на отрицательный или с отрицательного на положительный). [1]Точка, в которой вторая производная обращается в ноль, но не меняет своего знака, иногда называется точкой волнистости или волнообразной точки .

В алгебраической геометрии точка перегиба определяется несколько более широко, как обычная точка, где касательная пересекает кривую , по крайней мере, на уровне 3, а точка волнистости или гиперфлекс определяется как точка, в которой касательная пересекает кривую порядка не менее 4. .

Определение [ править ]

Точки перегиба в дифференциальной геометрии - это точки кривой, в которых кривизна меняет знак. [2] [3]

Например, график дифференцируемой функции имеет точку перегиба в ( x , f ( x )) тогда и только тогда, когда его первая производная f ' имеет изолированный экстремум в точке x . (это не то же самое, что сказать, что f имеет экстремум). То есть в некоторой окрестности x является единственной точкой, в которой f ' имеет (локальный) минимум или максимум. Если все экстремумы из F» будут изолированы , то точка перегиба является точка на графике F , при которойкасательная пересекает кривую.

Падения точка перегиба является точкой перегиба кривой , где производная отрицательна по обе стороны от точки; другими словами, это точка перегиба, вблизи которой функция убывает. Растет точка перегиба является точка , в которой производная положительна по обе стороны от точки; другими словами, это точка перегиба, вблизи которой функция возрастает.

Для алгебраической кривой неособая точка является точкой перегиба тогда и только тогда, когда число пересечения касательной и кривой (в точке касания) больше 2. [4] Главный результат заключается в том, что множество точки перегиба алгебраической кривой совпадают с множеством пересечений кривой с кривой Гессе .

Для гладкой кривой, задаваемой параметрическими уравнениями , точка является точкой перегиба, если ее кривизна со знаком изменяется с плюса на минус или с минуса на плюс, т. Е. Меняет знак .

Для гладкой кривой, которая является графиком дважды дифференцируемой функции, точка перегиба - это точка на графике, в которой вторая производная имеет изолированный ноль и меняет знак.

График зависимости f ( x ) = sin (2 x ) от - π / 4 до 5 π / 4; вторая производная равна f ″ ( x ) = –4sin (2 x ) , и ее знак, таким образом, противоположен знаку f . Касательная - синяя, если кривая выпуклая (выше ее собственной касательной ), зеленая, если вогнутая (ниже ее касательной), и красная в точках перегиба: 0, π / 2 и π

Необходимое, но недостаточное условие [ править ]

Для функции f , если ее вторая производная f ″ ( x ) существует в x 0 и x 0 является точкой перегиба для f , то f ″ ( x 0 ) = 0 , но этого условия недостаточно для наличия точки перегиба. , даже если существуют производные любого порядка. В этом случае также необходимо, чтобы ненулевая производная низшего порядка (выше второй) была нечетного порядка (третья, пятая и т. Д.). Если ненулевая производная низшего порядка имеет четный порядок, то точка не является точкой перегиба, а точкой волнистости.. Однако в алгебраической геометрии как точки перегиба, так и точки волнистости обычно называют точками перегиба . Примером точки волнистости является x = 0 для функции f, заданной как f ( x ) = x 4 .

В предыдущих утверждениях предполагается, что f имеет некоторую ненулевую производную высшего порядка в точке x , что не обязательно так. Если это так, то условие , что первая производная отличны от нуля имеет нечетный порядок означает , что знак F ' ( х ) такое же по обе стороне от й в окрестностях от й . Если этот знак положительный , точка является восходящей точкой перегиба ; если он отрицательный , точка является падающей точкой перегиба .

Достаточные условия точки перегиба:

1) Достаточным условием существования точки перегиба является:

Если F ( х ) в K раз непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки х с к нечетно и к ≥ 3 , в то время как F ( п ) ( х 0 ) = 0 для п = 2, ...,  K  - 1 и F ( k ) ( x 0 ) ≠ 0, то f ( x ) имеет точку перегиба в x 0 .

2) Другое достаточное условие существования требует, чтобы f ″ ( x + ε) и f ″ ( x  -  ε ) имели противоположные знаки в окрестности  x ( Бронштейн, Семендяев 2004, с. 231).

Категоризация точек перегиба [ править ]

y = x 4 - x имеет вторую производную нуля в точке (0,0), но это не точка перегиба, потому что четвертая производная является первой ненулевой производной более высокого порядка (третья производная также равна нулю).

Точки перегиба также можно разделить на категории в зависимости от того, является ли f ' ( x ) нулем или отличным от нуля.

  • если f ' ( x ) равно нулю, точка является стационарной точкой перегиба
  • если f ' ( x ) не равно нулю, точка является нестационарной точкой перегиба

Стационарная точка перегиба не является локальным экстремумом . В более общем смысле, в контексте функций нескольких действительных переменных , стационарная точка, которая не является локальным экстремумом, называется седловой точкой .

Примером стационарной точки перегиба является точка (0, 0) на графике y = x 3 . Касательная - это ось x , которая разрезает график в этой точке.

Примером нестационарной точки перегиба является точка (0, 0) на графике y = x 3 + ax для любого ненулевого a . Касательная в начале координат - это линия y = ax , которая разрезает график в этой точке.

Функции с разрывами [ править ]

Некоторые функции изменяют вогнутость, не имея точек перегиба. Вместо этого они могут изменять вогнутость вокруг вертикальных асимптот или разрывов. Например, функция является вогнутой для отрицательного x и выпуклой для положительного x , но у нее нет точек перегиба, потому что 0 не находится в области определения функции.

См. Также [ править ]

  • Критическая точка (математика)
  • Экологический порог
  • Конфигурация Гессе, образованная девятью точками перегиба эллиптической кривой
  • Оги , архитектурная форма с точкой перегиба
  • Вершина (кривая) , локальный минимум или максимум кривизны

Ссылки [ править ]

  1. ^ Стюарт, Джеймс (2015). Исчисление (8-е изд.). Бостон: Cengage Learning. п. 281. ISBN. 978-1-285-74062-1.
  2. ^ Проблемы математического анализа . Бараненков Г.С. Москва: Мир. 1976 [1964]. ISBN 5030009434. OCLC  21598952 .CS1 maint: others (link)
  3. ^ Бронштейн; Семендяева (2004). Справочник по математике (4-е изд.). Берлин: Springer. п. 231. ISBN. 3-540-43491-7.
  4. ^ "Точка перегиба" . encyclopediaofmath.org .

Источники [ править ]

  • Вайсштейн, Эрик В. «Точка перегиба» . MathWorld .
  • "Точка перегиба" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]