Стационарная точка

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в значительной степени непроверенным, поскольку в нем отсутствует достаточное количество соответствующих встроенных ссылок . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Март 2016 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Точки покоя - красные кружки. На этом графике все они являются относительными максимумами или относительными минимумами. Синие квадраты - точки перегиба .

В математике , в частности , в исчислении , А стационарная точка из дифференцируемой функции одной переменной является точка на графике функции , где функция по производной равна нулю. ^[1]^[2]^[3] Неформально, это точка, в которой функция «перестает» увеличиваться или уменьшаться (отсюда и название).

Для дифференцируемой функции нескольких вещественных переменных точка покоя - это точка на поверхности графика, где все ее частные производные равны нулю (эквивалентно, градиент равен нулю).

Стационарные точки легко визуализировать на графике функции одной переменной: они соответствуют точкам на графике , где касательная горизонтальна (т.е. параллельно к $х$ Оу ). Для функции двух переменных они соответствуют точкам на графике, где касательная плоскость параллельна плоскости $xy$ .

Поворотные моменты [ править ]

Точка поворота - это точка, в которой производная меняет знак. ^[2] Точкой поворота может быть относительный максимум или относительный минимум (также известный как локальный минимум и максимум). Если функция дифференцируема, то точка поворота - это стационарная точка; однако не все стационарные точки являются поворотными. Если функция дважды дифференцируема, стационарные точки, которые не являются точками поворота, являются точками горизонтального перегиба . Например, функция имеет точку покоя при x = 0, которая также является точкой перегиба, но не точкой поворота. ^[3] ${\ Displaystyle х \ mapsto х ^ {3}}$

Классификация [ править ]

Граф, на котором отмечены локальные и глобальные экстремумы.

Изолированные стационарные точки вещественнозначной функции классифицируются на четыре типа с помощью теста первой производной : ${\ displaystyle C ^ {1}}$ ${\ Displaystyle е \ двоеточие \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$

локальный минимум ( минимальный поворотный момент или относительный минимум ) является одним где производная функции изменяется от отрицательного к положительному;
локальный максимум ( максимальная поворотная точка или относительный максимум ) является тот , где производной функции изменяется от положительного до отрицательного;

Седловые точки (стационарные точки, которые не являются ни локальными максимумами, ни минимумами: они являются точками перегиба . Слева - «восходящая точка перегиба» (производная положительна по обе стороны от красной точки); правая - «нисходящая точка перегиба» "(производная отрицательна по обе стороны от красной точки).

восходящая точка перегиба (или перегиба ) - это точка, в которой производная функции положительна по обе стороны от стационарной точки; такая точка отмечает изменение вогнутости ;
нисходящая точка перегиба (или перегиба ) - это точка, в которой производная функции отрицательна по обе стороны от стационарной точки; такая точка отмечает изменение вогнутости.

Первые два варианта вместе известны как « локальные экстремумы ». Точно так же точка, которая является либо глобальным (или абсолютным) максимумом, либо глобальным (или абсолютным) минимумом, называется глобальным (или абсолютным) экстремумом. Последние два варианта - стационарные точки, не являющиеся локальным экстремумом - известны как седловые точки .

По теореме Ферма глобальные экстремумы должны возникать (для функции) на границе или в стационарных точках. ${\ displaystyle C ^ {1}}$

Рисование кривой [ править ]

В корнях , стационарные точки , точка перегиба и вогнутость из кубического многочлена х ³ - 3 х ² - 144 х + 432 (черная линия) и его первые и вторые производные (красные и синие).

Определение положения и характера стационарных точек помогает при построении кривых дифференцируемых функций. Решение уравнения f ' ( x ) = 0 возвращает координаты x всех стационарных точек; то у -координаты тривиальна значение функции у тех х -координат. В некоторых случаях специфику стационарной точки в x можно определить, исследуя вторую производную f '' ( x ):

Если f '' ( x ) <0, точка покоя в x вогнута вниз; максимальный экстремум.
Если f '' ( x )> 0, точка покоя в x вогнута вверх; минимальный экстремум.
Если f '' ( x ) = 0, характер стационарной точки должен быть определен другими способами, часто по изменению знака вокруг этой точки.

Более простой способ определить характер стационарной точки - исследовать значения функции между стационарными точками (если функция определена и непрерывна между ними).

Простым примером точки перегиба является функция f ( x ) = x ³ . Наблюдается явное изменение вогнутости около точки x = 0, и мы можем доказать это с помощью математического анализа . Вторая производная от f - это всюду непрерывную 6 x , а при x = 0 f ′ ′ = 0, и знак вокруг этой точки меняется. Итак, x = 0 - точка перегиба.

В более общем смысле, стационарные точки вещественнозначной функции - это те точки x _0, где производная в каждом направлении равна нулю или, что эквивалентно, градиент равен нулю. ${\ Displaystyle е \ двоеточие \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}$

Пример [ править ]

Для функции f ( x ) = x ⁴ имеем f ' (0) = 0 и f' ' (0) = 0. Даже если f' ' (0) = 0, эта точка не является точкой перегиба. Причина в том, что знак f ' ( x ) меняется с отрицательного на положительный.

Для функции f ( x ) = sin ( x ) имеем f ' (0) ≠ 0 и f' ' (0) = 0. Но это не стационарная точка, а точка перегиба. Это связано с тем, что вогнутость изменяется с вогнутой вниз на вогнутую вверх, а знак f ' ( x ) не меняется; он остается положительным.

Для функции f ( x ) = x ³ имеем f ' (0) = 0 и f' ' (0) = 0. Это как стационарная точка, так и точка перегиба. Это связано с тем, что вогнутость изменяется с вогнутой вниз на вогнутую вверх, а знак f ' ( x ) не меняется; он остается положительным.

См. Также [ править ]

Оптимизация (математика)
Теорема Ферма
Производный тест
Фиксированная точка (математика)
Точка перевала

Ссылки [ править ]

Перейти ↑ Chiang, Alpha C. (1984). Фундаментальные методы математической экономики (3-е изд.). Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. п. 236 . ISBN 0-07-010813-7.
^ a b Сэддлер, Дэвид; Ши, Джулия; Уорд, Дерек (2011), «12 B стационарных точек и поворотных точек» , Cambridge 2 Unit Mathematics Year 11 , Cambridge University Press, стр. 318, ISBN 9781107679573
^ a b «Поворотные и стационарные точки» . Библиотека практических рекомендаций по математике для старших классов TCS FREE. Проверено 30 октября 2011 года .

Внешние ссылки [ править ]

Точки перегиба полиномов четвертой степени - удивительное проявление золотого сечения при распутывании узла

[1] Перейти ↑ Chiang, Alpha C. (1984). Фундаментальные методы математической экономики (3-е изд.). Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. п. 236 . ISBN 0-07-010813-7.

[Saddler-2] Сэддлер, Дэвид; Ши, Джулия; Уорд, Дерек (2011), «12 B стационарных точек и поворотных точек» , Cambridge 2 Unit Mathematics Year 11 , Cambridge University Press, стр. 318, ISBN 9781107679573

[TCS-3] «Поворотные и стационарные точки» . Библиотека практических рекомендаций по математике для старших классов TCS FREE. Проверено 30 октября 2011 года .

[1]

vтеИсчисление
Precalculus	Биномиальная теорема Вогнутая функция Непрерывная функция Факториал Конечная разница Свободные переменные и связанные переменные График функции Линейная функция Радиан Теорема Ролля Секант Склон Касательная
Пределы	Неопределенная форма Предел функции Односторонний предел Предел последовательности Порядок приближения (ε, δ) -определение предела
Дифференциальное исчисление	Производная Дифференциальный Дифференциальное уравнение Дифференциальный оператор Теорема о среднем значении Обозначение Обозначения Лейбница Обозначение Ньютона Правила дифференциации линейность Мощность Сумма Цепь L'Hôpital's Товар Правило генерала Лейбница Частное Другие техники Неявное дифференцирование Обратные функции и дифференцирование Логарифмическая производная Связанные ставки Стационарные точки Тест первой производной Тест второй производной Теорема об экстремальном значении Максимумы и минимумы Дальнейшие приложения Метод Ньютона Теорема Тейлора
Интегральное исчисление	Первообразный Длина дуги Основные свойства Константа интеграции Основная теорема исчисления Дифференцируя знаком интеграла Интеграция по частям Интеграция заменой тригонометрический Эйлер Weierstrass Частичные доли в интеграции Квадратичный интеграл Трапецеидальная линейка Объемы Метод мойки Shell метод
Векторное исчисление	Производные Завиток Производная по направлению Расхождение Градиент Лапласиан Основные теоремы Линейные интегралы Зелень Стокса Гаусса
Многопараметрическое исчисление	Теорема расходимости Геометрический Матрица Гессе Матрица Якоби и определитель Множитель Лагранжа Линейный интеграл Матрица Кратный интеграл Частная производная Поверхностный интеграл Объемный интеграл Дополнительные темы Дифференциальные формы Внешняя производная Обобщенная теорема Стокса Тензорное исчисление
Последовательности и серии	Арифметико-геометрическая последовательность Типы серий Чередование Биномиальный Фурье Геометрический Гармонический Бесконечный Мощность Маклорен Тейлор Телескопирование Тесты сходимости Авеля Чередование серий Конденсация Коши Прямое сравнение Дирихле интеграл Сравнение пределов Соотношение Корень Срок
Специальные функции и числа	Числа Бернулли e (математическая константа) Экспоненциальная функция Натуральный логарифм Приближение Стирлинга
История исчисления	Адекватность Брук Тейлор Колин Маклорен Общность алгебры Готфрид Вильгельм Лейбниц Бесконечно малый Исчисление бесконечно малых Исаак Ньютон Плавность Закон непрерывности Леонард Эйлер Метод флюсий Метод механических теорем
Списки	Правила дифференциации Список интегралов от экспоненциальных функций Список интегралов от гиперболических функций Список интегралов обратных гиперболических функций Список интегралов обратных тригонометрических функций Список интегралов от иррациональных функций Список интегралов логарифмических функций Список интегралов рациональных функций Список интегралов от тригонометрических функций Секант Секанс в кубе Список лимитов Списки интегралов
Разные темы	Дифференциальная геометрия кривизна кривых поверхностей Формула Эйлера – Маклорена Рог Габриэля Пчела интеграции Доказательство того, что 22/7 превышает π Задача максимизации угла Региомонтануса Штейнмец твердый